角动量守恒定律在物理竞赛中应用

1、 “角动量及角动量守恒定律的应用 角动量（angular momentum) 在物理学中是与物体到原点的位移和动量相关的物理量。概念：转动物体的转动惯量 (rotational inertia) 和角速度 (angular velocity) 的乘积叫做它的角动量。L = II 是转动惯量，（欧米伽）是角速度。角动量在经典力学中表示为到原点的位移和动量的叉乘，通常写做L 。角动量是矢量。 L= r×p 其中，r表示质点到旋转中心（轴心）的距离（可以理解为半径），L表示角动量。p 表示动量。 角动量的方向：角动量是r（参考点到质点的距离矢量）叉乘动量，是两个矢量的叉乘，在右手坐标系里遵

2、循右手螺旋法，即右手四指指向r的方向，转过一个小于180度的平面角后四指指向动量的方向，则大拇指所指的方向就是角动量的方向。在不受外力矩作用时，体系的角动量是守恒的。 角动量在量子力学中与角度是一对共轭物理量。角动量是一种特殊的动量，它的大小取决于转动的速率和转动物体的质量分布。角动量守恒定律（conservation of angular momentum,law of）物理学的普遍定律之一。反映质点和质点系围绕一点或一轴运动的普遍规律。反映不受外力作用或所受诸外力对某定点（或定轴）的合力矩始终等于零的质点和质点系围绕该点（或轴）运动的普遍规律。例如一个在有心力场中运动的质点，始终受到一个通

3、过力心的有心力作用，因有心力对力心的力矩为零，所以根据角动量定理，该质点对力心的角动量守恒。因此，质点轨迹是平面曲线，且质点对力心的矢径在相等的时间内扫过相等的面积。如果把太阳看成力心，行星看成质点，则上述结论就是开普勒行星运动三定律之一。一个不受外力或外界场作用的质点系，其质点之间相互作用的内力服从牛顿第三定律，因而质点系的内力对任一点的主矩为零，从而导出质点系的角动量守恒。如质点系受到的外力系对某一固定轴之矩的代数和为零，则质点系对该轴的角动量守恒。角动量守恒也是微观物理学中的重要基本规律。在基本粒子衰变、碰撞和转变过程中都遵守反映自然界普遍规律的守恒定律，也包括角动量守恒定律。W.泡利于

4、1931 年根据守恒定律推测自由中子衰变时有反中微子产生，1956年后为实验所证实。角动量定理和角动量守恒定律：质点角动量：若质点绕某固定点（轴）0作圆周运动对0点图2（如图1所示） 若质点作匀速直线运动时对任意定点0的角动量，如图2所示 （方向垂直纸面向外）刚体对定轴的角动量：刚体对定轴角动量刚体对某定轴的角动量等于刚体对此定轴的转动惯量与角速度的乘积，其方向由右手螺旋法则确定。角动量定理 质点角动量定理：，或 一质点所受的外力矩等于它的角动量对时间的变化率；或者一质点所受的合冲量矩等于它的角动量的增量 冲量矩：力矩的时间积累刚体的角动量定理： ， 质点和质点系的角动量守恒：质点角动量守恒：

5、当M外=0，F外=0，匀速直线运动的物体对任意点O的角动量守恒。力F过定点O，此力称为有心力，有心力作用下的天体运动对力心O的角动量守恒。质点系（刚体）角动量守恒定律：，即外力对定点（轴）力矩之和为零，有，对刚体： “角动量守恒”及其应用本文选自物理教师2007年第4期。在研究“质点或质点系绕某一定点或轴线运动”这类竞赛题时，我们常利用“角动量守恒定律”来处理此类问题。“角动量守恒定律”是自然界最基本最普遍的定律之一，应用该定律来处理力学问题在近几年的全国中学生物理竞赛中屡屡出现。从反馈情况来看，能否灵活应用“角动量守恒”成为解题的“瓶颈”。帮助学生认清该定律的内容及其规律并能够适当地变式处理

6、此类问题，无疑对参加全国中学物理竞赛有很大的帮助。下面就“角动量守恒”及其应用作一些简单探讨。OmP图1r1 角动量守恒定律11质点对参考点的角动量守恒定律如图1所示，质点m的动量为P，相对于参考点O的角动量为L，其值，其中是质点的动量与质点相对参考点0的位置矢量r的夹角。其角动量的变化量等于外力的冲量矩（M为外力对参考点O的力矩），即。若M=0，得=0，即质点对参考点O的角动量守恒。12质点系对参考点的角动量守恒定律由n个质点组成的质点系，且处于惯性系中，可以推导出作用于各质点诸力对参考点的外力矩的冲量，仍等于质点系对该参考点的角动量的变化量，即。同样当时，质点系对该参考点的角动量守恒。如果

