借助载体解决立体几何问题

1、借助载体解决立体几何问题河北省唐山市开滦二中王娜 邮编：063100 电话：在解决立体几何问题时，恰当地借助一些我们熟悉的几何体，如正方体、长 方体、四面体作为载体，能够使问题变得直观，更容易得到解决。正方体作载体例题1 (1)空间四边形四条边所在直线中，互相垂直的直线最多有 对(2)空间五边形五条边所在直线中，互相垂直的直线最多有 对分析：在正方体中构造空间四边形和五边形，如图1、2D图1图2所以由图1空间四边形四条边所在直线中，互相垂直的直线最多有3对;由图2空间五边形五条边所在直线中，互相垂直的直线最多有7对例题2 一正四面体所有棱长均为 2，四个顶点在同一球面上，求此球的表面 积分析：

2、以正四面体的棱为面对角线作正方体，则该正方体的棱长为1,且其外接球与原正四面体的外接球相同，所以 它们的外接球的直径等于正方体的体对角线长3 ,所求表面积等于43=3： 0D例题3正四棱锥PABCD的侧棱长和底面边长都为长也都为a,当两个正四面体各有一个面与正四棱锥的侧面 PBC完全重合时，得到一个新的多面体，该多面体是(A)五面体(B)七面体a，(C)九面体有两个正四面体的棱PAD，侧面 )0(D)十一面体a" 2-*C:B_X图3图4I2丿分析：以正方体5个面的中心为顶点作题目中的正四棱锥 PABCD （如 图3）,则三棱锥P1 ADP和P2 BCP分别为符合题目要求的正三 棱锥

3、（如图 4）。因为 P1、P、P2共线，且 P1P2 / AB，P1P2 / CD， 所以P1、P2、A、B共面，P1、P2、C、D共面，所以得到的新多 面体为五面体例题4 一个半径为-.3的球放在墙角且与墙角的三个面都相切，则球心到墙角顶点的距离是分析：球心到墙角三个面的垂线段长均等于球的半径 构造以球的半径为棱长的正方体，球心为其一 个顶点。球心到墙角顶点的距离即 0A，等于 正方体的体对角线长3。长方体作载体 例题1 多面体 ABC DEFG （如图1）, AB、AC、AD两两垂直，面 ABC /面 DEFG，面 BEF/面 ADGC，AB=AD=DG=2，AC=EF=1，求该多面体分析

4、：采用割补法，将多面体 ABC DEFG上三棱锥GCFH割下，在让 面CFG与面FCB重合，补成长方体 ABGC DEFH ,，则所求多面体 的体积等于长方体 ABGQDEFH，即1 X 2X 2=4PA、PB、PC 两两垂直，PA=3, ，表面积为例题2 P、A、B、C是球O的面上的四个点，PB=V11，PC=4,则球的体积为分析：由于PA、PB、PC两两垂直，可构造长方体， 所求球体即为长方体的外接球，球的直径为以百 q +11 +16P为端点的体对角线，所以半径为=32所以球的体积为12 n表面积为36 njT 11/ 1 / j/T1#/P7b0例题3 在三棱锥PABC的三条侧棱PA、

5、PB、PC两两互相垂直，M是底面 ABC内一点，且PM与平面PAB、平面PBC所成的角分别为45°、 30°，则PM与平面PAC所成的角为分析：由点 M分别向平面PAB、平面PBC、平面PAC作垂线，构造长方体PM。因为体对角线与三个 相邻侧面所成的角a休丫满足2 2 2cos a+cos f+cos y=2，所以 PM 与平面PAC所成的角为30°ABM :例题4四面体各面都是边长为13、14、15的三角形, 则此四面体的体积为。分析：分别以四面体的棱作为长方体的面对角线构造长方体，设 B '=AD '13，AC=B ' '14AB 'CD '15，则长方体的棱长分别为 3J14、V70、'11，此四面体的体积为长方体体积的1，即42 55AICAB3四面体作载体例题 半径为1的球面上有A、B、C三点，A和B的球面距离为-，A和C、2B和C的球面距离为71，则球心到平面ABC的距离是3分析：分别以A、B、C、O为顶点构造四面体O-AE 贝 UZAOB=90°，厶 BOC =60*，Z AOC=60*OA = 1，OB=1，OC=1。所以 O