2010届高三数学一轮复习：圆锥曲线方程及性质Word版

1、1 / 1220092010 学年度高三数学（人教版 A 版）第一轮复习资料第 33 讲 圆锥曲线方程及性质圆锥曲线方程及性质一一 【课标要求课标要求】1了解圆锥曲线的实际背景，感受圆锥曲线在刻画现实世界和解决实际问题中的作用；2经历从具体情境中抽象出椭圆、抛物线模型的过程，掌握它们的定义、标准方程、几何图形及简单性质；3了解双曲线的定义、几何图形和标准方程，知道双曲线的有关性质二二 【命题走向命题走向】本讲内容是圆锥曲线的基础内容，也是高考重点考查的内容，在每年的高考试卷中一般有 23 道客观题，难度上易、中、难三档题都有，主要考查的内容是圆锥曲线的概念和性质，从近十年高考试题看主要考察圆锥

2、曲线的概念和性质。圆锥曲线在高考试题中占有稳定的较大的比例，且选择题、填空题和解答题都涉及到，客观题主要考察圆锥曲线的基本概念、标准方程及几何性质等基础知识和处理有关问题的基本技能、基本方法对于本讲内容来讲，预测 2010 年：（1）1 至 2 道考察圆锥曲线概念和性质客观题，主要是求值问题；（2）可能会考察圆锥曲线在实际问题里面的应用，结合三种形式的圆锥曲线的定义。三三 【要点精讲要点精讲】1椭圆（1）椭圆概念平面内与两个定点1F、2F的距离的和等于常数（大于21|FF）的点的轨迹叫做椭圆。这两个定点叫做椭圆的焦点，两焦点的距离叫椭圆的焦距。若M为椭圆上任意一点，则有21| 2MFMFa椭圆

3、的标准方程为：22221xyab（0ab） （焦点在 x 轴上）或12222bxay（0ab） （焦点在 y 轴上） 。注：以上方程中, a b的大小0ab，其中222cab；在22221xyab和22221yxab两个方程中都有0ab的条件，要分清焦点的位置，只要看2x和2y的分母的大小。例如椭圆221xymn（0m ，0n ，mn）当mn时表示焦点在x轴上的椭圆；当mn时表示焦点在y轴上的椭圆（2）椭圆的性质范围：由标准方程22221xyab知|xa，|yb，说明椭圆位于直线xa ，yb 所围成的矩形里；对称性：在曲线方程里，若以y代替y方程不变，所以若点( , )x y在曲线上时，点(

4、,)xy也在曲线上，所以曲线关于x轴对称，同理，以x代替x方程不变，则曲线关于y轴对称。若同时以x代替x，y代替y方程也不变，则曲线关于原点对称。所以，椭圆关于x轴、y轴和原点对称。这时，坐标轴是椭圆的对称轴，原点是对称中心，椭圆的对称中心叫椭圆的中心；顶点：确定曲线在坐标系中的位置，常需要求出曲线与x轴、y轴的交点坐标。在2 / 12椭圆的标准方程中，令0 x ，得yb ，则1(0,)Bb，2(0, )Bb是椭圆与y轴的两个交点。同理令0y 得xa ，即1(,0)Aa，2( ,0)A a是椭圆与x轴的两个交点。所以，椭圆与坐标轴的交点有四个，这四个交点叫做椭圆的顶点。同时，线段21A A、2

5、1B B分别叫做椭圆的长轴和短轴，它们的长分别为2a和2b，a和b分别叫做椭圆的长半轴长和短半轴长。由椭圆的对称性知：椭圆的短轴端点到焦点的距离为a；在22Rt OB F中，2|OBb，2|OFc，22|B Fa，且2222222|OFB FOB，即222cac；离心率：椭圆的焦距与长轴的比cea叫椭圆的离心率。0ac，01e，且e越接近1，c就越接近a，从而b就越小，对应的椭圆越扁；反之，e越接近于0，c就越接近于0，从而b越接近于a，这时椭圆越接近于圆。当且仅当ab时，0c ，两焦点重合，图形变为圆，方程为222xya。2双曲线（1）双曲线的概念平面上与两点距离的差的绝对值为非零常数的动点

