第六章 不等式

1、第六章 不 等 式第一部分 知识内部逻辑结构高考复习要求：1、理解不等式的性质及其证明；2、掌握两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数定理并会简单的应用（不扩展到三个）；3、掌握分析法、综合法、比较法证明简单的不等式；4、掌握简单不等式的解法；5、理解不等式a-b|a±b|a+|b|；6、能够应用不等式的性质求最值，尤其重视不等式与函数、数列、解析几何的综合问题。第二部分 重点知识过关第1单元 不等式的基本性质一、基本知识梳理1、不等式的概念：用 连结而成的式子叫做不等式；如果两个不等式的不等号 则叫做同向不等式，否则叫做异向不等式。2、两个实数的大小比较：若a,bR，则a>

2、;b ；a<b ；a=b 。3、不等式的基本性质：（1）不等式的基本性质：性质1：a>b （对称性）；性质2：a>b,b>c （传递性）；性质3：a>b a+c>b+c；性质4：a>b,c>0 ac>bc；a>b,c<0 ac<bc。（2）不等式的运算性质：性质5：a>b,c>d （加法法则）；性质6：a>b>0,c>d>0 （乘法法则）； 性质7：a>b>0,nN* （乘方法则）；性质8：a>b>0,nN* （开方法则）； 4、常用的基本不等式：（1）a20或(

3、a±b)20（a,bR）；（2）a2+b22ab(a,bR,“=” a=b)；（3）21a+1baba+b2a2+b22(a,bR+)，当且仅当 时取等号；（4）ba+ab2(a,b同号且ab0)；a+1a2成立的条件是 ；当a 时，a+1a-2。（5）|a-b|a±b|a+|b|，其中等号成立的条件是 。二、对点检测1、设满足-2<<2，则-2的范围是 （ ）A、(-,) B、(-,0) C、(-2,0) D、(-2,2) 2、设a,b为非零实数，若a<b，则下列不等式成立的是（ ）A、a2<b2 B、ab2<a2b C、1ab2<1a

4、2b D、ba<ab 3、已知M=(x2+1)2，N=x4+x2+1，其中x0，则（ ）A、M>N B、M=N C、M<N D、MN 4、若1a<1b<0，则下列不等式a+b<ab；a>|b|；a<b；ba+ab>2中，正确的有 （ ）A、1个 B、2个 C、3个 D、4个5、如果a1，a2，a8为各项都大于零的等差数列，公差d0，则 （ ）A、a1a8>a4a5 B、a1a8<a4a5C、a1+a8>a4+a5 D、a1a8=a4a5 6、设a,b,c,dR且a>b,c>d，则下列结论中正确的是（ ）A、a+

5、c>b+d B、a-c<b-d C、ac>bd D、ad=bc 7、已知0<x<y<a<1，则有 （ ）A、logaxy<0 B、0<logaxy<1 C、1<logaxy<2 D、logaxy>2 8、若a>b>0，m>0，则ba b+ma+m；ba b-ma-m。三、重点题型解析1、不等式的性质的变形：【例1】：已知三个不等式：ab>0；ca>db；bc>ad。以其中两个作条件，余下一个作结论，则可组成的正确命题 。【练习】：如果a>b>0，则下列不等式：1a<

6、;1b；a3>b3；lga2+1>lg(b2+1)；2a>2b。其中成立的是（ ）A、 B、 C、 D、不等式的性质都熟悉了吗？能够利用性质进行变形了吗？想一想：2、实数的大小比较：【例2】：（1）实数a、b、c、d满足下列三个条件：d>c；a+b=c+d；a+d<b+c。试判断a、b、c、d的大小。（2）当0<a<1时，(1-a)13与(1-a)12的大小关系是 。（3）若ab，试比较a3+13ab2与5a2b+9b3的大小。【练习】：（1）已知a>b>c，则a-b(b-c)与a-c2 的大小关系是 。（2）若a>b>1，P=

7、lgalgb，Q=12(lga+lgb)，R=lga+b2，则P、Q、R的大小关系是 。实数的大小比较有哪些方法？基本原理是什么？想一想：3、不等式性质的应用：【例3】：（1）已知二次函数y=f(x)的图象过原点，且1f(-1)2，3f(1)4，求f(-2)的范围。 （2）已知fx=x+1x，若ab>0，试比较fa+f(b)2与f(a+b2)的大小。【练习】：（1）已知a,b,m,nR+，am+n+bm+nambn+anbm。 （2）若a1，试比较M=a+1-a和N=a-a-1的大小。不等式的基本性质有哪些应用？怎样应用？尤其是例3的第一小题要总结，想想还有什么方法。想一想：四、学习效果

