2019高考数学专题十九几何概型精准培优专练文

1、1 3 7 3 4 培优点十九几何概型 1. 长度类几何概型 例 1:已知函数f x；=x2 -x-2, x 1-5,5 ,在定义域内任取一点 Xo，使 f Xo 0 的概率 是（ ) A. 10 B. - C. D.- 3 10 5 【答案】 C 【解析】 先解出 f X0 S0 时 X0的取值范围：x2 x2 乞 0= -1 乞 2 , 从而在数轴上 1-1,2 1 区间长度占 1-5,5 1 区间长度的比例即为事件发生的概率, 3 二 P ，故选 C. 10 2面积类几何概型 （1 ）图形类几何概型 例 2-1 :如图所示，在矩形 ABCD 中，AB =2a , AD =a，图中阴影部分

2、是以 AB为直径的 半圆，现在向矩形 ABCD 内随机撒 4000 粒豆子（豆子的大小忽略不计），根据你所学的概率 统计知识，下列四个选项中最有可能落在阴影部分内的豆子数目是（ ） 【答案】C 1 2 【解析】 在矩形 ABCD 中，AB =2a , AD =a，面积为 2a2，半圆的面积为 an , 故由几何概型可知，半圆所占比例为 ：，随机撒 4000 粒豆子， 4 落在阴影部分内的豆子数目大约为 3000,故选 C. （2）线性规划类几何概型 例 2-2 :甲乙两艘轮船都要在某个泊位停靠 6 小时，假定他们在一昼夜的时间段中随机地到 达，试求这两艘船中至少有一艘在停泊位时必须等待的概率（

3、 ） A. 1000 B. 2000 D. 4000 C. 3000 2 3 7 3 4 A. B. C. D. 16 4 3 【答案】D 由二视图可得 AD = DF = CD =a，且AD , DF , CD 两两垂直， 1 1 3 可得 =SADF D-AD DF DC 二畀,【答案】D 【解析】设甲船到达的时间为 x，乙船到达的时间为 y, 则所有基本事件构成的区域 门满足卩兰兰24 少兰 y 兰 24 这两艘船中至少有一艘在停泊位时必须等待包含的基本事件构成的区域 作出对应的平面区域如图所示： 0 x 24 A 满足 Oy 乞 24， x-y _6 这两艘船中至少有一艘在停泊位时必须

4、等待的概率为 故选 D. 18 18 7 24 24 一16 3.体积类几何概型 例 3: 一个多面体的直观图和二视图所示， M是AB的中点，一只蝴蝶在几何体 ADF - BCE 内自由飞翔，由它飞入几何体 F -AMCD 内的概率为( ) A. B. C. D. 【解析】所求概率为棱锥 F -AMCD 的体积与棱柱 ADF -BCE 体积的比值. 左视图 4 、 1 1 3 2 棱锥体积 VF_AMC3DF -SADMC，而 SADCM AD AM CD =4a， 对点增分集训 、单选题 1如图，边长为 2 的正方形中有一阴影区域，在正方形中随机撒一粒豆子，它落在阴影区 2 域内的概率为-则

5、阴影区域的面积约为（ ） 3 2. 某景区在开放时间内，每个整点时会有一趟观光车从景区入口发车，某人上午到达景区 入口，准备乘坐观光车，则他等待时间不多于 10 分钟的概率为（ ） 【答案】B 【解析】由题意，此人在 50 分到整点之间的 10 分钟内到达，等待时间不多于 10 分钟, 10 1 概率 P =-.故选 B. 60 6 1 2 V/D亍从而 p _ VF _AMCD VADF _BCE 故选 D. A 2 3 B.- 3 【答案】C D.无法计算 【解析】设阴影区域的面积为 s，-， 4 3 8 s .故选 C. 3 A. 1_ 10 B. C. D 3.只蚂蚁在边长为 4 的正

6、三角形区域内随机爬行，则它在离三个顶点距离都大于 2 的区 C 8 4 5 域内的概率为（ A. 1 - 6 【答案】A 3 B.- 4 D 【解析】满足条件的正三角形如图所示: C. 6 其中正三角形 ABC 的面积 S三角形 3 16=4.3 4 ABC 的顶点A , B , C 的距离都小于 2 的平面区域如图中阴影部分所示, P1 2 一-豊故选 A 43 6 1 5 【解析】由 0 _sin x ，得 0 x，或 x _二, 2 2 2 6 6 2 满足到则 S 阴二 2 二，则使取到的点到三个顶点 A，B，C 的距离都大于 2 的概率为: 4在区间 01 1 上随机取两个数 y，记

7、P为事件x y 2 _ 的概率，则 3 A. B. 1 C. 4 4 7 【答案】D 【解析】如图所示，0 乞 x1 , 0 空 y1 表示的平面区域为 ABCD , 1 2 2 _ X X 结合几何概型计算公式可得满足题意的概率值为 c 2 3 3 2，故选 D. P _ _ 1 勺 9 D 平面区域内满足 2 x y 乞彳的部分为阴影部分的区域 APQ , 5 在区间 0,2 1 上随机取一个数, A.- 3 【答B.- sin，x 的值介于 1 0 到-之间的概率为（2 2 1 2 C D. 2 3 （2 ） 其中P -，0， Q 8 1 5 二 0 Ex 或 x 乞 2 , 3 3 记