6、轨迹是双曲线（12| 2PFPFa） 。注意：（*）式中是差的绝对值，在1202|aFF条件下；12| 2PFPFa时为双曲线的一支（含2F的一支） ；21| 2PFPFa时为双曲线的另一支（含1F的一支） ；当122|aFF时，12| 2PFPFa表示两条射线；当122|aFF时，12| 2PFPFa不表示任何图形；两定点12,F F叫做双曲线的焦点，12|FF叫做焦距。椭圆和双曲线比较：椭 圆双 曲 线定义1212| 2 (2|)PFPFaaFF1212| 2 (2|)PFPFaaFF方程22221xyab22221xyba22221xyab22221yxab焦点(,0)Fc(0,)Fc(

7、,0)Fc(0,)Fc注意：如何有方程确定焦点的位置！（2）双曲线的性质范围：从标准方程12222byax，看出曲线在坐标系中的范围：双曲线在两条直线ax的外侧。即22ax ，ax 即双曲线在两条直线ax的外侧。对称性：双曲线12222byax关于每个坐标轴和原点都是对称的，这时，坐标轴是双曲线的对称轴，原点是双曲线12222byax的对称中心，双曲线的对称中心叫做双曲线的中心。顶点：双曲线和对称轴的交点叫做双曲线的顶点。在双曲线12222byax的方程里，对称轴是, x y轴，所以令0y得ax，因此双曲线和x轴有两个交点)0 ,()0 ,(2aAaA ，他们是双曲线12222byax的顶点。

8、令0 x，没有实根，因此双曲线和 y 轴没有交点。3 / 121）注意：双曲线的顶点只有两个，这是与椭圆不同的（椭圆有四个顶点） ，双曲线的顶点分别是实轴的两个端点。2）实轴：线段2AA叫做双曲线的实轴，它的长等于2 , a a叫做双曲线的实半轴长。虚轴：线段2BB叫做双曲线的虚轴，它的长等于2 , b b叫做双曲线的虚半轴长渐近线：注意到开课之初所画的矩形，矩形确定了两条对角线，这两条直线即称为双曲线的渐近线。从图上看，双曲线12222byax的各支向外延伸时，与这两条直线逐渐接近。等轴双曲线：1）定义：实轴和虚轴等长的双曲线叫做等轴双曲线。定义式：ab；2）等轴双曲线的性质：（1）渐近线方

9、程为：xy ；（2）渐近线互相垂直注意以上几个性质与定义式彼此等价。亦即若题目中出现上述其一，即可推知双曲线为等轴双曲线，同时其他几个亦成立。3）注意到等轴双曲线的特征ab，则等轴双曲线可以设为：)0(22yx ，当0时交点在x轴，当0时焦点在y轴上注意191622yx与221916yx的区别：三个量, ,a b c中, a b不同（互换）c相同，还有焦点所在的坐标轴也变了。3抛物线（1）抛物线的概念平面内与一定点 F 和一条定直线 l 的距离相等的点的轨迹叫做抛物线(定点 F 不在定直线 l 上)。定点 F 叫做抛物线的焦点，定直线 l 叫做抛物线的准线。方程022ppxy叫做抛物线的标准方

10、程。注意：它表示的抛物线的焦点在 x 轴的正半轴上，焦点坐标是 F（2p,0） ，它的准线方程是2px ；（2）抛物线的性质一条抛物线，由于它在坐标系的位置不同，方程也不同，有四种不同的情况，所以抛物线的标准方程还有其他几种形式：pxy22，pyx22，pyx22.这四种抛物线的图形、标准方程、焦点坐标以及准线方程如下表：标准方程22(0)ypxp22(0)ypxp 22(0)xpyp22(0)xpyp 图形焦点坐标(,0)2p(,0)2p(0,)2p(0,)2p准线方程2px 2px 2py 2py oFxyloxyFlxyoFl4 / 12范围0 x 0 x 0y 0y 对称性x轴x轴y轴

