圆形薄板在均布载荷作用下的挠度

1、第四节平板应力分析平板应力分析3.4.1 概述3.4.2 圆平板对称弯曲微分方程3. 4.3圆平板中的应力3.4.4承受对称载荷时环板中的应力3.4.1 概述1、应用：平封头：常压容器、高压容器；贮槽底板：可以是各种形状；换热器管板：薄管板、厚管板；板式塔塔盘：圆平板、带加强筋的圆平板；反应器触媒床支承板等。2、平板的几何特征及平板分类几何特征：中面是一平面厚度小于其它方向的尺寸。分 类：厚板与薄板、大挠度板和小挠度板。t/bWl/5时（薄板）w/tl/5时（小挠度）按小挠度薄板计算3、载荷与内力载荷：平面载荷：作用于板中面内的载荷横向载荷垂直于板中面的载荷复合载荷内力：薄膜力一中面内的拉、压

2、力和面内剪力，并产生面内变形弯曲内力弯矩、扭矩和横向剪力，且产生弯扭变形当变形很大时，面内载荷也会产生弯曲内力，而弯曲载荷也会产生面内力, 所以，大挠度分析要比小挠度分析复杂的多。本书仅讨论弹性薄板的小挠度理论。4、弹性薄板的小挠度理论基本假设一克希霍夫Kirchhoff板弯曲时其中面保持中性，即板中面内各点无伸缩和剪切变形，只有沿中 面法线卬的挠度。只有横向力载荷变形前位于中面法线上的各点，变形后仍位于弹性曲面的同一法线上，且 法线上各点间的距离不变。类同于梁的平面假设:变形前原为平面的梁的横截面变形后仍保持为平面， 且仍然垂直于变形后的梁轴线。平行于中面的各层材料互不挤压，即板内垂直于板面

3、的正应力较小，可忽略不计。研究：弹性，薄板/受横向载荷/小挠度理论/近似双向弯曲问题3.4.2 圆平板对称弯曲微分方程分析模型分析模型：半径R,厚度t的圆平板受轴对称载荷Pz,在r、。、z圆柱坐标系 中，内力Mr、M。、Qr三个内力分量轴对称性：几何对称，载荷对称，约束对称，在r、9、z圆柱坐标系中，挠度 只是r的函数，而与。无关。求解思路：经一系列推导（基于平衡、几何、物理方程）一弯曲挠度微分方程（ ） 一求”求一内力加、求应力,、/微元体：用半径为r和r+dr的圆柱面和夹角为d 0的两个径向截面截取板上一 微元体。微元体内力：径向：Mr、Mr+ (dMr/dr) dr周向：M。、M0横向剪

4、力:横、Qr+ (dQr/dr) dr微元体外力：上表面P = pjdOdr1、平衡方程微体内力与外力对圆柱面切线T的力矩代数和为零，即EMT=OM,十XdMydr力)(， + 力卜- MrrdO - 2M /r sin ? + Qrrd Odr + p.rdOdr - = 0Mr +dM,drr- M8 + Qyr = 0(2-54)（圆平板在轴对称载荷下的平衡方程）d.2、几何协调方程（父2）取AB = Q,径向截面上与中面相距为z,半径为r与r+6两点A与B构成的微段板变形后:微段的径向应变为£,= '"32 =1粤(第2假设) drdr过A点的周向应变为%

5、A(第1假设) 24 rr作为小挠度*=-芈，带入以上两式，得dr应变与挠度关系的几何方程：(2-55)3、物理方程根据第3个假设，圆平板弯曲后，其上任意一点均处于两向应力状态。由广义虎克 定律可得圆板物理方程为：(2-56)4、圆平板轴对称弯曲的小挠度微分方程 (2-55)代入(2-56)式：1 一，“厂?' dr )d2w(2-57)7+ -1 一 4dr dr通过圆板截面上弯矩与应力的关系，将弯矩M和1%表示成堆的形式。由式(2-57)可见，和2沿着厚度(即z方向)均为线性分布，图2-31中所示为径向应力的分布图。图2-31喇平板内的应力与内力回的关%、%的线性分布力系便组成弯矩

6、M,。单位长度上的径向弯矩为:<2-58a)M). = D同理此=-。'(2-58b)参照38页壳体的抗弯刚度,“抗弯刚度”与圆板的几何尺寸及材料性能有关12此(2-58)代入(2-57),得弯矩和应力的关系式为:(2-59)(2一58)代入平衡方程Q-孙得：器+ ；2T与崂即：受轴对称横向载荷圆形薄板小挠度弯曲微分方程:dr r dry旦D9(2-60)Or值可依不同载荷情况用静力法求得3.4.3 圆平板中的应力(圆平板轴对称弯曲的小挠度微分方程的应用)承受均布载荷时圆平板中的应力：简支固支承受集中载荷时圆平板中的应力一、承受均布载荷时圆平板中的应力图2-32均布载荷作用时圆板

7、内Q据图2-32,可确定作用在半径为r的圆柱截面上的剪力，即：。1二等=代入2Y0式中，得均布载荷作用下圆平板弯曲微分方程为:2D9对r连续两次积分得到挠曲面在半径方向的斜率:(2-61)dw pr C|f C2=11dr 16D'2 r对r连续三次积分，得到中面在弯曲后的挠度。w =+ + CJn r + C,（2-62）Cl、C2、C3均为积分常数。对于圆平板在板中心处（尸0）挠曲面之斜率与挠度均为有限值，因而要求积分常数C2 =0 ,于是上述方程改写为：W =16。(2-63)64。'式中Cl、C3由边界条件确定。下面讨论两种典型支承情况（两种边界条件）周边固支圆平板周边