7、n个质点组成的质点系，处于非惯性系中，只要把质点系的质心取作参考点，上述结论仍成立。13角动量守恒的判断mmmMDBCAV0图2当外力对参考点的力矩为零，即时，质点或质点系对该参考点的角动量守恒。有四种情况可判断角动量守恒：质点或质点系不受外力。所有外力通过参考点。每个外力的力矩不为零，但外力矩的矢量和为零。甚至某一方向上的外力矩为零，则在这一方向上满足角动量守恒。内力对参考点的力矩远大于外力对参考点的合力矩，即内力矩对质点系内各质点运动的影响远超过外力矩的影响，角动量近似守恒。2 角动量守恒定律的应用例题1 （第23届物理竞赛复赛第2题）如图2所示，一根质量可以忽略的细杆，长为2l，两端和中

8、心处分别固连着质量为m的小球B、D和C，开始时静止在光滑的水平桌面上。桌面上另有一质量为M的小球A，以一给定速度v0沿垂直于杆DB的方向与右端小球B作弹性碰撞。求刚碰后小球A、B、C、D的速度，并详细讨论以后可能发生的运动情况。本题粗看是一类弹性碰撞类问题，利用动量守恒、能量守恒及杆子牵连速度来求解。但本题涉及4个物体组成的质点系，未知量多，利用上述关系还不能求解。挖掘题中的守恒规律成为本题的难点，且守恒规律不易挖掘。解析 小球A、B碰撞瞬间，球A挤压B，其作用力方向垂直于杆，使球B获得沿方向的速度。从而在碰撞瞬间使小球C、D的速度也沿方向。对质点组B、C、D与A组成的系统，碰撞前后动量守恒。

9、由于小球C位于由B、C、D三球组成的质点组的质心处，所以小球C的速度也就是质点组的质心速度。可得： （1）质点组B、C、D与A是弹性碰撞，碰撞前后质点组的动能相等。碰撞后A、B、C、D的速度分别为、，得 （2）对质点组B、C、D在碰撞瞬间，在B处受到A球的作用力，若取B（与B球重合的空间固定点）为参考点，则质点组B、C、D在碰撞前后，外力矩等于零，所以质点组角动量守恒。可得： （3）由杆的刚性条件有： （4）由（1）、（2）、（3）、（4）式，可得 （5） （6） （7） （8）碰撞后各小球的运动碰撞后，质点组B、C、D不受外力作用，其质心作匀速运动，即，碰撞后，B、D两小球将绕小球C作匀角速

10、度转动，角速度的大小为方向为逆时针方向。由（6）式可知，碰后小球A的速度的大小和方向与M、m的大小有关，由于M、m取值不同而导致运动情形比较复杂，即可以使；且；情景的出现，在此不作详细讨论。图3例题2 （第20届物理竞赛复赛第1题）如图3所示，a为一固定放置的半径为R的均匀带电球体，O为其球心己知取无限远处的电势为零时，球表面处的电势为U=1000 V在离球心O很远的O点附近有一质子b，它以 Ek2000 eV 的动能沿与O¢O平行的方向射向a以l表示b与O¢O线之间的垂直距离，要使质子b能够与带电球体a的表面相碰，试求l的最大值把质子换成电子，再求l的最大值解析 质子在运

11、动过程中受到a球对它的库仑力作用，且库仑力总是通过a球的球心。类似这样的力我们称之为有心力。如取球心O为参考点，则其作用力对O的力矩始终为零，即质子在运动过程中对参考点的角动量守恒。即在有心力作用下角动量守恒。图4v如图4所示，令表示质子的质量，和分别表示质子的初速度和到达a球球面处的速度，表示元电荷。质子在b处的角动量为；到达球a表面时的角动量为所以得： （1） 质子从b运动到a，能量守恒，由于无穷远处电势能为零，故得： （2） 由式（1）、（2）可得 代入数据，可得 若把质子换成电子，此时式（2）中改为。同理可求得 例题3 如图5所示，滑轮两边悬挂的重物与盘的质量相同，均为M，处于静止。现有距盘底高为h质量为m的胶泥自由下落，求胶泥粘在盘上时盘获得的初速度。不计滑轮与绳质量，及轴承摩擦和绳的伸长。图5mMO解析