8、评估1、对于0<a<1，下列四个不等式中成立的是 （ ）loga1+a<loga(1+1a)，loga1+a>loga(1+1a)，a1+a<a1+1a，a1+a>a1+1aA、 B、 C、 D、 2、已知a、b、c满足c<b<a，且ac<0，那么下列选项中不一定成立的是 （ ）A、ab>ac B、cb-a<0 C、cb2<ab2 D、aca-c>0 3、若a>0>b，0>c>d，则下列不等式中不成立的是（ ）A、ac<bd B、ad>bc C、a+c>b+d D、a-d&g

9、t;b-c4、已知a,b,cR，那么下列命题正确的是 （ ）A、a>b ac2>bc2 B、ac>bc a>b C、a3>b3ab<0 1a>1b D、a2>b2ab>0 1a<1b5、若a2<x<a，M=logax2，N=loga(logax)，P=(logax)2，则下列不等式成立的是 （ ）A、M>N>P B、M>P>N C、P>M>N D、N>M>P6、1a+1>1是-1<a<0的 （ ）A、充分必要条件 B、充分不必要条件C、必要不充分条件 D、既

10、不充分也不必要条件7、已知fx=ax，gx=bx，当fx1=gx2=3时，x1>x2，则a与b的大小关系不可能成立的是 （ ） A、b>a>1 B、a>1>b>0 C、0<a<b<1 D、b>1>a>08、若a>b，c>d且a<0，d<0，则ac bd。9、已知0<a<12，A=1-a2，B=1+a2，C=11-a，D=11+a，则A、B、C、D的大小关系是 。10、a4-b4与4a3(a-b)的大小关系是 。11、已知5x+3y=2(x>0,y>0)，则xy的最小值是 。学

11、习心得体会：第2单元 不等式的证明一、基本知识梳理1、证明不等式的基础理论：（1）实数的大小比较；（2）常用的不等式（见前面）。2、证明不等式的基本方法：（1）比较法；（2）综合法；（3）分析法；（4）构造法；（5）数学归纳法；（6）换元法；（7）反证法；（8）判别式法。3、证明不等式的常用技巧：放缩的技巧。二、对点检测1、给出下列四个不等式：x2+3>2x；a5+b5a3b2+a2b3；a2+b22(a-b-1)；a+mb+m>ab(m>0)。其中正确不等式的个数是 （ ）A、1 B、2 C、3 D、42、设a>0，b>0，则以下不等式中不恒成立的是 （ ）A、

12、a+b(1a+1b)4 B、a3+b32ab2C、a2+b2+22a+2b D、|a-b|a-b3、已知a2+b2+c2c2+a2b2=4，则ab+c2的最大值为 （ ）A、1 B、2 C、3 D、44、已知a>b>c，则使1a-b+1b-c+nc-a0成立的最大整数n为 。三、重点题型解析1、用比较法证明不等式：【例1】：（1）求证：a2+b2+c2ab+bc+ca；【练习】：设a>b>c，求证：bc2+ca2+ab2<b2c+c2a+a2b。比较法证明不等式的核心和步骤分别是什么？想一想：2、用综合法和分析法证明不等式：【例2】：已知a,b(0,+)，a+b=

13、1，求证：（1）1+1a(1+1b)9；（2）a+12+b+122。【练习】：（1）若a>0，b>0，c>0。求证：bca+acb+abca+b+c；a2b+b2c+c2aa+b+c。 （2）a，b，cR+且a+b+c=1，求证：1-a1-b(1-c)8abc 已知a，b，c是不全相等的正数，且abc=1，求证：a+b+c<1a+1b+1c。分析法与综合法证明不等式的逻辑依据是什么？想一想：3、构造法证明不等式：【例3】：（1）求证：a+|b|1+a+|b|a+b|1+|a+b|；（2）已知x>1，求证：x>ln(1+x)； （3）已知函数fx=lnx。求函

14、数gx=fx+1-x的最大值；（2）当0<a<b时求证：fb-fa>2a(b-a)a2+b2。（提示：可构造辅助函数：Fx=x2+a2lnx-lna-2ax-a(x>a>0)） （4）已知函数fx=1+lnx+1x(x>0)。函数f(x)在(0,+)上是增函数还是减函数？证明你的结论；若x>0时，fx>kx+1恒成立，求整数k的最大值；求证：1+1×21+2×31+3×41+nn+1>e2n-3。【练习】：已知A，B，C是直线l上不同三点，O不在直线上，向量OA，OB，OC满足：OA-fx+2f'1OB

