2019高考数学二轮复习专题四立体几何第三讲空间向量与立体几何教案理

1、 第三讲空间向量与立体几何 考情分析明确方向 V 年份 卷别 考查角度及命题位置 命题分析及学科素养 I卷 面面垂直及线面角求法 T 18 命题分析 2018 n卷 线面垂直及线面角求法 T 20 高考中此部分命题较为稳定，以解答 川卷 面面垂直及一面角求法 T 19 题的形式考查空间平行关系和垂直关 I卷 面面垂直与一面角求法 T 18 系的证明，空间几何体表面积和体积 n卷 异面直线所成角求法T 10 的计算，异面直线所成的角、线面角 和二面角的求解，简单的空间距离的 求解，难2017 线面平行与二面角求法 T 19 川卷 线与线所成角问题T 16 基本模式是既有证明也有计算，其中 面面垂

2、直与二面角求法 T 19 的计算离不开证明， 以考查证明为主. I卷 面面垂直的证明及二面角的求解T 18 学科素养 2016 n卷 线面垂直证明及二面角的求解T 19 几何中的向量方法主要是通过向量法 川卷 线面平行的证明及线面角的求解T 19 求解空间角问题，重点考查了学生直 观想象与数学运算素养能力 向量法证明线面平行、垂直关系 授课提示：对应学生用书第 40 页 悟通一一方法结论 1 用向量证明平行的方法 (1) 线线平行：证明两直线的方向向量共线. (2) 线面平行：证明该直线的方向向量与平面的某一法向量垂直；证明直线的方向向量 与平面内某直线的方向向量平行；直线的方向向量与平面内两

3、不共线向量共面. (3) 面面平行：证明两平面的法向量为共线向量；转化为线面平行、线线平行问题. 2用向量证明垂直的方法 2 (1) 线线垂直：证明两直线所在的方向向量互相垂直，即证它们的数量积为零. (2) 线面垂直：证明直线的方向向量与平面的法向量共线，或将线面垂直的判定定理用3 向量表示. (3) 面面垂直：证明两个平面的法向量垂直，或将面面垂直的判定定理用向量表示. 全练一一快速解答 1.在直三棱柱 ABC ABC中，/ ABC= 90, BC= 2, CG= 4,点E在线段 BB上，且 EB = 1 , D, F, G分别为 CC , CB , CA 的中点. 求证：(1) BD 丄

4、平面ABD (2)平面EGF/平面ABD 也 F f D C .1 证明：(1)以B为坐标原点，BA BC BB所在的直线分别为 x轴，y轴，z轴建立如图 所示的空间直角坐标系 Bxyz，则B(0,0,0) , D(0,2,2) , BI(0,0,4), 设 BA= a,则 A(a, 0,0), 所以SA= (a, 0,0 , ), E3D= (0,2,2), BD= (0,2 , - 2), BD BA= 0, BD BD= 0 + 4 4= 0 , 所以Bb丄BA Bto丄Bb, 又 BAG Bb= B, BA?平面 ABD Bb?平面 ABD 因此BD丄平面ABD , - a 由知，曰

5、0,0,3) , , 1,4) , F(0,1,4), T a T 则 E(= q , 1,1) , EF= (0,1,1), 4 BD E(= 0 + 2 2= 0 ,5 BID- EF= o+2-2= o, 所以 BDL EG Bb丄EF, 即BD丄EG BD丄EF 又 EG? EF= E, E(?平面 EGF, EF?平面 EGF 因此BD丄平面EGF 结合(1)可知平面EGF/平面ABD. 2如图所示，在底面是矩形的四棱锥 P ABCDK PA丄底面 PD的中点，PA= AB= 1，BC= 2. (1) 求证：EF/平面PAB (2) 求证：平面 PADL平面PDC 证明：以A为原点，

6、AB AD AP所在直线分别为x轴，y轴, z轴，建立空间直角坐标系如图所示，贝U A(0,0,0) ，B(1,0,0)， qi,2,0) ，D(0,2,0)， R0,0,1)， 所以 E2，1, 2，F 0，1, 2， EF= j -1, 0, 0, AP=(0,0,1), AD=(0,2,0) , DC=(1,0,0) f 1 f f f (1)因为 EF=- 2AB 所以 EF/ AB 即 EF/ AB 又AB?平面PAB EF?平面PAB 所以EF/平面PAB (2) 因为 XP- DC= (0,0,1) - (1,0,0) = 0 , XD- DC= (0,2,0) - (1,0,0

