圆锥曲线通用结论

1、圆锥曲线常用结论(自己选择)、椭 圆1 . 点P处的切线 PT平分PF1F2在点P处的外角.2 . PT平分PF1F2在点P处的外角，则焦点在直线PT上的射影H点的轨迹是以长轴为直径的圆，除去长轴的两个端点3 .以焦点弦PQ为直径的圆必与对应准线相离.4 .以焦点半径PFi为直径的圆必与以长轴为直径的圆内切.5.6.7.22若Po(xo,yo)在椭圆与斗 a b22x y右Po(X0,yo)在椭圆-22a b点弦Pi P2的直线方程是粤a1上，则过Po的椭圆的切线方程是 券邛 1. a b1外，则过P0作椭圆的两条切线切点为P1、P2,则切yoyb21.22一 x y椭圆 2y 1 (a &g

2、t; b > 0)的左右焦点分别为F1 , F 2 ,点P为椭圆上任意一点a bF1PF2,则椭圆的焦点角形的面积为S FPF2b2 tan-.1 2222，一 x y .8 . 椭圆= 5 1 (a>b>0)的焦半径公式：a2b2IMF1Iaexo,| MF2I aexo (F1 (c,0) ,F2(c,0) M(x°,y。).9 .设过椭圆焦点F作直线与椭圆相交 P、Q两点，A为椭圆长轴上一个顶点，连结AP和AQ分别交相应于焦点 F的椭圆准线于 M、N两点，则MFXNF.A1P和10 .过椭圆一个焦点F的直线与椭圆交于两点P、Q,A1、A2为椭圆长轴上的顶点,1

3、1.12.A2Q交于点M ,A2P和A1Q交于点 N ,则MF，NF.22一,一 一 xyAB是椭圆一22"ab1的不平行于对称轴的弦，M (xo, yo)为AB的中点，则kOM kAB即Kabb2-2"， ab2x。2a yo若Po(x。，yo)在椭圆22x y , 一、.一22 1内，贝U被POa b所平分的中点弦的方程是22XoX y°yxoyo-2- , 2-2 1l，abab22x y13.若Po(xo, yo)在椭圆二 1内，则过 Po的弦中点的轨迹万程是 a b22XyXoXyoy2-2-, 2.abab二、双曲线1 . 点P处的切线 PT平分PFi

4、 F2在点P处的内角.2 . PT平分PF1F2在点P处的内角，则焦点在直线 PT上的射影H点的轨迹是以长轴 为直径的圆，除去长轴的两个端点.3 .以焦点弦PQ为直径的圆必与对应准线相交.4 .以焦点半径PF1为直径的圆必与以实轴为直径的圆相切.（内切：P在右支；外切:P在左支）5.6.2 X 右Po（Xo,yo）在双曲线 a是警警1.a b2 X 右Po（Xo,yo）在双曲线-2 a2y2 1 （a>o,b>。）上，则过Po的双曲线的切线方程 b2y，1 （a>o,b>o）外，则过Po作双曲线的两条切b2线切点为P1、P2,则切点弦P1P2的直线方程是 缪 邛 1.a

5、 b22一，一x y7.双曲线二 % 1 （a>o,b>o）的左右焦点分别为F1, F2,点P为双曲线上任a b2.意一点F1PF2，则双曲线的焦点角形的面积为S fpf b cot-.1 22228.双曲线与 y 1 (a>0,b>o)的焦半径公式：(Fi( c,0) , F2(c,0) a b当 M(Xo,yo)在右支上时，| MF11 ex0 a , | MF21 e% a .当 M(x0,y0)在左支上时，|MF1|ex0 a ,|MF21ex0 a9.设过双曲线焦点F作直线与双曲线相交P、Q两点，A为双曲线长轴上一个顶点,连结AP和AQ分别交相应于焦点F的双曲

6、线准线于 M、N两点，则 MF XNF.10.过双曲线一个焦点 F的直线与双曲线交于两点P、Q,Ai、A2为双曲线实轴上的顶点，AiP和A2Q交于点M, A2P和A1Q交于点N,则MF ± NF. x211. AB是双曲线a的中点，则Kom2 y b2K AB1 （a>0,b>0）的不平行于对称轴的弦,M （x。，y。）为 AB12.x右Po（x。，y。）在双曲线 a2方程曰3地包222aba13.b2Xo-2a v。b2x。-2a y。2 y b22 y。 庐1 （a>0,b >0）内，则被 Po所平分的中点弦的22x y右p3（xo,y。）在双曲线2 a

