行列式的定理(续)

1、§3 行列式的定理（续）教学目的 通过3.2与3.3的数学，使学生掌握按一行(列)展开定理，理解Laplace展开定理，为行列式的计算打下较坚实基础。教学内容3.2 按一行(列)展开定理先引进A的子式、余子式及代数余子式的概念定义1 设,取定 ,由A的第行和第列的交叉处元素组成的k阶子矩阵记作；其行列式叫做A的一个k阶子式记作.当时，这个k阶子式为叫做A的k阶主子式；特别地，叫做A的顺序主子式若划掉A中的第行、第列，剩下的元素按原来的相对位置组成A的一个nk阶子矩阵，记作，其行列式记作，叫做在|A|中子式的余子式令,叫做在| A |中的代数余子式当k = 1时，A的一阶子式的余子式记

2、作，即;其代数余子式记作，故例3 设,则, .现在，我们来证明按一行(列)展开定理定理2.3.2 设，则; (1), (2)即|A|等于它的任意一行(列)的所有元素与其相应的代数余子式乘积之和证 对列分三种情形证明(2)1)设，则 2)设此时，将|A|的第j列依次与它左边的第j1, j2 , 1列交换再将此结果的第i行依次与它上面的第i1 , i2 , 1行交换，则由命题2.2.2得到这里因此，由1)证得的结果得到3)一般地，注意到,则由命题2.2.4与2)证得的结果得到因此，(2)成立类似可证(1)成立设A的n个列向量为令 k列 j列 ，并将定理2.3.2应用于B的第k列，则由推论2.2.1

3、得到类似地，行的情形也成立因此，我们得到推论2.3.3 设，则, (3), (4)这里是Kronecker符号，j，k = 1，2，n定理2.3.2及其推论颇有应用，我们将在§4、§5中继续作些阐述注意到是|A|的一阶子式因此，考虑定理2.3.2的一般化，我们来介绍3.3 Laplace展开定理引理2.3.1 设，则的展开式中的任一项是|A|的展开式中的一项，而且符号一致证 先考虑=的情形，则=又的任一项连同符号为；的任一项连同符号为注意到是k+1，n的一个排列，有tt(t因此，的任一项连同符号为它也是| A |的展开式中的一项，且符号也一致现考虑一般情形注意到，对|A|作

4、次相邻行的对换，将|A|的第行调为第1行；继续这样做法，经过次相邻行的对换，将的行调为第2，k行类似地，经过次相邻列的对换，将的第列调为第1，2，k列因此，由命题2.2.2有 (5)令，则由前面的证明知道展开式中的任一项是|B|的展开式中的一项，且符号一致，又´ 的展开式与的展开式仅相差的一个符号，它就是，与|A|、|B|展开式相差的符号一致所以由(5)知道 展开式的任一项是|A|的展开式中的一项，且符号一致定理2.3.3(Laplace) 设在|A|中取定任意的k列，其列号满足，则 (6)证 由引理2.3.1知道(6)式右边每个加项展开式中的任一项是|A|展开式中的一项，且符号一致又(6)式右边的任意两个不同加项,至少有，因而它们展开式的项没有重复于是，(6)式右边展开式的项数为恰好与|A|展开式所含项数一致故(6)式成立 类似地，取定k行，其行号满足则 (7)例4 设数域F上的块上三角矩阵