15、+ln(x+1)OC=0，其中f'(x)是f(x)的导函数。（1）求函数f(x)的解析式；（2）当x(0,1)时，证明：1x+1<fx-fx-1<1x。构造法证明不等式的依据是什么？步骤如何？核心是什么？想一想：4、用数学归纳法证明不等式：【例4】：已知数列xn满足：x1=12，xn+1=11+xn，nN*。（1）猜想数列xn的单调性，并证明你的结论；（2）证明：|xn+1-xn|16(25)n-1。（陕西2009理22）【练习】：用数学归纳法证明：1+122+132+1n2<2-1n(n2)。【探索】：已知数列bn是等差数列，b1=1,b1+b2+b10=145。（

16、1）求数列bn的通项公式；（2）设数列an的通项an=loga1+1bn(a>0,a1)，记Sn是数列an的前n项和，试比较Sn与13logabn+1的大小。哪些不等式适合于数学归纳法？关键是什么？想一想：5、关于放缩的技巧：【例8】：设a,b,cR+且a+b=c，求证：a23+b23>c23。【练习】：设Sn=12+23+n(n+1)，求证：n(n+1)2<Sn<(n+1)22。四、学习效果评估1、已知不等式x+y(1x+ay)9对任意正实数x,y恒成立，则正实数a的最小值为 （ ）A、2 B、4 C、6 D、82、设x>0，y>0，M=x+y2+x+y，

17、N=x2+x+y2+y，则M，N的大小关系是 （ ）A、M>N B、M<N C、MN D、MN3、已知a>0，b>0，且a+b>2，则1+ba，1+ab中（ ）A、至多一个小于2 B、至少一个小于2 C、都小于2 D、都大于24、设a,b,c是互不相等的正数，则下列不等式中不恒成立的是 （ ）A、a-ba-c+|b-c| B、a2+1a2a+1a C、a-b+1a-b2 D、a+3-a+1a+2-a5、对于函数fx=x2+2x，在使f(x)M成立的所有常数M中，我们把M的最大值 叫做fx=x2+2x的下确界。对于a,bR，且a,b不全为0，那么a2+b2(a+b)

18、2 的下确界是 （ ）A、12 B、2 C、14 D、46、证明下列不等式：（1）若a,b,cR+，则12a+12b+12c1b+c+1c+a+1a+b；（2）已知a,b,c是正数且a+b+c=1，则3a+1+3b+1+3c+132；（3）已知a,b,cR且a+b+c=1，则a2+b2+c213。（4）已知a>0,b>0,c>0；若a+b=1，求证：a+b2；若a+b+c=1，求证：a+b+c3。7、设二次函数fx=ax2+bx+c(a>0)，方程fx-x=0的两根x1和x2满足0<x1<x2<1a。（1）当x(0,x1)时，证明：x<fx<

19、;x1；（2）设函数f(x)的图象关于直线x=x0对称，证明：x0<x12。8、已知函数fx=xlnx。（1）求函数f(x)的单调区间和最小值；（2）当b>0时，求证：bb(1e)1e；（3）若a>0,b>0，证明：fa+a+bln2fa+b-f(b)（提示：构造函数：gx=fx+f(k-x)，其中k=a+b）。学习心得体会：第3单元 不等式的解法一、基本知识梳理1、一元一次不等式（组）的解法：任何一元一次不等式经过移项、合并同类项都可以转化成为ax>b 的形状。而当a>0时，解集为x|x>ba，当a<0时，解集为x|x<ba，当a=0,b

20、<0时，解集为R，当a=0,b>0时，解集为。一元一次不等式组的解集是将组内所有不等式的解集求交集。2、一元二次不等式（组）的解法：所有一元二次不等式经过移项、合并同类项都可以转化成ax2+bx+c>0()（a0）的形状。其解法流程与解集判断方法如下图：3、一元高次不等式的解法：所有高次不等式均转化成一边为关于x的多项式而另一边为零的形状，然后采用数轴标根法进行求解。4、分式不等式的解法：所有分式不等式均转化成一边为分式而另一边为零的形状，然后采用有理数乘除的符号规律转化成为高次不等式求解。5、指数不等式与对数不等式的解法：利用指数函数与对数函数的单调性去掉对数符号或指数的底