7、b22产曰 X yXoX yoy任72 ,22,2 .abab1 （a>0,b >。）内，则过 Po的弦中点的轨迹方椭圆与双曲线的对偶性质-（会推导的经典结论）22，一 x y1 .椭圆工 + 1 （a>b>o）的两个顶点为 A1（ aQ）,A2（a,。）,与y轴平行的直 a b22x y .线交椭圆于 P1、P2时A1P1与A2P2交点的轨迹万程是 22 1 .a b222.过椭圆 今 4 1 （a>。，b>。）上任一点 人能。，丫。）任意作两条倾斜角互补的直a b b2xn线交椭圆于B,C两点，则直线BC有定向且kBc-。（常数）.a y。22,，一 x

8、 y3.若P为椭圆 = 三 1 （a>b>。）上异于长轴端点的任一点，F1, F2是焦点，a2 b2 一, a cPF1F2,PF2F1，贝Utan cot.a c 2222一一 x y4.设椭圆一2 f 1 （a>b>。）的两个焦点为 F1、F2,P （异于长轴漏点）为椭圆 a2 b2上任意一点，在 PF1F2中，记F1PF2PF1F2, F1F2P,则有sin c e. sin sin a5.22，一 x y右椭圆一2 = 1 （a>b>。）a2 b2的左、右焦点分别为 F1、F2,左准线为L,则当。6.7.8.9.10.11.12.13.<e&l

9、t;72 1时，可在椭圆上求一点 P,使得PFi是P到对应准线距离 d与PF2的2 X P为椭圆-2 a则 2a |AF2|椭圆(x Xo)22a2, 2B b2X已知椭圆-a|PA|(y b(a> b>0)|PFi Iy。)22(Ax。 By。2 y b21上任一点，Fi,F2为二焦点，A为椭圆内一定点,2a| AFi |,当且仅当A, F2,P三点共线时，等号成1与直线 Ax By C 。有公共点的充要条件是C)2.1 (a>b>0), OOP OQ.(1)2|OP|(3 ) S opq的最小值是1ioQI22. 2a b22 .a b为坐标原点，P、Q为椭圆上两动

10、点，且1;(2) |OP|2+|OQ| 2 的最大值为 b4a2b22-2 ;a b2 X 过椭圆-2 aMN的垂直平分线交2X已知椭圆-a2 y_ b2分线与x轴相交于点2X设P点是椭圆-2a(a>b >0)的右焦点j, I PF Ix轴于P,则JL| MN |F作直线交该椭圆右支于1 ( a>b>0) ,A、B、2,2a b P(Xo,O),则aM,N两点，弦是椭圆上的两点，线段2,2a bXo2-yy 1 ( a>b>0)上异于长轴端点的任一点b2AB,F1、2b2o点记F1PF2，则1P可9 E.SPF,btan-.设A、BPAB |PA|已知椭圆的

11、垂直平F2为其焦2X是椭圆-2a,PBA2 .2ab |cos2 2c cos2X2a2y-2-1 ( a > b > 0)b的长轴两端点，P是椭圆上的一点,BPAl .(2) tan tan1( a>b>0)的右准线e分别是椭圆的半焦距离心率，则有1 e .(3) S PABl与x轴相交于点2a2b2 ,bcotE,过椭圆右焦点F的直线与椭圆相交于 A、B两点，点C在右准线l上，且BC X轴，则直线AC经 过线段EF的中点.14 .过椭圆焦半径的端点作椭圆的切线，与以长轴为直径的圆相交，则相应交点与相应焦点的连线必与切线垂直.15 .过椭圆焦半径的端点作椭圆的切线交相

12、应准线于一点，则该点与焦点的连线必与焦半径互相垂直.16 .椭圆焦三角形中，内点到一焦点的距离与以该焦点为端点的焦半径之比为常数e(离心率).(注:在椭圆焦三角形中，非焦顶点的内、外角平分线与长轴交点分别称为内、外点 .)17 .椭圆焦三角形中，内心将内点与非焦顶点连线段分成定比e.18 .椭圆焦三角形中，半焦距必为内、外点到椭圆中心的比例中项双曲线22x y1.双曲线 1 (a>0,b>0)的两个顶点为 A( a,0) , A2(a,0)，与y轴 a b22x y平行的直线交双曲线于Pi、P2时AiPi与A2P2交点的轨迹万程是 1.a b22一，一x y2.过双曲线2"