7、) = 0, 所以牯DC ADL DC 即 APL DC ADL DC 又因为AP? AD= A, AF?平面PAD AD?平面PAD 所以DCL平面PAD因为DC?平面PDC 所以平面PADL平面PDCABCD E F分,AB= (1,0,0) 6 T T 类题通法类题通法/ / 向量法证明平行与垂直的步骤 (1) 建立空间直角坐标系，建系时，要尽可能地利用载体中的垂直关系； (2) 建立空间图形与空间向量之间的关系， 用空间向量表示出问题中所涉及的点、 直线、 平面的要素； (3) 通过空间向量的运算求出平面向量或法向量，再研究平行、垂直关系； (4) 根据运算结果解释相关问题. 讲瘵结合

8、 3. 向量法求二面角 求出二面角a -l - 3的两个半平面a与B的法向量ni, n2,若二面角a-l- 3所成的 角 0 为锐角，贝U cos 0 = |cos ni, n2| = n； n| ；若二面角 | m n2 | ni - n2| 角，贝U cos 0 =- |cos nI II, n2 | =- | 门训 n|. 吋 (2017 高考全国卷川)(12 分)如图，四面体 ABCD中， 向量法求空间角大小 授课提示：对应学生用书第 41 页 悟通一一方法结论 II 向量法求异面直线所成的角 若异面直线a, b的方向向量分别为a, b,异面直线所成的角为 0 ,贝 U cos 0 =

9、 |cos a, b |a b| |a|b| 2. 向量法求线面所成的角 求出平面的法向量 n,直线的方向向量a,设线面所成的角为 0 ,贝 U sin 0 = |cos n, a |n a| |n |a| a - I - 3所成的7 A ABC是正三角形.ACD杲存角三角形 ABI)=ZCrJDM= BD. D 证明;平面 ACL)丄平血 ABC； 平面AE(把四面体ABC分成体积相等的两部分 十一由 过AC的平面父BD于点E,若 . ? . ，求一面 角DAEC的余弦值. 学审题 条件信息 想到方法 注意什么 信息？ ： ABC为正三角形， ACD是直角三角形 特殊三角形中的特殊的边角：

10、ABC中三边相等， ACD中 的直角 (1) 建系时要证明哪三条 线两两垂直， 进而可作为 坐标轴 (2) 两平面法向量的夹角 不一定是所求的二面角， 也有可能是两法向量夹 角的补角，因此必须说明 角的范围 信息？ ：/ ABD=Z CBD AB =BD 边角相等关系可证两三角形 全等，进而可证AD= DC,/ ADC= 90? 信息？：证明：平面ACD_平 面ABC 面面垂直的证明方法：几何法 或定义法 信息？：体积相等 由体积的大小关系转化到点 到面的距离的大小关系，进而 知点E为DB的中点 规范解答 证明：由题设可得， ABDA CBD从而AD= DC 又厶ACD是直角三角形，所以/ A

11、DC= 90. 取AC的中点Q连接DO BO则DCL AC DO= AQ 又因为 ABC是正三角形，所以 BQL AC 所以/ DOB为二面角 DAGB的平面角.(2 分) 在 Rt AO沖, BO+ AO= AB. 又AB= BD所以 BO+ DO= BO+ AO= AB = BD, 故/ DOB= 90. 所以平面ACDL平面ABC . (4 分) (2)由题设及(1)知，OA OB OD两两垂直.以 O为坐标原点，6A勺方向为x轴正方向, 8 | OA为单位长度，建立如图所示的空间直角坐标系 Oxyz , 则 A(1,0,0) , B(0 , ,3, 0) , Q 1,0,0) , D(

12、0 , 0,1).9 D到平面ABC勺距离的 1，即E为DB的中点，得 Eo, 2, 2 . FF HF FFFF F FrrF 分 故AD=（ 1,0,1）, KC=（ 2,0,0）, AE= ： 1，当，1 j n AD= 0, 设n= （xi, yi, zi）是平面DAE的法向量，则$ 、n AE= 0, | Xi + Zi= 0, 即 适 1 c Xi + 亡-yi + 二 zi = 0. 2 y 2 m AC= 0, 设m = （X2 , y2 , Z2）是平面AEC的法向量，贝U 即 、m AE= 0, 2x2 = 0, f V3 i X2+ 亍2+ 子2= 0 , 可取 m= （

