第五章稳定性分析

1、百度文库48第五章：控制系统的稳定性分析3.3.5控制系统的稳定性分析、?稳定性的概念/?线性系统稳定的充要条件?线性系统稳定的必要条件?代数判据（一般情况，特殊情况，劳斯，赫尔维茨）、?劳斯判据的应用（确定稳定域判断稳定性，求系统的极点，设计系统中 的参数3.3.5.1 稳定性的概念分析小球平衡点的稳定性稳定的平衡点定义：若线性控制系统在初始扰动占的影响下，其过渡过程随着时间的推移逐 渐衰减并趋向于零，则称该系统为渐近稳定，简称稳定。反之，若在初始扰动抗。 的影响下，系统的过渡过程随时间的推移而发散，则称该系统不稳定。理解 一占0，系统稳定Em g© ",又gg，即隹制系

2、统的稳定性只与系' 不为零，系统不稳定I统的内部结构和物理参数有关，与系统输入信号无关口3.3.5.2 线性系统稳定性的充要条件 设系统的微分方程模型为：+叩，"）十十 5-遇、）+"=用/一"+卬分析系统的稳定性是分析在扰动的作用下，当扰动消失后系统是否能回到原来的 平衡状态的性能，亦系统在仅以作用下的性能，亦与系统的输入信号无关，只与 系统的内部结构有关。对上述微分方程描述的系统亦只与等式的左端有关，而与 右端无关，亦：系统的稳定性是由下列齐次方程所决定：%"-十砥-成）十川Q） = 0' 加£团=0/麻亡H U其稳定性可转

3、化为上述齐次方程的解 c若士 则系统稳定，: 则系统不稳定。分析齐次方程物产十十%-削+; = "的解的特征。由微分方程解的知识，上述方程对应的特征多项式为：厘科“十。卢”一1十,一十口阴1&十（2k = 0设该方程有k个实根4 （i=1, 2,k）r对复根（%土网（i =1, 2,r）k + 2r = n且各根互异 （具有相同的根时分析方法相同，推导稍繁琐）则上述齐次方程的一般解为：（7® -工匕出丫 + /产 X sin 皿+ Si c<?s 叫） ， ui其中个/为常数，士 由式中的“丐决定，分析可见：只有当3 / fj? A V； lim c（t） =

4、 0 lim «£）* 0A ' 口回口 叫时： ，否则才 。注：只能是小于零，等于或大于均不行。等于零的情况为临界稳定，属不稳定。综：.一线性系统稳定的充要条件（iff.）是： 其特征方程式的所有根均为负实数或具有负的实部。亦：特征方程的根均在根平面（复平面、s平面）的左半部。亦：系统的极点位于根平面（复平面、s平面）的左半部。从上面的充要条件可以看出：系统稳定性的判断只需计算上系统的极点， 看其在 s平面上的位置，勿需去计算齐次方程的解（当系统复杂时的计算可能很繁），勿需去计算系统的脉冲响应。3.3.5.3 线性系统稳定的必要条件设系统特征方程“心“十的十十十%

5、式中所有系数均为实数，并设%（若即°,对特征方程两端乘（1）,可以证明上述特征方程中所有系数均大于零（即% > °卜曰龙）是该特征方程所有根在s平面的左半平面 的必要条件。也就是说，'" （"口 月）特征根有可能在左半s平面，否则 产0 不）特征根中有在虚轴上或右半平面的。证明：设由/飞人+产+ %=口/有n个根k个实根为（iq 1, 2, 水）/r对复根（丐±1/叼）（i=1, 2,r）/k + 2r = n口，+的，'+十VI/& =4*一4）十封悟一" +4逐一展开看系数即可。例：F（s尸 a o（

6、s-入 i）（s-入 2）入 i<02=aos -ao（入 1+入 2）s+a。入 1 入 2 入 2<0a i>1 a2>1 -（入 1+ 入 2）>0 入 i 入 2>0F（s）=a 0（s-入 i） （s-（ri） 2+ w 12=a0s 3-（2（T1+ 入 1）s 2+（ a ：+，+2 入 1（T 1）s-入 1（T ；+必；）=a0s3-a 0（2（T1+入 i）s 2+a0（:+，+2 入 i a i）s-a 0 X 1（6/+：）a 1>1 a2>1 a3>1以此类推。根据这条原则，在判断系统稳定时，可事先检查一下系统特征

