2019高考数学考点突破——直线与圆：两条直线的位置关系学案

1、两条直线的位置关系 【考点梳理】 1. 两条直线平行与垂直的判定 (1) 两条直线平行 对于两条不重合的直线 I 1, 12,若其斜率分别为 ki, k2,则有I i/ 12? ki= k2. 当直线I 1, I 2不重合且斜率都不存在时，I 1 / I 2. (2) 两条直线垂直 如果两条直线11, 12的斜率存在，设为 k1, k2，则有丨1丄12? k1 k2 =- 1. 当其中一条直线的斜率不存在，而另一条直线的斜率为 0 时，|1丄I2. 2. 两条直线的交点的求法 直线 11: A1X+ By+ C = 0, 12： A?x+ By + C2= 0( A1, B, C, A2, B

2、2, C2为常数)，贝V 11 与 12 Aix + By+ C = 0, Ax + E2y+ C2= 0 3.距离 R(X1, y1), F2(X2, y2)两点之间的距离|说| d= f 2 2 X2 X1 + y2 y1 点F0(xo, yo)到直线1 : Ax+ By+ C= 0 的距离 | Ax+ By)+ q d VA+B2 平行线 Ax+ By+ C = 0 与 Ax+ By+ C = 0 间 的距离 .|C-C2| d 你 + B2 【考点突破】 考点一、两条直线的平行与垂直 2 【例 1】已知直线 I 1： ax+2y+ 6= 0 和直线 12: x + (a- 1)y +

3、a - 1 = 0. 当I/丨2时，求a的值； 当丨1丄丨2时，求a的值. 解析(1) 法一一 当 a= 1 时，I1： x + 2y+ 6 = 0, 12： x= 0, I 1 不平行于 12； 当 a= 0 时，I1 ： y=- 3, 12： x y 1 = 0, I 1 不平行于 12； a 1 当al且a0时，两直线方程可化为 11： y= ；x- 3, 12： y = x- (a+ 1), 2 1 a a= 的交点坐标就是方程组 的由 I1 /12可得 2= 1-a, 解得 a=- 1. -3 工一(a+ 1),3 综上可知，a= 1. A1B2 AB = 0, AQ AAC 丰 0

4、, a (a 1) 1 x 2 =0, a (a2 1) 1 x 6 工0 (2)法一 当 a= 1 时，I 1： x + 2y+ 6= 0, 12： x= 0, I 1 与 12不垂直，故 a= 1 不符合； r , a 1 当 al 时，11: y= 3, 12: y= x (a+ 1), 2 1 a 丄 m f a) 1 2 由l1 丄l2，得2 1a =1? a=3. 法二 T 11丄丨2,. AA+ BB2= 0, 2 即 a+ 2( a 1) = 0,得 a= 3. 【类题通法】 1.判定直线间的位置关系， 要注意直线方程中字母参数取值的影响， 不仅要考虑到斜率存 在的一般情况，还

5、要考虑到斜率不存在的特殊情况， 同时还要注意x, y的系数不能同时为零这 一隐含条件. 2 在判断两直线平行、垂直时，也可直接利用直线方程的系数间的关系得出结论，可避免 A B C 讨论另外当 ABC2M0时，比例式汗与-，的关系容易记住，在解答选择、填空题时，有时 A & a 比较方便. 【对点训练】 1.直线11： mx y 2 = 0 与直线丨2： (2 m)x y+ 1 = 0 互相平行，则实数m的值为( ) A. 1 B. 0 C. 1 D. 2 答案C 解析直线I 1: mx y 2 = 0 与直线 12： (2 m)x y + 1 = 0 互相平行，二 m+ 2 m =

6、0, 门订 二门 解得m= 1.故选 C. m+ A L m -r- U, 2 .已知直线 11: ax+ 2y + 6= 0, 12： x + (a 1) y + a 1 = 0,若 11 丄 12，贝V a= _ . 由11 / I2知 a2 a 2= 0, 2 a (a 1)工6 a= 1. 4 2 答案35 2 解析 因为直线 11: ax+ 2y + 6= 0 与 12： x+ (a 1)y+ a -1 = 0 垂直，所以 a 1 + 2 ( a ” e 2 1) = 0,解得 a= 3. 考点二、两直线的交点与距离问题 1 【例 2】(1)已知直线y= kx + 2k +1 与直线

7、y= 一 x + 2的交点位于第一象限，则实数 k的 2 取值范围是 _ . (2)直线I过点P( 1, 2)且到点A(2 , 3)和点B( 4, 5)的距离相等，则直线I的方程为 答案 1 1 6，2 (2) x + 3y 5 = 0 或 x = 1 2 4k 解析(1)法 y = kx + 2k+ 1, 联立方程! 1 _解得 y=2k+1 1 y = ?x+ 2, 6k+ 1 (若 2k+ 1 = 0，即 k= 1 2， 则两直线平6 交点坐标为 2k， 2.又交点位于第一象限, ，-2 2k + 10， 解得 6k + 1 2k + 10, 1 1 6v k v 2. 法二如图，已知直