8、 A =sin匸 x 的值介于 0 到-之间, 2 2 1 5 2 则构成事件A的区域长度为 3-2-3 为; A. 1 4 【答案】C 【解析】满足条件的正方形 ABCD，如图所示: 其中满足动点 P 到定点 A 的距离 PA ：:1 的平面区域如图中阴影部分所示， 则正方形的面积 S正=1，阴影部分的面积 S阴=1 二. 4 S阴 n 故动点P到定点A的距离 PA ;： 1 的概率 P .故选 C. SE 4 7.已知实数 x：= 12,30 1,执行如图所示的程序框图， 则输出的 x不小于 103 的概率为（ ） 全部结果的区域 1-0,2 1 长度为 2; J , 3 故选 A. 6

9、.点P在边长的正方形 ABCD 内运动， 则动点 P到定点A的距离 PA :：: 1 的概率为 B. 1 2 D. n 9 A. 【答案】B 【解析】设实数 x ：二2,30 ,经过第一次循环得到 x =2x1 , n = 2; 经过第二次循环得到 x =2 2x 1 1 , n = 3 ； 经过第三次循环得到 2 2 2x 1 1 1 , n=4，此时输出 x , 输出的值为 8x 7， 令 8x 7 _103 得 x _12， 由几何概型概率得到输出的 x 不小于 103 的概率为 p=3012=9，故选 B. 302 14 &九章算术中有如下问题：“今有勾五步，股一二步，问勾中容

10、圆，径几何？ ”其大 向此三角形内随机投一粒豆子, 则豆子落在其内切圆外的概率是（ B. 意：5 步和 12 步，问其内切圆的直径为多少步？ ”现若 A. B. 15 3 二 C. 2 二 D. 3 二 【答案】C 【解析】直角三角形的斜边长为 52 122 =13 , 设内切圆的半径为 r，则 5-r，12-r =13，解得r =2 ,内切圆的面积为 二 r2 =4二， 10 4 二 2 . P =1 1 豆子落在其内切圆外部的概率是 P 1 1 u “ 1 15，故选 C. 5 12 2 9把不超过实数 x的最大整数记为 lx，则函数 f x = 1 称作取整函数，又叫高斯函数, 在 14

11、 1 上任取 x，则 lx 2x的概率为（ ）11 统计两数能与 1 则竺二一丄. 120 4 2 11.为了节省材料, 构成钝角三角形三边的数对 x, y 的个数为 m =34， 47 ，故选 B. 15 某市下水道井盖的形状如图 1 所示，其外围是由以正三角形的顶点为圆 心，正三角形的边长为半径的三段圆弧组成的曲边三角形， 这个曲边三角形称作“菜洛三角 形” 现有一颗质量均匀的弹珠落在如图 2 所示的莱洛三角形内，则弹珠恰好落在三角形 ABC 内的概率为（ 【答案】D 【解析】当 x12 时，则=1，满足x|- 乐； 当 12,3 时，lx 1-2 , 2 2, 6，则 2X =2，满足x

12、| - 茲； 当 3,4 时，lx 1-3 ,x，62.、2 U r；2x=：2 不满足x | - 2x ； 当 x=4 时，lx 1-4 , 2x =2 2，则 2x =2，不满足x - 2x . 10关于圆周率 二，数学发展史上出现过许多有创意的求法，如著名的普丰实验和查理斯 实验受其启发，我们也可以通过设计下面的实验来估计 二的值：先请 120 名同学每人随机 写下一个 x， y都小于 1 的正实数对 x, y， 再统计其中 能与 1 构成钝角三角形三边的 m 估计二的值如果统计结果是 m = 34，那么可以 估计二的值为（ ） 【答案】B 【解析】 0 ： x : 1 由题意，120

13、对都小于：的正实数 x,y，满足 ，面积为 1, 两个数能与 1 构成钝角三角形的三边的数对 x, y， A. B.- 3 C. D. 综上，满足 x亠 2x的 x1,3，则 lx U 2x 的概率为 3- 1 4 2 ，故选 D. 3 数对 x, y 的个数 m，最后根据统计个数 A. 22 7 B.勺 C. 51 D. 53 15 16 17 满足 x2 y2 ：1 且 0 ： x : 1 ： 面积为- 4 4 12 【答案】A 【解析】弹珠落在莱洛三角形内的每一个位置是等可能的, 由几何概型的概率计算公式可知所求概率： （SLABC 为莱洛三角形的面积），故选 A. 12.下图来自古希腊

14、数学家希波克拉底所研究的几何图形. 此图由三个半圆构成， 三个半圆 的直径分别为直角三角形 ABC 的斜边 BC，直角边AB , AC . ABC 的三边所围成的区域 记为 I，黑色部分记为 II，其余部分记为 山在整个图形中随机取一点，此点取自 I , II , III的概率分别记为 P1 , P2 , P3，则（ ） 【解析】设 AC 二 b , AB 二 c , BC 二 a，则有 b2 - ca2, 从而可以求得 ABC 的面积为S2bC， B. SA ABC SuJULLUUr 1 22 sin 60 2 3 2 3 2 二-2、3 A.卩1 = P2 【答案】A B. P1=P3

15、C. P2 = P3 D. P1 = P2 P3 C. 4 13 bc bc, 2 2黑色部分的面积为 14 其余部分的面积为 F 2 2 a 1. ra 1 . S3 be bc, 2 J 2 4 2 有 S =S2 , 根据面积型几何概型的概率公式，可以得到 Pi二 P2，故选 A. 二、填空题 13在区间 10,2 内任取一个实数 a , 则使函数 f（X ） = log（2a）x 在（0, ）上为减函数的概率 1 【答案】1 4 【解析】函数 f x = log 2ai x 在上为减函数, 1 1 1 0 ：2a -1 d , - :：:a ：1，因此所求概率为 2 一1 2 20 4 14.记集合 A.x, y x2 y2 _16J,集合 B = x, y ix y -4 _0, x, y A 表示的平面区域 分别为，门2 .若在区域 内任取一点 P x, y，则点P落在区