7、方程的系数是否均 为正。注意：此条件仅为必要条件，非充分条件定要均大于零，不能等于（缺项）或小于零。3.5.4代数判据3.5.4.1 劳斯判据劳斯判据是1877年Roth提出来的一种代数判据，只介绍方法不证明，证明涉及 到高等代数的理论。劳斯判据的三个步骤： 列写系统的特征方程式；/列写劳斯表；/ 根据劳斯表判断系统的稳定性。/系统的特征方程/口科.十的小+十白妙声十口m = 0口口 > 1劳斯表* -3/bbib2 b 3劳斯表中，可以证明：将某一行中所有元素同时乘以某一正数，/不影响系统的稳 定性的判断。（这样处理往往可以简化计算）3.定性的判断/若劳斯表中第一列的各元素的符号均为正

8、，则特征方程的所有根位于左半s平面，即系统稳定。系统则不稳定，劳斯表中第若劳斯表中第一列中存在着零元素或小于零的元素， 一列符号变化的次数即是系统在右半平面的极点个数。3.5.4.2 递推的劳斯判据 与劳斯判据的思路和方法完全相同， 仅只是在总结劳斯表的列写上，归纳出下面 的递推形式，便于计算机处理或计算« 一05A %通项判断:表中若第一列的数，即o a(1=0, 1, 2, 3,n-1)均大于零时系统稳定。否则&_ %白3 );=£ 1 %口； =%i=1,2,n-1;j=2,4,6 偶数系统不稳定。第一列变符号的次数表明了系统在右半平面的极点个数3.5.4.3

9、 赫尔维茨判据(劳斯一赫尔维茨判据)设系统的特征方程F (s)卢+的产% C+ = =0;口 1 怎鼻5 00的电% -000的的 000%& 0000%0000/00».Ba«000 /0000 df 1匕10构造赫尔维茨行列式：=000 d! %j工%判断：若A整的顺序主子式A，（i=1 , 2, - n）全部为正，系统稳定即41二的>0由 %6=aia2 a0a3 >0lz j 由三& g %a"o 。.同能0X 对于低阶系统该方法是极其方便的。n=3 （三阶）时 各项系数均为正且%43例：设系统的特征方程为 白+6台+11 .满

10、足稳定的必要条件2 .劳斯表/一口汹>0即劭%>%财+1仅+6=0n=2 （二阶）时二各项系数均为正时系统稳定41 12 6/61/6 6 （取 61 36）$455/61 （取 455）.Q /3363.判断第一列均0,系统稳定、事实上该方程 F (s)=1+6+121+11E|+6=(s+2)(s+3)( /+s+1)极点鼻=2,马5433例：设系统的特征方程为S +36 +2r+存+5$+6=0劳斯表鼠1 2 533 1 65/3 3 (取 5 9 )1-22/5 6 (取-11 15 )同 174/11 (取 1)115/由第一列的符号可知系统不稳定，且有二个在右半平面的极

11、点。因为第一列中5 -11 1/一3一 一 一 一*一15,有两次变号。3.5.4.4劳斯判据中的两种特殊情况(1)劳斯表中某一行的第一个数出现 0,其余不为0或没有(这是因为虚轴上的 极点所致)法一：这时系统不稳定，若要继续分析根的分布，可以用一个小的整数e代替零。例：特征多项式F (s)=8"+学+1+少+1'劳斯表1 1 113 3/0(+ £ ) 1$13-3/ & (取-1)1 1系统不稳定，符号变化二次，系统有二个右半平面的根。法二：在已有的特征式上乘以一个(s+a)其中a>0任意，这是一个稳定的极点, 乘上去不改变原系统的稳定性，但改变了

12、原特征式的系数，使劳斯表中不出现零。一._4 l_B_例：同上 F (s) (s+a) = (+ +6S +12言 +1传 +6) (s+a)=+(3+a) / +(3a+1) / +(3+a)1+(3a+1) $ +a/(取 a=1)=占 +4# +4舌 +4甘 +4*+1/劳斯表：-1 4 4/44 4 133 +15/4 （取 12 15）11/4 1 （取 1 4） /s -33 （取-1）94系统不稳定，符号变化两次。法三：在已有的特征式上用s=1/x代入，重新列写特征式。、（2）劳斯表中出现全为0的行这种情况表明在s平面内存在大小相等，但是位置径向相反的极点，即存在大小 相等符合相