13、; f 1 (a>0,b>o)上任一点 A(x0,y0)任息作两条倾斜角互 a b补的直线交双曲线于 B,C两点，则直线 BC有定向且kBC3° (常数).a V。22,一x y3.右P为双曲线2 -2" 1 (a>0,b >0)右(或左)支上除顶点外的任一点，F1, a b一八， c.c a,F 2 是焦点，PF1F2,PF2F1,贝U tan cot (或c a 22c a、tan cot ).c a 2222x y4.设双曲线 匕 1 (a>0,b>0)的两个焦点为 F1、F2,P (异于长轴端点)a b为双曲线上任意一点，在 PF

14、1F2中，记F1PF2PF1F2, FiF2P，则有 sin - e.(sin sin ) a22x y5.若双曲线 二 1 (a>0,b>0)的左、右焦点分别为 Fi、F2,左准线为L, a b则当1vewJ2 1时，可在双曲线上求一点P,使得PFi是P到对应准线距离d与PF2的比例中项.22x y6 . P为双曲线 1 (a>0,b >0)上任一点，Fi,F2为二焦点，A为双曲线 a b内一定点，则IAF2I 2a |PA| IPF1I,当且仅当A,F2,P三点共线且P和A, F2在y轴同侧时，等号成立x y7 .双曲线 个 1 (a>0,b>0)与直线

15、Ax By C0有公共点的充要条a b件是 A2a2B2b2C2.8.22已知双曲线与与a b1 (b>a >0), O为坐标原点，P、Q为双曲线上两动点，且OP OQ .122|OP| |OQ|14a2b2; (2) |OP| +|OQ| 2 的取小值为 一 ; (3 ) S opqb2b2 a22b2 的最小值是-a-b.b a229.过双曲线二 4a b1 (a>0,b >0)的右焦点 F作直线交该双曲线的右支于10.M,N两点，弦MN | PF | e的垂直平分线交x轴于P,则上工 -| MN | 222，一x y已知双曲线 一2 一2" 1 (a&g

16、t;0,b>0) ,A、B是双曲线上的两点, a b线段AB的2 卜2垂直平分线与x轴相交于点P(x0,0)，则Xo a一b-或Xo a2,2a b,一,x2 11.设P点是双曲线xya为其焦点记21 (a>0,b >0)上异于实轴端点的任一点，Fi、F2b2b2F1PF2,贝u (1) |PFiI|PF2| .(2)1 cos2,S PF1 F2b COt 2 .2212.设A、B是双曲线与石a b1 (a>0,b>0)的长轴两端点,P是双曲线上的一点，PAB ,心率，则有| PA|(2) tan tan 1PBA , BPA , c、e分别是双曲线的半焦距离2

17、 .2ab |cos |222.| a c cos |C 2, 2一22a b 一e .(3) S PAB -22 cot .b a22，一，一x y13 .已知双曲线 = j 1 （a>0,b>0）的右准线l与x轴相交于点E,过双曲a2 b2线右焦点F的直线与双曲线相交于 A、B两点，点C在右准线l上，且BC x轴，则直线 AC经过线段EF的中点.14 .过双曲线焦半径的端点作双曲线的切线,与以长轴为直径的圆相交， 则相应交点与相应焦点的连线必与切线垂直15 .过双曲线焦半径的端点作双曲线的切线交相应准线于一点，则该点与焦点的连线必与焦半径互相垂直.16 .双曲线焦三角形中，外点

18、到一焦点的距离与以该焦点为端点的焦半径之比为常数e（离心率）.（注:在双曲线焦三角形中，非焦顶点的内、外角平分线与长轴交点分别称为内、外点）.17 .双曲线焦三角形中，其焦点所对的旁心将外点与非焦顶点连线段分成定比e.18 .双曲线焦三角形中，半焦距必为内、外点到双曲线中心的比例中项其他常用公式：1、连结圆锥曲线上两个点的线段称为圆锥曲线的弦，利用方程的根与系数关系来计算弦长，常用的弦长公式：|ab J1 k2|x x2 J1 j|y y2、直线的一般式方程：任何直线均可写成血+珈+ ° =。（A,B不同日寸为0）的形式。3、知直线横截距 u ,常设其方程为阳十“ （它不适用于斜率为0的直线）与直线/ 乂工+丹+C = °垂直的直线可表示为"+ J=°。.I”4、两平行线 & +分+G =岫:"+的+G = °间的距离为一，+炉。5、若直线'1：尔+小+仁产0与直线%且/+呢+7 = °平行则凶片二° （斜率）且电弓一用Jh