13、0， i, 3）. I nII m _2 , X2 3 由图知二面角 DAEC为锐角, 可取n = i, （8 分） 贝U cos n, m （10 分） （5 分） 3 3， 10 类题通法类题通法/ / ( 1 1.用向量法求解空间角的四个要点： (1)建系”，构建恰当的空间直角坐标系，如本 题利用线面垂直关系构建空间直角坐标系； (2)求坐标”，准确求解相关点的坐标；(3)求 法向量”，求出平面的法向量；(4) “应用公式”，熟记空间角的公式，即可求出空间角. 2 利用向量法求直线与平面所成角时易混淆直线与平面所成角与直线方向向量和平面 的法向量的夹角的关系，一定要注意线面角 0与夹角a

14、的关系为 sin 0 =|COS a |. 3.求二面角0，主要通过两平面的法向量 n, m的夹角求得，即先求|cosn, m| , 再根据所求二面角是钝角还是锐角写出其余弦值.若 0为锐角，则 cos 0 = |cosn, m | ;若 0 为钝角，则 cos 0 =- |cos n, m |. 练通一一即学即用 (2018 郑州一模)在如图所示的多面体中，四边形 ABCD是平行四边形，四边形 BDEF n 是矩形，EDL平面 ABCD/ ABD=，AB= 2AD (1)求证：平面 BDEFL平面 ADE 若ED= BD求直线AF与平面AEC所成角的正弦值. 解析：(1)证明：在厶ABD中,

15、/ ABD=-6, AB= 2AD由余弦定理，得 BD= J3AD 从而 BD + AD= AW,故 BDL AD 因为D巳平面 ABCD Bt?平面ABCD所以DEL BD 又ADA DE= D,所以BDL平面 ADE 因为Bt?平面BDEF所以平面 BDEL平面ADE 由(1)可得，在 Rt ABC中,/ BAD=n, BD= 3AD 又由 ED= BD 3 设 AD= 1,贝 U BD= ED= 3.因为 DEL平面 ABCD BDL AD 所以可以点D为坐标原点，DA DB DE所在直线分别为x轴，y轴，z轴建立空间直角 坐标系，如图所示. 则 A(1,0,0) , q 1, 3 ,

16、0) , E(0,0 ,腑,F(0,击,品, f 所以二面角DAEC的余弦值为 . （12 分） 11 srl 所以只 E= ( 1,0 , 3) , AC= ( 2 , 3 , 0). 12 U考点三 立体几何中的探索性问题 授课提示：对应学生用书第 43 页 悟通一一方法结论 解决立体几何中探索性问题的 3 个步骤及 1 个注意点 (1) 3 个步骤 通常假设题中的数学对象存在 (或结论成立)，然后在这个前提下进行逻辑推理; 若能推导出与条件吻合的数据或事实，说明假设成立，即存在，并可进一步证明； 若推导出与条件或实际情况相矛盾的结论，则说明假设不成立，即不存在. (2) 1 个注意点 探

17、索线段上是否存在点时，注意三点共线条件的应用. l，y| (2016 高考北京卷)(12 分) 平面 PAD丄平面卩八=卩人 如图，在四棱锥RABCDK AB丄 AC=CD=厅. AD AB= 1, AD= 2, n XE= 0, 设平面AEC的x + 3z= 0 , 厂 2x + J5y = 0, 令z = 1,得n= ( 3, 2,1)，为平面AEC勺一个法向量. 因为辰(1, 3, 3), 所以 cos n, T n AF AF= 42 IT， 所以直线AF与平面AEC所成角的正弦值为 14 . 讲练结合 13 (1)求证：PDL平面PAB14 (2)求直线PB与平面PCD所成角的正弦值