21、数，转化成代数不等式进行求解。6、含有绝对值的不等式的解法：二、对点检测1、不等式组x2-1<0x2-3x<0的解集是 （ ）A、x|-1<x<1 B、x|0<x<3 C、x|0<x<1 D、x|x<1且x-12、设函数fx=2-x-1x0x12x>0，若fx0>1，则x0的取值范围是 （ ）A、(-1,1) B、(-1,+) C、-,-2(0,+) D、-,-1(1,+) 3、不等式4x-x2<x的解集是 （ ）A、(0,2) B、(2,+) C、(2,4 D、-,0(2,+) 4、下列各组不等式中不同解的是 （ ）A、

22、x+12x-10，2x-10或x+1=0 B、x+132x-10，(x+1)(2x-1)0 C、x-122x-1>0，2x-1>0 D、x-12x-10，x-1(2x-1)02x-10 5、若0<a<1，则不等式a-xx-1a>0的解集是 （ ）A、x|a<x<1a B、x|1a<x<a C、x|x>1a或x<a D、x|x<1a或x>a6、已知函数fx=x-2x2-2x<2，则不等式xfx-1<10的解集为 。7、使log2-x<x+1成立的x的取值范围是 。三、重点题型解析1、不等式的解法：【例

23、1】：解不等式：（1）5-xx2-2x-3<-1；（2）x-232x+52x-3(x+1)2x+52(x-1)>0【练习】：解不等式：x2-1(x2-6x+8)0可解的不等式有哪些类型？各类不等式的同解变形原理原理分别是什么？想一想：2、含参不等式的处理策略：【例2】：解下列关于x的不等式：（1）a(x-1)x-2>1(a1)；（2）ax2-2a+1x+4>0；（3）2logax-1>loga1+ax-2；（4）x2-a+2x>a。【练习】：解关于x的不等式：x1-x<1-a。处理参数的基本原则是什么？何如实现分类整合？分类的标准是什么？想一想：3、求

24、参数的取值范围：【例3】：已知函数fx=x2+2x+ax。（1）若a=12，当x1,+)时，求f(x)的最小值；（2）当x1,+) 时，fx>0恒成立，试求实数a的取值范围；（3）当x1,+)时，fx>a恒成立，试求实数a的取值范围。【例4】：若不等式2x-1>m(x2-1)对满足-2m2的所有m都成立，求x的取值范围。【练习】：（1）已知函数fx=x2ax+b（a,b为常数）且方程fx-x+12=0的两根为x1=3,x2=4。求f(x)的解析式；设k>1，解关于x的不等式fx<k+1x-k2-x。（2）已知不等式x-3-x+1<a的解集非空，则a的取值范围

25、是 。（3）已知a<b，关于x的不等式x-a(x-b)x-c0的解集为-2,13,+)，求a,b,c的值。恒成立问题的处理方法是什么？可以成立的处理方法是什么？恰成立呢？想一想：四、学习效果评估1、若满足1x<2且1x>-3，则x的取值范围是 （ ）A、x|-13<x<12 B、x|x>12 C、x|x<-13 D、x|x<-13或x>122、已知向量a=(x,-1)与向量b=(1,1x)，则不等式ab0的解集为 （ ）A、x|x-1或x1 B、x|-1x<0或x1 C、x|x-1或0x1 D、x|x-1或0<x13、函数fx=

26、n=119|x-n|的最小值为 （ ）A、190 B、171 C、90 D、454、已知x,yR，则x-y>|x-|y|成立的充要条件是（ ）A、xy>0 B、xy0 C、xy<0 D、xy05、函数fx=lg3x-9+1x-3 的定义域是 （ ）A、(2,+) B、(3,+) C、2,3(3,+) D、(-,3)6、若不等式8x+9<7和不等式ax2+bx-2>0的解集相等，则实数a,b的值为 （ ）A、a=-8,b=-10 B、a=-4,b=-9 C、a=-1,b=9 D、a=-1,b=27、已知不等式loga1-1x+2>0的解集是(-,-2)，则a的

27、取值范围是 （ ）A、0<a<12 B、12<a<1 C、0<a<1 D、a>18、不等式2x2-2x-3<(12)3x-3的解集为A，不等式log0.59-x2>log0.5(6-2x)的解集为B，不等式x2+ax+b<0的解集为AB，那么ab= 。9、不等式2x-log2x<2x+|log2x|的解集为 。10、若不等式x2-logmx<0在(0,12)上恒成立，则实数m的取值范围是 。11、解关于x的不等式ax2-2a+1x+4>0。12、已知不等式x2+px+1>2x+p。（1）如果不等式当|p|2时恒