11、y轴顶点(0,0)(0,0)(0,0)(0,0)离心率1e 1e 1e 1e 说明：（1）通径：过抛物线的焦点且垂直于对称轴的弦称为通径；（2）抛物线的几何性质的特点：有一个顶点，一个焦点，一条准线，一条对称轴，无对称中心，没有渐近线；（3）注意强调p的几何意义：是焦点到准线的距离。四四 【典例解析典例解析】题型 1：椭圆的概念及标准方程例 1求适合下列条件的椭圆的标准方程：（1）两个焦点的坐标分别是( 4,0)、(4,0)，椭圆上一点P到两焦点距离的和等于10；（2）两个焦点的坐标分别是(0, 2)、(0,2)，并且椭圆经过点3 5(, )2 2；（3）焦点在x轴上，:2:1a b ，cb；

12、（4）焦点在y轴上，225ab，且过点(2,0)；（5）焦距为b，1ab；（6）椭圆经过两点3 5(, )2 2，( 3, 5)。解析：（1）椭圆的焦点在x轴上，故设椭圆的标准方程为22221xyab（0ab） ，210a ，4c ，2229bac，所以，椭圆的标准方程为221259xy。（2）椭圆焦点在y轴上，故设椭圆的标准方程为22221yxab（0ab） ，由椭圆的定义知，22223535312()(2)()(2)10102 10222222a ，10a ，又2c ，2221046bac，所以，椭圆的标准方程为221106yx。（3）6c ，2226abc，又由:2:1a b 代入得22

13、46bb，22b ，28a ，又焦点在x轴上，所以，椭圆的标准方程为22182xy。（4）设椭圆方程为22221yxab， 221b，22b ，5 / 12 又225ab，23a ，所以，椭圆的标准方程为22132yx（5）焦距为6，3c ， 2229abc，又1ab，5a ，4b ，所以，椭圆的标准方程为2212516xy或2212516yx（6）设椭圆方程为221xymn（,0m n ） ， 由2235()( )221351mnmn得6,10mn，所以，椭圆方程为221106yx 点评：求椭圆的方程首先清楚椭圆的定义，还要知道椭圆中一些几何要素与椭圆方程间的关系例 2 （1） （06 山东

14、）已知椭圆中心在原点，一个焦点为 F（23，0） ，且长轴长是短轴长的 2 倍，则该椭圆的标准方程是 。（2） （06 天津理，8）椭圆的中心为点( 10)E ，它的一个焦点为( 3 0)F ，相应于焦点F的准线方程为72x ，则这个椭圆的方程是（）222(1)21213xy 222(1)21213xy22(1)15xy 22(1)15xy解析：（1）已知222222242 ,2 3161164( 2 3,0)bab cyxaabcF为所求；（2）椭圆的中心为点( 1,0),E 它的一个焦点为( 3,0),F 半焦距2c ，相应于焦点 F 的准线方程为7.2x 252ac，225,1ab，则这

15、个椭圆的方程是22(1)15xy，选 D。点评：求椭圆方程的题目属于中低档题目，掌握好基础知识就可以。题型 2：椭圆的性质例 3 （1） （06 山东理，7）在给定椭圆中，过焦点且垂直于长轴的弦长为2，焦点6 / 12到相应准线的距离为 1，则该椭圆的离心率为（ ）(A)2 (B)22 (C) 21 (D)42（2） （2009 全国卷理）设双曲线22221xyab（a0,b0）的渐近线与抛物线 y=x2 +1相切，则该双曲线的离心率等于( )A.3 B.2 C.5 D.6 【解析】设切点00(,)P xy，则切线的斜率为00|2x xyx.由题意有0002yxx又2001yx解得: 2201