8、线 y= 2x + 2而直线方程y = kx + 2k + 1 可变形为y 1 = k(x + 2)，表示这是一条过定点 F( 2, 1)，斜 率为k的动直线. 两直线的交点在第一象两直线的交点必在线段 AB上(不包括端点), 动直线的斜率 k需满足kpAV kv kpB. 1 1 kpA= 6, kpB= 2 1 1 一 k v -. 6 2 7 即 |3 k 1| = | 3k 3| , k = 1, 1 直线 I 的方程为 y 2= -（x+1），即 x+ 3y 5 = 0. 3 当直线I的斜率不存在时，直线 I的方程为x = 1,也符合题意. 1 法二当AB/ I时，有k= kAB=

9、3,直线I的方程为 3 1 y 2 = 3（x + 1），即 x+ 3y 5= 0. 当I过AB中点时，AB的中点为（一 1, 4）, 直线I的方程为x= 1. 故所求直线I的方程为x+ 3y 5 = 0 或x = 1. 【类题通法】 1 .求过两直线交点的直线方程， 先解方程组求出两直线的交点坐标， 再结合其他条件写出 直线方程；也可利用过交点的直线系方程，再求参数. 2 .利用距离公式应注意：点 P（xo, yo）到直线x= a的距离d=|xo a|，到直线y = b的 距离d= | yo b| :两平行线间的距离公式要把两直线方程中 x, y的系数化为相等. 【对点训练】 1 1.当 0

10、k2 时，直线I 1： kx y= k 1 与直线丨2： ky x = 2k的交点在（ ） A.第一象限 C.第三象限 答案B kx y = k 1, ky x = 2k由题意知 当直线l的斜率存在时, |2 k 3+ k+ 2| = 电k + 1 设直线l的方程为y 2= k(x +1),即kx y+ k+ 2= 0. | 4k 5+ k + 2| /k2+1 B.第二象限 D.第四象限 解析 k k1， 2k 1 k 1 . 8 又 0k1 , x= 70, y = 0, 故直线丨1： kx y = k 1 与直线12： ky x= 2k的交点在第二象限. 设m与l的交点为N,则由 得N(

11、4 , 3). px 2y 6 = 0, 又 m经过点 N(4 , 3), 由两点式得直线方程为 9x 46y+ 102 = 0. (3) 法一 在I : 2x 3y + 1 = 0 上任取两点， 如 M1 , 1) , N(4 , 3),2.已知点 A 3, 4) , B(6, 3)到直线 I : ax+ y+ 1 = 0 的距离相等，贝U实数 a的值为 1 7 答案3 或一 9 解析由题意及点到直线的距离公式得 | 3a 4 + 1| = Qa2+ 1 |6 a + 3 + 1| .a2+ 1 考点三、对称冋题 【例 3】已知直线l : 2x 3y+ 1 = 0，点A 1, 2).求: (

12、1)点A关于直线l的对称点 A的坐标; (2) 直线m 3x 2y 6 = 0 关于直线I的对称直线 m的方程； (3) 直线l关于点A 1, 2)对称的直线l 的方程. 严 2= 1 x + 1 3 ， 解析(1)设 A(x, y)，再由已知 x一 1 y 一 2 2X3X 号 + 1 = 0, 33 x= 13， 了 33 4、 解得4 A C 否 y=相, (2)在直线m上取一点，如 M2 , 0)，贝U M2 , 0)关于直线I的对称点必在 m上. 设对称点为M (a, b)，贝 U b 0 2 匸 x 3 一1 =0, 解得M 解得 5 2 9 则M N关于点A的对称点M , N均在

13、直线l 上. 易知M ( 3, 5) , N ( 6, 7)，由两点式可得I 的方程为 2x 3y 9= 0. 法二 设Rx, y)为I 上任意一点， 则F(x, y)关于点A 1, 2)的对称点为P ( 2-x, - 4 y), P在直线 I 上，2( 2 x) 3( 4 y) + 1 = 0, 即 2x 3y 9 = 0. 【类题通法】 1 解决点关于直线对称问题要把握两点，点 M与点N关于直线I对称，则线段 MN的中点 在直线I上，直线I与直线MN垂直. 2 如果直线或点关于点成中心对称问题，则只需运用中点公式就可解决问题 3若直线Ii，丨2关于直线I对称，则有如下性质：(1)若直线Ii

14、与丨2相交，则交点在直线 I上；(2)若点B在直线I 1上，则其关于直线I的对称点B在直线I2上. 【对点训练】 1.点(2， 1)关于直线x y + 1 = 0 的对称点为 _ . 答案(0 ，3) 解得 F= ，故所求对称点为(0 , 3). 0= 3, 2 .直线x 2y+ 1 = 0 关于直线x+ y 2= 0 对称的直线方程是( ) A. x + 2y 1 = 0 B. 2x y 1 = 0 C. 2x+ y 3 = 0 D. x + 2y 3 = 0 答案B 解析由题意得直线x 2y + 1 = 0 与直线x + y 2= 0 的交点坐标为(1 , 1). 在直线x 2y + 1 = 0 上取点A( 1, 0), 设A点关于直线x+ y 2= 0 的对称点为B(m n), X 1 =1 解析 设对称点为(xo，yo)，则 c yo 1 x；2 = 1, x+ 2 y+ 1 2 2 + 1= 0, n 0 1 凹 m= 2, 解得* n= 3. 10 n + 2 2= 0, 故所求直线的方程为 匕=片，即