28、成立，求x的取值范围；（2）如不等式当2x4时恒成立，求p的取值范围。13、已知不等式a-1x2+5-2ax-3x2+x+1<1在R上恒成立，求实数a的取值范围。学习心得体会：第4单元 不等式的应用一、基本知识梳理1、不等式在数学解题中的应用类型：（1）求函数的定义域；（2）求函数的值域；（3）讨论函数的单调性；（4）讨论一元二次方程根的分布情况；（5）确定参数的取值范围。2、解决实际应用问题的主要类型：主要是最优化问题，一般涉及到求最值和取得最值时的条件。3、不等式在实际问题中的应用涉及到的主要工具：（1）均值不等式；（2）不等式的解法。二、对点检测1、已知函数y=log0.5(3x2

29、-ax+5)在-1,+)上是减函数，则实数a的取值范围是 （ ）A、a-6 B、-215<a<-6C、-8<a-6 D、-8a-62、已知关于x的方程(12)x=1+lga1-lga有正根，则实数a的取值范围是 （ ）A、0,1(10,+) B、(0,1) C、(110,10) D、(110,1)3、已知a>0,b>0，a,b的等差中项是12，且=a+1a，=b+1b，则+的最小值是 。4、a0,b0，a2+b22=1，则a1+b2的最大值是 。5、要使不等式x+ykx+y对所有的正数x,y都成立，则k的最小值是 。6、设正数a,b满足条件a+b=3，则直线a+b

30、x+aby=0的斜率的取值范围是 。7、某电脑用户计划使用不超过500的资金购买单价分别为60元和70元的单片软件和盒装磁盘，根据需要，软件至少买3片，磁盘至少买两盒，则不同的选购方式有 种。8、周长为2的直角的三角形的面积最大值为 。9、（1）若正数x,y满足x+2y=1，求1x+1y 的最小值； （2）若正数x,y满足2x+8y-xy=0，求x+y的最小值。三、重点题型解析1、构造均值不等式求取值范围：【例1】：（1）求函数y=x2+7x+10x+1(x>-1)的最小值；（2）已知x>0,y>0且3x+4y=12，求lgx+lgy的最大值及相应的x,y的值。【练习】：（1

31、）已知x<54求函数y=4x-2+14x-5 的最大值；（2）已知x>0,y>0且1x+9y=1，求x+y的最小值；（3）已知x,yR+，且x+4y=1，则xy的最大值为 。均值不等式在求最值时的使用条件是什么？想一想：2、不等式在实际问题中的应用：【例2】：甲、乙两地相距S千米，汽车从甲地匀速行驶到乙地，速度不得超过c千米/小时。已知汽车每小时的运输成本由可变部分和固定部分组成：可变部分与速度v的平方成正比，比例系数为b，固定部分为a元，为了使全程运输成本最小，汽车应以多大速度行驶？【练习】：经过长期观测得到：在交通繁忙的时间段内，某公路段汽车的车流量y（千辆/小时）与汽车

32、的平均速度v（千米/小时）之间的函数关系为y=920vv2+3v+1600(v>0)。（1）在该段时间内，当汽车的平均速度v为多少时，汽车的车流量最大？最大车流量为多少（精确到0.1千辆）？（2）若要求在该段时间内车流量超过10千辆/小时，则汽车的平均速度应在什么范围内？不等式在实际问题中的应用主要涉及到的问题类型和使用的知识类型分别是什么？想一想：3、不等式、函数、方程的综合应用：【例3】：若关于x的方程4x+a2x+a+1=0有实数解，求实数a的取值范围。【练习】：已知f(x)是定义在-1,1上的奇函数，且f1=1，若a,b-1,1,a+b0有fa+f(b)a+b>0。（1）判

33、断函数f(x)在-1,1上是增函数还是减函数，并证明你的结论；（2）解不等式：fx+12<f(1x-1)；（3）若fxm2-2am+1对所有x-1,1,a-1,1恒成立，求实数m的取值范围。不等式在函数中主要解决哪些问题？主要使用不等式中的哪些知识？想一想：4、不等式在数列中的应用：【例4】：已知等比数列an的首项a1>0，公比q>-1且q1，前n项和为Sn；数列bn中，bn=an+1-kan+2，前n项和为Tn。求证：（1）Sn>0；（2）若Tn>kSn对一切正整数n成立，则k<12。【练习】：（1）设数列an的前n项和为Sn，已知a1=1，a2=6，a3=11，且5n-8Sn+1-5n+2Sn=An+B，n1,nN，其中A,B为常数。求A,B的值；证明数列an