13、反的实根或一对共腕虚根，或者是对称实轴的两对共腕复根。处理的方法是利用出现全零行的上一行的元素构成辅助方程，利用辅助方程的导数的系数代替原来全零行的系数。继续计算劳斯表辅助方程中含有系统径向极点 的信息。例：+ +24 +24 +489-25 W -50=0劳斯表：一 1 24 -2544222 48 -50 构造辅助方程- 2 +4第-50=0. /00 0 J求导、/8 96 构成新的行85+963=0 %/224 -50同 / -5-50/、系统不稳定（出现全0行，变号一次）。1222由辅助方程式有：2昏+48总-50=0 一（£-1 ） 3 +25） =0得到卬=t1,取#=

14、±J5事实上原方程 产+2- +20 +48-25 $ -50=0有：（+2 +25） （¥-1）（ $ +2）=0其根：他=±1,均一”为=-23.5.5 .劳斯判据的应用3.5.5.1. 判断系统的稳定性（例题，如上）3.5.52分析系统的稳定域（稳定裕）解释稳定裕的概念。系统稳定与否是由系统的极点是不是任在S平面的左半平面决定的系统稳定的裕量（程度）是看系统的极点与虚轴的关系。例如二阶系统（欠阻尼）其极点距虚轴越近，振荡性能就越差，振荡越剧烈。仃T 口，系统T等幅振荡(临界稳定)。因此，对控制系统的分析一方面要分析系统的稳定与否，往往还要分析它的稳定的裕度(

15、程度，深度)。分析稳定裕度可采用平移S平面上的纵坐标的方法。如图令S'-，即将虚轴平移了,。将S=S"-历代入原系统的特征方程。得到以S'为变量的新的特征方程。检验在g平面上.n JExi上系统极点与虚轴的关系，若仍然全部在W' II- 0rL平面 的左边，表明系统具有 5的稳定裕 |度。！口ii利用这种方法，可求得系统最大的。例：特征方程 2s3+10s"+13s+4=0判断其稳定性，并检验系统是否具有 1的稳定裕度解：该系统是三阶系统10 13=130>2 4=8由赫尔维茨判据知该系统是稳定的。令S，-1代入原特征方程/2(*-1) 3+1

16、0(3,-1) "+13(W-1)+4=02s'3+45'L ：-i=0存在着、一、的系数，系统不稳定。故原系统不存在1的稳定裕度。 设代S= -b入原特征方程 2（ - 1-K）。10（匚夕）2 +13（：-5）+4=0/ 有 2，+ （10-64） +（6b'20-13） S'+ （1K'-2bp-13+4） =0由稳定判据有（10-6仃）（6b'-20b-13） >> （10g*-2仃，13个+4）时系统稳定。解此不等式的-,可求出系统稳定的裕度。3.5.5.3. 求系统的极点同求稳定裕度的思路，通过移 S平面的纵坐标

17、，可逐一求出系统的极点。（略）3.5.5.4. 设计系统的参数（按照稳定性的要求设计）例.如图所示系统，确定K的稳定范围K特征方程 s +3S +3s. +2s+k=0 = -J -劳斯表s4 1 3 k为了使系统稳定2-7 >0,k>0 0 综：14/9>k>0除K值外，其它参数的设计相同:控制系统的稳态性分析稳态误差的概念系统类型静态误差系数动态误差系数扰动作用下的稳态误差3.6.1. 误差和稳定误差控制系统准确度（精度）的描述，即静态性能的描述称为系统的稳态误 差（前面已有定义和解释）如图示系统以a二色衣十加T由输入产生的误差传函由干扰产生的误差传函咐H画刈=et

18、t + ess误差的暂态分量T T误差的稳态分量（稳态误差）ess的求取:（1）由定义;ess一"一片联知fcn匚】照）-T/1ess=（2）拉氏变换的终值定理：elim s 附 ss=,注意条件：在虚轴和右半平面解析。3.6.2. 系统的类型 简单地，不考虑干扰的情况bm5-*0S五1十喜可见：影响，的因素:1.系统结构小，2.输入彳S号R(S)看下面几个例子r(t)=t R(s)=r(t)=t(3C(S)=C(S)=子=iGO系统的结构不同，相同的输入有不同的b)r(t)=t1 1I后十口十1c(t)=t-1+ 一ess =lim 合= hm (£) 一 e(f) 妗T