18、; 在棱PA上是否存在点M使得飘平面迟C?若存在，求黜值；若不存在，说明理 由. 学审题 条件信息 想到方法 注意什么 信息？： 平面PADL平面ABCD 面面垂直的性质定理：面面 垂直？线面垂直，即可证AB 丄平面PAD (1)直线和平面所成角的正弦值 等于平面法向量与直线方向向 信息？ ： PAI PD PA= PD PAD为等腰直角三角形及 斜边中线即为高线 信息？ ： AC= CD ACD为等腰三角形及其性 质 -等JI 面法向量J直线方向向 量夹角的余弦值的绝对值 (2)向量法解决立体几何问题的 关键是准确表达出各点及相关 量的坐标 信息？：棱PA上是否存在点 M 三点共线的应用 信

19、息？ ： BM/平面PCD 直线与平面平行时，直线的 方向向量与平面的法向量 的关系：BMt直于平面PCD 的法向量 规范解答(1)证明：因为平面 PADL平面ABCD AB丄AD 所以ABL平面PAD所以AB丄PD . (2 分) 又因为PAI PD所以PDh平面PAB (3分) 取AD的中点 O 连接PO CO 因为PA= PD 所以PC丄AD 因为PC?平面PAD平面PADL平面 ABCD 所以PC丄平面 ABCD . (5 分) 因为CO平面ABCD所以PCL CO 因为AC= CD所以COL AD 如图，建立空间直角坐标系 Oxyz.由题意得，A(0,1,0),耳 1,1,0) ,

20、C(2,0,0) , D(0 ,15 又PB= (1,1 , 1)，所以 cosn, PB = 所以直线PB与平面PCD所成角的正弦值为 (8 设M是棱PA上一点，则存在 入 0,1，使得AM= 因此点M0,1 入，入），BM= （ 1,入，入）. 因为BM平面PCD所以要使 BM/平面PCD贝U BMn = 0, .（10 分） 1 即（一 1,入，入） （1 , 2,2） = 0，解得入=-. AM 1 所以在棱PA上存在点M使得BM/平面PCD此时AP= 4. . （12 分） 类题通法类题通法/ / （ 1 利用空间向量巧解探索性问题 （1） 空间向量最适合于解决立体几何中的探索性问题

21、， 它无须进行复杂的作图、 论证、推理， 只需通过坐标运算进行判断. （2） 解题时，把要成立的结论当作条件，据此列方程或方程组，把“是否存在”问题转化为 “点的坐标是否有解，是否有规定范围内的解”等问题， 所以为使问题的解决更简单、有效， 应善于运用这一方法解题. 提醒探索线段上是否存在点时，注意三点共线条件的应用 I 丿 练通一一即学即用 （2018 福州四校联考）如图，在梯形 ABCD中, AB/ CD A* DC= CB= 1，/ BC= 120? 1,0) , R0,0,1) (6 分) 设平面PCD勺法向量为n= （x, y, z），则 n P* 0, n PC= , 即yz=0,

22、 2x z = 0, 令z = 2,则 x = 1, y = 2，所以 n= (1 , 2,2). n，PB =_ |n| PE| 入AP 16 四边形BFED 是直角梯形，DEL BD BF/ DE DE= 2BF= 2,平面BFEDL平面 ABCD （1）求证：ADL平面BFED17 (2)在线段EF上是否存在一点 P,使得平面PAB与平面ADE所成的锐二面角的余弦值为 ?若存在，求出点 28 P的位置；若不存在，说明理由. 解析： 证明：在梯形 ABCD中, / AB/ CD AD= DC= CB= 1，/ BCD= 120? AB= 2, BD= AB+ AD 2AB- AD- cos

23、 60 ?= 3, AB= AD+ BD,. BDL AD, 平面BFEDL平面ABCD平面BFEOT平面ABCD= BD ADL平面 BFED (2) T ADL平面 BFED - ADL DE 以D为原点，分别以 DA DB DE所在直线为x轴、y轴、z 轴建立如图所示的空间直角坐标系， 则 D(0,0,0) , A(1,0,0) , B(0 , 3, 0), E(0,0,2) , F(0 , 3, 1) ,EF= (0 , 3, 1) ,XB= ( 1, 3,0) ,Afe= ( 1,0,2). 设 EP=入 EF= (0 , , 3 入，-入)(0 w 入 w 1). 则AP= AE+