16、,2,1 ( )5bbxeaa . 【答案】C点评：本题重点考查了椭圆和双曲线的基本性质。例 4 （1） （2009 全国卷理）已知椭圆22:12xCy的右焦点为F,右准线为l，点Al，线段AF交C于点B，若3FAFB ,则|AF =( )A. 2 B. 2 C.3 D. 3 【解析】过点 B 作BMl于 M,并设右准线l与 X 轴的交点为 N，易知 FN=1.由题意3FAFB ,故2|3BM .又由椭圆的第二定义,得2 22|233BF |2AF.故选 A 【答案】A（2） （2009 浙江理）过双曲线22221(0,0)xyabab的右顶点A作斜率为1的直线，该直线与双曲线的两条渐近线的交

17、点分别为,B C若12ABBC ，则双曲线的离心率是 ( ) 7 / 12A2 B3 C5 D10【解析】对于,0A a，则直线方程为0 xya，直线与两渐近线的交点为 B，C，22,(,)aabaabBCab ababab则有22222222(,),a ba bababBCABababab ab ，因222,4,5ABBCabe 【答案】C题型 3：双曲线的方程例 5 （1）已知焦点12(5,0),( 5,0)FF ，双曲线上的一点P到12,F F的距离差的绝对值等于6，求双曲线的标准方程；（2）求与椭圆221255xy共焦点且过点(3 2,2)的双曲线的方程；（3）已知双曲线的焦点在y轴上

18、，并且双曲线上两点12,P P坐标分别为9(3, 4 2),( ,5)4，求双曲线的标准方程。解析：（1）因为双曲线的焦点在x轴上，所以设它的标准方程为22221xyab(0,0)ab，26,210ac，3,5ac，2225316b 。所以所求双曲线的方程为221916xy；（2）椭圆221255xy的焦点为(2 5,0),( 2 5,0)，可以设双曲线的方程为22221xyab，则2220ab。又过点(3 2,2)，221821ab。综上得，22202 10,2 10ab，所以221202 102 10 xy。点评：双曲线的定义；方程确定焦点的方法；基本量, ,a b c之间的关系。（3）因

19、为双曲线的焦点在y轴上，所以设所求双曲线的标准方程为22221(0,0)yxabab；点12,P P在双曲线上，点12,P P的坐标适合方程。8 / 12将9(3, 4 2),( ,5)4分别代入方程中，得方程组：2222222( 4 2)319( )2541abab将21a和21b看着整体，解得221116119ab，22169ab即双曲线的标准方程为221169yx。点评：本题只要解得22,a b即可得到双曲线的方程，没有必要求出, a b的值；在求解的过程中也可以用换元思想，可能会看的更清楚例 6已知双曲线中心在原点，一个顶点的坐标为(3,0),且焦距与虚轴长之比为5:4，则双曲线的标准

20、方程是_.解析：双曲线中心在原点，一个顶点的坐标为(3,0),则焦点在 x 轴上，且 a=3，焦距与虚轴长之比为5:4，即:5:4c b ，解得5,4cb，则双曲线的标准方程是221916xy；点评：本题主要考查双曲线的基础知识以及综合运用知识解决问题的能力。充分挖掘双曲线几何性质，数形结合，更为直观简捷题型 4：双曲线的性质例 7 （1） （2009 安徽卷理）下列曲线中离心率为62的是 .22124xy .22142xy .22146xy .221410 xy 【解析】由62e 得222222331,1,222cbbaaa，选 B.【答案】（2） （2009 江西卷文）设1F和2F为双曲线