8、简支圆平板ppa.b.周边固支圆平板周边简支圆平板图2-33承受均布横向载荷的圆板1、周边固支圆平板：（在支承处不允许有挠度和转角）a.周边固支圆平板r = R,dw 八=0 drG=-% 将上述边界条件代入式（2-63）,解得积分常数：'8?C*64。代入式（2-63）得周边固支平板的斜率和挠度方程:(2-64)dr 16。'64。八）将挠度w对r的一阶导数和二阶导数代入式（2-58）,便得固支条件下的周边固支 圆平板弯矩表达式：%=£斤(1 + )-，(3+)16(2-65)% 啜出(1 + 4)-,。+ 3)由此(代入2-59)弯曲应力计算试，可得r处上、下板面

9、的应力表达式:d*缪=君代店(1+ )/(3 + )%8，(2-66)=+ = +14(l + A)-r2(l + 3/)周边固支圆平板下表面的应力分布，如图2-34(a)所示。图2-34圆板的弯曲应力分布(板下表面)2、周边简支圆平板将上述边界条件代入式(2-63),解得积分常数Cl、C3：代入式(2-63)得周边简支平板的挠度方程:(2-67)士 ，I *41 1 1 ，1 t 士 王单 一7；.77.；二.；一.777.7 二： 7 7 一 - 一. 4./ 、RR V， N周边简支圆平板弯矩表达式：M 咔(3+乂叱-，)也=誉"° + )- 。+ 34)：应力表达式

10、：%=孑於(3 + 依2-,)=干翡的(3 + 4)-(1+3) O I可以看出，最大弯矩和相应的最大应力均在板中心处厂=0,(MJx =("e)max =*(3 + )=(q) =3(3 + 4)咚 1 /max u / maxo ”(2-68)(2-69)图2-34圆板的弯曲应力分布(板下表面)3、比较两种支承a.边界条件dw _周边固支时：='石=r = R, w = 0r = R w = 0周边简支时：Rr = R, M y = 0b.挠度周边固支时，最大挠度在板中心|匕、=（2-70）周边简支时,最大挠度在板中心卬总5 + / “RA1 + 4 64。'(2

11、-71)简支固支 ”_ 5 + 0.31+0.3= 4.08表明：周边简支板的最大挠度远大于周边固支板的挠度。C.应力周边固支圆平板中的最大正应力为支承处的径向应力，其值为(2-72)周边简支圆平板中的最大正应力为板中心处的径向应力，其值为3(3 + /) pR2一 87(2-73)3.3T= 1.65得到汇max_3(2)皿_3尺2 Ixr 4 t简支9 )a 固支(6)' r / max表明：周边简支板的最大正应力大于周边固支板的应力。内力引起的切应力：在均布载荷P作用下，圆板柱面上的最大剪力（Q1nm =（ C = R处）,近似采用矩形截面梁中最大切应力公式ax，2 bh最大正应

12、力与（%同一量级；最大切应力则与%同一量级。因而对于薄板Rt,板内的正应力远比切应力大。从以上可以看出：（7皿与卬皿圆平板的材料（E、u）半径、厚度有关。若构成板的材料和载荷已确定，则减小半径或增加厚度都可减小挠度和降低 最大正应力。工程中较多的是采用改变其周边支承结构，使它更趋近于固支条件增加圆平板厚度或用正交栅格、圆环肋加固平板等方法来提高平板的强度与刚度 4、结论a.板内为二向应力状态：彳、?且为弯曲应力，平行于中面各层相互之间的正应力区及剪力Qr引起的切应力r均可予以忽略。b.应力分布：沿厚度呈线性分布，且最大值在板的上下表面。沿半径呈抛 物线分布,且与周边支承方式有关。工程实际中的圆

13、板周边支承是介于两者之间的 形式。c.强度：简支。黑（4）=（，）=123除固支&L=（6七=0.75普（5）、A ' /詈=1.659） maxd.刚度：周边固支的圆平板在刚度和强度两方面均优于周边简支圆平板e.薄板结构的最大弯曲应力%皿与（%成正比，而薄壳的最大拉（压）应力 ba与%成正比。故在相同%条件下，薄板所需厚度比薄壳大。二、承受集中载荷时圆平板中的应力挠度微分方程式（2-60）中，剪力0可由图2-35中的平衡条件确定：。,=2-2冗r采用与求解均布载荷圆平板应力相同的方法，可求得周边固支与周边简支圆板的挠 度和弯矩方程及计算其应力值图2-35圆板中心承受集中载荷时板中的剪力红3.4.4承受轴对称载荷时环板中的应力通常的环板仍主要受弯曲，仍可利用上述圆板的基本方程求解环板的应力、应变, 只是在内孔边缘上增加了 一个边界条件。当环板内半径和外半径比较接近时，环板可简化为圆环。圆环在沿其中心线（通 过形心）均布力矩M作用下，矩形截面只产生微小的转角 而无其它变形，从而在圆环 上产生周向应力。这类问题虽然为轴对称问题