24、 入 EF= ( - 1, 3 入，2-入). 取平面ADE的一个法向量为 n= (0,1,0), 设平面PAB的法向量为 m= (x, y, z), 由KB- m= 0 , XP- m= 0 得 x + Wy= 0 , i x + 击入 y+ (2入 z = 0 , 令 y = 2-入，得 x = 2 3 _/3 入，z= 3 _ 3 入， m= (2 3 _ 3 入，2入，.3 3 入)为平面PAB的一个法向量, |cos n| = Snf1 = 5287 3 4 18 授课提示：对应学生用书第 138 页 1. (2018 高考全国卷I )如图，四边形 ABCD正方形，E, F分别为AD

25、 BC的中点, 以DF为折痕把厶DFC折起，使点 C到达点P的位置，且PE! BF 设DP与平面ABFD所成角为0， /课话训练: 提升能力 (1) 证明：平面 PEFL平面ABFD (2) 求DP与平面ABFD所成角的正弦值. 解析：(1)证明：由已知可得 BF丄PF, BF丄EF,所以BF丄 平面PEF 又BF?平面ABFD所以平面 PEF!平面 ABFD (2)如图，作PH! EF,垂足为H 由(1)得，PHL平面ABFD以H为坐标原点，Hfc的方向为y轴正方向，|前 为单位长, 建立如图所示的空间直角坐标系 H- xy z. 由(1)可得，DEL PE 又 DP= 2，DE= 1， 所

26、以PE= .3. 又 PF= 1，EF= 2，所以 PEL PF 所以 PH=，EH= |. 0 冷， 则 H(0,0,0) 又HP为平面 ABFD勺法向量， 3 4 19 所以DP与平面ABFD所成角的正弦值为HP- DP | Hp| Dp 20 2. (2018 长春模拟)如图，四棱锥 RABC即，底面ABC为菱形，P汕平面ABCD E 为PD的中点. 21 (1)证明：PB/平面ACE 设PA= 1，/ ABC= 60?三棱锥 EACD勺体积为弋3求二面角 DAEC的余弦值. 8 解析： 证明：连接BD交AC于点Q连接OE图略). 在 PBD中, PE= DE BQ= DQ 所以 PB/

27、 QE 又OH平面 ACE PB?平面ACE所以PB/平面 ACE 由题易知 VP-ABCD= 2VP-ACD= 4VE-AC尸23，设菱形 ABC的边长为 则 VP-ABC= 3S?ABCD- PA= 3 x (2 x -43a2) x 1 =-3，贝y a=j3. 取BC的中点为 M 连接AM则AML AD 以点A为坐标原点，分别以AM AD云话勺方向为x轴，y z轴的正方向，建立如图所示的空间直角坐标系, 则 A(0,0,0),曰 0, #,C(|, , 0), AE= (0 , n1 XE= 0, 设n1= (x, y, z)为平面 AEC的法向量，贝U叫 AC= 0, 3 1 丁 y

28、+子=0, 即 3 3 ?x+-y= 0, 取x= 1，则 m= (1 , - 3, 3)为平面AEC的一个法向量. 又易知平面 AED勺一个法向量为 n2= (1,0,0), ni 72 1 13 所以 cos n1, n2= = - ni n2 13， 由图易知二面角 D- AE C为锐二面角, D 22 3. (2018 高考全国卷 n )如图，在三棱锥 P-ABC中，AB= BC= 2 2 , PA= PB= PC= AC =4，O为AC的中点. (1)证明：POL平面ABC 所以二面角DAEC的余弦值为 .13 帀. 若点M在棱BC上，且二面角 MPAC为 30，求PC与平面 PAM所成角的正弦值. 解析： 证明：因为 PA= PC= AC= 4, O为AC的中点, 所以 OPL AC 且 OP= 2 3. 如图，连接OB 因为 AB= BC=- 所以 ABC为等腰直角三角形，且 (2)如图，以O为坐标原点，OB勺方向为x轴正方向，建立空间 直角坐标系Oxyz. 由已知得 Q0,0,0),巳 2,0,0) , A(0 , 2,0) , C(0,2,0), R0,0,2 3) , XP= (0,2,2 3). 取平面PAC的一个法向量 Od (2,0,0). 设 Ma,2 a, 0)(0 W a 2,3a4 2-3 a 4 + 3a + a 24 由已知