21、22221xyab(0,0ab)的两个焦点, 若12FF，(0,2 )Pb是正三角形的三个顶点,则双曲线的离心率为 A32 B2 C52 D39 / 12【解析】由3tan623cb有2222344()cbca,则2cea,故选 B.【答案】B（3） （2009 天津卷文）设双曲线)0, 0( 12222babyax的虚轴长为 2，焦距为32，则双曲线的渐近线方程为（ ）A.xy2 B .xy2 C .xy22 D.xy21【解析】由已知得到2, 3, 122bcacb，因为双曲线的焦点在 x 轴上，故渐近线方程为xxaby22【答案】C【考点定位】本试题主要考查了双曲线的几何性质和运用。考察

22、了同学们的运算能力和推理能力。例 8 （1）(2009 湖北卷理)已知双曲线22122xy的准线过椭圆22214xyb的焦点，则直线2ykx与椭圆至多有一个交点的充要条件是( )A. 1 1,2 2K B. 11,22K C. 22,22K D. 22,22K 【解析】易得准线方程是2212axb 所以222241cabb 即23b 所以方程是22143xy联立2 ykx可得22 3+(4k +16k)40 xx 由0 可解得 A.【答案】A（2） （2009 四川卷文、理）已知双曲线)0( 12222bbyx的左、右焦点分别是1F、10 / 122F，其一条渐近线方程为xy ，点), 3(0

23、yP在双曲线上.则1PF2PF( ) A. 12 B. 2 C. 0 D. 4【解析】由渐近线方程为xy 知双曲线是等轴双曲线，双曲线方程是222 yx，于是两焦点坐标分别是（2，0）和（2，0） ，且) 1 , 3(P或) 1, 3(P.不妨去) 1 , 3(P，则) 1, 32(1PF，) 1, 32(2PF.1PF2PF01)32)(32() 1, 32)(1, 32(【答案】C（3） （2009 全国卷理）已知双曲线222210,0 xyCabab：的右焦点为F,过F且斜率为3的直线交C于AB、两点，若4AFFB,则C的离心率为 ( )m A65 B. 75 C. 58 D. 95【解

24、析】设双曲线22221xyCab：的右准线为l,过AB、分 别作AMl于M,BNl于N, BDAMD于,由直线 AB 的斜率为3,知直线 AB 的倾斜角16060 ,|2BADADAB,由双曲线的第二定义有1| |(|)AMBNADAFFBe 11|(|)22ABAFFB .又15643|25AFFBFBFBee .【答案】A题型 5：抛物线方程例 9 （1）)焦点到准线的距离是 2；（2）已知抛物线的焦点坐标是 F(0，2)，求它的标准方程解析：（1）y2=4x，y2=4x，x2=4y，x2=4y；方程是 x2=8y。点评：由于抛物线的标准方程有四种形式，且每一种形式中都只含一个系数 p，因

25、此只要给出确定 p 的一个条件，就可以求出抛物线的标准方程。当抛物线的焦点坐标或准线方程给定以后，它的标准方程就唯一确定了；若抛物线的焦点坐标或准线方程没有给定，11 / 12则所求的标准方程就会有多解。题型 6：抛物线的性质例 10 （1）若抛物线22ypx的焦点与椭圆22162xy的右焦点重合，则p的值为（ ）A2 B2 C4 D4（2）抛物线28yx的准线方程是（ ） (A) 2x (B) 4x (C) 2y (D) 4y （3） （2009 湖南卷文）抛物线28yx 的焦点坐标是（ ） A （2，0） B （- 2，0） C （4，0） D （- 4，0）解析：（1）椭圆22162xy的右焦点为(2,0)，所以抛物线22ypx的焦点为(2,0)，则4p ，故选 D；（2）2p8，p4，故准线方程为 x2，选 A；（3） 【解析】由28yx ,易知焦点坐标是(,0)( 2,0)2p ，故选 B. 【答案】B点评：考察抛物线几何要素如焦点坐标、准线方程的题目根据定义直接计算机即可。例 11 （1） （全国卷 I）抛物线2yx 上的点到直线4380 xy距离的最小值是（ ）A43 B75 C85 D3（2）对于顶点在原点的抛物线，给出下列条