19、Ttfr= lim = 1十_L图T*中a + 1r(t)=11R(s)=r(t)=1r(t)=1式分三7 a ”句.）a +1二皿（NG -4）0© 二 1巴"啊伙)F") fTC&日” =0下面来分析这些关系设系统具有如图的结构不失一般性备=G丹 可描述为汇。十7声）（1+匕6）。十J白）尸。十宗）口乜沙冉其中：齿：开环增益/三：%（i =1,2,3,m; j = 1,2,3,.,尸）为时间常数（指广义的,可以是复数）产：开环系统在坐标系原点上极点的个数/7-0系统为0型系统产I系统为I型系统 对系统的一种分类方法（按开环具有节点为零的个数）（注 意：

20、阶次的分法是不同的）尸.2系统为止型系统 g 奴1+子声）。十七后）Q哥0 J /。十s）Q十笃£）（1十乳一产）其中圾q当=1这时（设终值条件满足）%可见影响的因素L?系统的类型R输入信号出=?开环放大系数有关5H吧崛熄41&与二比口 &跃0 = lirrj 史空- 力 e 一 一口【十%1+内3）小 sflunJ-*O拉氏终值定理定义：静态位置误差系数于是在定义的系统的分类下，控制系统的稳态误差的分析归结为:典型输入信号【型系统11型系统3.6.3. 态误差系数静态误差系数是反映系统静态品质的一种描述，也是反映系数静态误差。它是在一定的条件下反映了稳态误差与结构的

21、关系（与开环放大系数、类型的关 系） 静态位置误差系数力)讨论：0型系统/lim 岚+ D = ka+i）（与+”,（哥+i）（开环放大倍数）I型系统kyig/D住尸1）1口”不+1）区占*1）,一区尹1）II型系统%”同理可推其他对应有：对于单位阶越输入信号，其稳态误差可以概括为、 小金.一1+七1十左.一 *八0型系统/0型系统能跟踪单位阶跃信号，只是有一恒定的误差，于比的大小有关I型系统一，、” 1十比 一一，、,，、人一、II型系统, 可见：i、ii型系统可以无差地跟踪单位阶跃系统小结:单位反馈系统中，如前向通道没有积分环节，那么它对阶越输入的响应包含稳态 误差，其大小与开环放大倍数

22、因有关。要注意的是团的大小还与系统的稳定性有关，一般地市越大，稳定性越差，这是一对矛盾，设计时要综合考虑。若要求系 统对阶跃响应时无静差的，则系统要设计成 I型或II型。静态速度误差系数率）=limlim 二十lim=sG(S)H(S)终值定理定义：静态速度误差系数于是这里“速度”的意思是表示对速度输入的稳态误差，速度误差并不是速度上的误 差，是由于速度输入（斜坡输入）而产生的位置误差讨论:=lim一科十D（叼，+1）任.占+D = 00型系统上一如 国声十1）（、占+1）日+1）比I型系统'-Q式不+1）（号+ 1）区6 + Dk占 -3+1乂口"1）一（翌十D三9R型系统

23、. m-1 1I二一:r。对应有，对单位斜坡输入信号，其稳态误差可以概括为1ffti - - - 000型系统 队0型系统不能跟踪斜坡输入1 1P = = I型系统 ” 国 尢I型系统可以跟踪，但有一定的误差，误差值与开环放大倍数有关%广工二0R型系统 叫 II型系统可以无差地跟踪斜坡输入小结：静态加速度误差系数稣 研-lim “力。1 十 56）H（K）/定义：静态加速度误差系数讨论:2 时的位置误差)0型系统扇4"少淖二”小"工。X gi>(4+i”gfI型系统aE匹工上 2口双Z$+l)(7+l)(月后7)II型系统£一(%£+1)(%工十。

24、什村丁1)./3二巴/d .对应有，对于单位加速度输入下系统的稳态误差可以概括为:0型系统I型系统表明：*0型和I型系统在稳态时都不能跟踪加速度信号1 1 F = = R型系统”刍为II型系统能跟踪加速度信号但有一定的误差以此类推。/综合上面的分析可以得出下表:七声明I产“/a) ?f2口型系疣0010001 +比型系统8k001XIII型系统CO8k00113k(回答了前面提出的问题)注意3点：(1)有的参考书上提“位置误差、速度误差、加速度误差”，并不是速度上的 误差和加速度上的误差，指的是速度输入和加速度输入时系统位置上的偏差。(2) ”有限的速度误差”指的是在瞬态过程结束后，输入和输出

25、以同样的速度 变化，但存在一个有限的位置上的偏差；”有限的加速度误差”同样解释。(3)上表中某些类型对一些输入信号的跟踪误差为 8 ,注意在概念上不是不稳 定，(许多同学犯这样的概念错误)，事实上，控制系统的稳定性于输入信号无 关小结：静态误差系数匕，%,归口定量地描述了系统跟踪不同的输入信号的能力，描述了系统对减小或消除稳态误差的能力。因此，它们是系统稳定特性的一种表示方法。 当保持瞬态响应在一个允许的范围内，一般希望增加误差系数。在实际系统的控制中，为了改善其稳态性能，可以在前向通道中增加一个或更多 的积分环节，使系统的型号增加。这将带来系统的稳定性问题，一般的，前向通 道中的积分环节超过

26、2时，设计便有些困难。例：设具有测速发电机反馈的位置随动系统如图，要求计算当 分别1 3上再为W）,C 时，系统的稳态误差。解：14-这时l + 5*0,8(5fir+l)+1)I型系统=1与=8 W11 r(f) - -t%5d比较:的具体值不同，形式是相同的，这是因为的定义不同。3.6.4动态误差系数/动态误差系数又称广义误差系数。静态误差系数的一个明显特点是，输入是典型信号，误差也表现为常值 （含0）或无穷大。该方法简单实用，但对其他情况也存在局限。如输入信号是 任意信号，或误差不是常数是随时间变化的函数。 或有的误差函数不符合终值定S由R二 例如：/加叫* 叫%, =lini 疲=li

27、m - 拈X。' '5T。/' T正弦函数在虚轴上不解析，不能用 /左平平间。/这里的巴，只有用最基本的定义，即?5 =lmi映）=lm匚-1区TT 岫11Tg二。出-七吗,M1,山工（r 3 Msm叫立:豆工,善三7k + 1 s2 +（D23 m颂）m二二 有J”t吗-轿,4te 门 +工cos 0 （丁叫）。1/%1+1一二的HG尺 5句卜5s）HvIE终值定理。& F 的极点在虚轴上，不在T或B-kF*即"1）% /（血产./ +7sm /上（血尸+ 1理的条件，或有的特殊系统有效工作时间很短，系统输出尚未达到稳态时就结束 了工作等等均无法用静

28、态误差系数表示。显然是时间的函数动态误差系数可以分析研究几乎任意的输入信号作用下，系统跟踪的稳态误差的变化规律。作如下的数学推导和处理：将亡在S=0的领域内展开成泰勒级数:一般地平网=6M衣其中文正砺而1 三中/0)十式0)s十一中式0)1 +1, '21'骐）=9氏 十4十-式0次式+ 1，,-误差级数该误差级数的收敛域是s=0的领域，这相当于在时间域内'Tg时的误差4tL因此，在初始条件为零时，上面误差级数有：中/5P）十& （。加£） + g匕；+ ；©汽0）0）十J汽£力1 -;|一令/，的二%十勺产+，尸闻+形式）称系数5

29、, %为系数的动态误差系数其中称二口为动态位置误差系数 反映输入与误差的关系 位为动态速度误差系数反映输入的导数与误差的关系七为为动态加速度误差系数反映输入的二阶倒数与误差的关系X 上式全面地描述了系统跟踪时稳态误差随时间的变化规律，（特别注意，不是误差的动态过程）上式表明系统跟踪的稳定误差取决于动态误差系数和输入信号及其各阶导数，一且输入信号确定，关键是求 。6的计算有两种方法： 按上面定义的公式 多项式相除 1.方法一G :吧i=0,1,2计算较繁琐2.方法二 /邓）在="尬/设岭卜将开环穿函写成分子分母之比的形式,!有e iys）H 项仍是多项式之比酒（S）力取3）4 ,一3.

30、6.5静态误差系数和动态误差系数之间的表示按s的开幕排列从上面二种误差系数的介绍中可以看出，前者是在一定条件下。对系统有具体要 求（典型输入信号，满足终值定理的条件）的，只适合于一定系统，其计算结果也仅仅是常值误差。后者的适应面宽多了，只要 因此二者没有一一对应的关系。容易看出动态误差系数的特殊情况是静态误差系数。这只需要在求静态误差系数 的条件下求动态误差系数。可以证明:0型系统I型系统II型系统（证明思路：）c0 =d（o）=、？十11 +不F（0型系统）（I型系统）晟丽 £（H型系统）例：设两个单位反馈系统，具开环传递函数分别为:System2Systeml/试比较它们的静态误差系数和动态误差系数解：SystemlI型系统其中system2II型系统7 = 000元全相同System