投资学3 资产组合理论

1、1一、证券收益率和风险的测度一、证券收益率和风险的测度二、二、证券组合的可行域和有效边界证券组合的可行域和有效边界、证券投资组合理论、证券投资组合理论对有效集的影响对有效集的影响2证券投资组合（证券投资组合（PortfolioPortfolio） 一、证券组合的含义一、证券组合的含义: :证券组合由一种以上的有价证证券组合由一种以上的有价证券组成，如包含各种股票、债券、存款单等，是券组成，如包含各种股票、债券、存款单等，是指个人或机构投资者所持有的各种有价证券的总指个人或机构投资者所持有的各种有价证券的总称。称。二、构建证券投资组合的原因二、构建证券投资组合的原因 (1) (1)降低风险。降低

2、风险。 (2) (2)实现收益最大化实现收益最大化三、如何确定不同证券或资产上的投资比例，以使三、如何确定不同证券或资产上的投资比例，以使资金稳定快速增长并控制投资风险，这就是投资资金稳定快速增长并控制投资风险，这就是投资组合理论要组合理论要解决的问题解决的问题。3 本知识点的内容安排：4 （一）单个证券收益率和风险的测度（一）单个证券收益率和风险的测度 1 1、单个证券收益的测度、单个证券收益的测度 （1 1）一般证券收益率测度）一般证券收益率测度收益是指投资者放弃当前消费和承担风险的补偿。收益是指投资者放弃当前消费和承担风险的补偿。通常收益率的计算公式为：通常收益率的计算公式为： 式中，式

3、中，R R是收入，是收入，C C是支出，是支出，r r是收益率是收益率 （2 2）股票的收益率测度）股票的收益率测度股票收益等于股票红利收益和价差收益之和，故股票收益等于股票红利收益和价差收益之和，故股票收益率的计算公式为：（红利股票收益率的计算公式为：（红利+ +期末市价总期末市价总值值期初市价总值）期初市价总值）/ /期初市价总值期初市价总值100%100%，即：，即： CCR)(%100r%100)(11ttttPPPDr5 （一）单个证券收益率和风险的测度（一）单个证券收益率和风险的测度 1 1、单个证券收益的测度、单个证券收益的测度 (3)(3)风险证券期望收益率的测度风险证券期望收

4、益率的测度风险证券的收益率通常用统计学中的期望风险证券的收益率通常用统计学中的期望值来表示：值来表示：式中，式中，R Ri i是证券第是证券第i i情况下的收益率，情况下的收益率，P Pi i是是i i种情况下的概率种情况下的概率niiiPRR16 （一）单个证券收益率和风险的测度（一）单个证券收益率和风险的测度 2 2、单个证券风险的测度、单个证券风险的测度 单个证券的风险，通常用统计学中的方差或标准差单个证券的风险，通常用统计学中的方差或标准差表示：表示： （1 1）方差）方差 （2 2）标准差）标准差 niiiPRR122)(niiiPRR12)(7 （二）两个证券组合收益率和风险的测度

5、（二）两个证券组合收益率和风险的测度 1、两个证券收益率的测度、两个证券收益率的测度 假设某投资者将其资金分别投资于风险证券假设某投资者将其资金分别投资于风险证券A和和B，其投资比重分别为其投资比重分别为XA和和XB，显然，显然，XA+XB=1 则双证券组合的预期收益率则双证券组合的预期收益率 等于单个证券预期收等于单个证券预期收益益 和和 以投资比重为权数的加权平均数以投资比重为权数的加权平均数,用公式表示用公式表示: 2、两个证券风险的测度、两个证券风险的测度 双证券组合的风险用其收益率的方差双证券组合的风险用其收益率的方差P2表示为表示为: P2=XA2A2+ XB 2B2+2XAXBA

6、BPRARBRBBAAPRXRXRPR8 （二）两个证券组合收益率和风险的测度（二）两个证券组合收益率和风险的测度 3 3、两个证券收益率、风险和相关系数之间的关、两个证券收益率、风险和相关系数之间的关系系 表示两证券收益变动之间的互动关系，除了表示两证券收益变动之间的互动关系，除了协方差外协方差外, ,还可以用相关系数还可以用相关系数ABAB表示，两者表示，两者的关系为：的关系为： 注意：注意： BAABAB11AB9 （二）两个证券组合收益率和风险的测度（二）两个证券组合收益率和风险的测度 3 3、两个证券收益率、风险和相关系数之间的关、两个证券收益率、风险和相关系数之间的关系系 当当AB

7、AB=-1=-1时，时， 表示证券表示证券A A、B B收益变动完全负相关收益变动完全负相关; ; 当当ABAB=+1=+1时，时， 表示证券表示证券A A、B B完全正相关完全正相关 当当ABAB=0=0时，时， 表示完全不相关表示完全不相关 当当00ABAB11时，时， 表示正相关表示正相关 当当-1-1ABAB02)种资产构成的投资组合的情况种资产构成的投资组合的情况为了简化说明，下面假定：为了简化说明，下面假定： 1、投资组合中每种证券所占的比例都、投资组合中每种证券所占的比例都1/n； 2、这、这n种证券风险各自的风险种证券风险各自的风险1、2n，都濒于一个，都濒于一个常数常数* 3

8、、这、这n种证券的收益率彼此之间完全无关，即相关系数为种证券的收益率彼此之间完全无关，即相关系数为0。组合的风险则由以下公式决定：。组合的风险则由以下公式决定： 当当n趋向无穷大，即随着证券组合中证券种类无限增加时，证趋向无穷大，即随着证券组合中证券种类无限增加时，证券组合的风险券组合的风险2P趋向于零。趋向于零。 222222,*1111111nnnNpiji jiijiixx Covnnn56 ( (四四) ) 有效集有效集 可行集可行集( (Feasible SetFeasible Set) )：p 可行集指的是由可行集指的是由N N种证券所形成的所有组合的集合种证券所形成的所有组合的集

9、合, ,它它包括了现实生活中所有可能的组合。即所有可能的组包括了现实生活中所有可能的组合。即所有可能的组合将位于可行集的边界上或内部合将位于可行集的边界上或内部 有效集有效集( (Efficient PortfolioEfficient Portfolio）对于同样的风险水平，他们将会选择能提供最大预期对于同样的风险水平，他们将会选择能提供最大预期收益率的组合收益率的组合（图（图a a中的中的BCDBCD部分）部分）；对于同样的预期；对于同样的预期收益率，他们将会选择风险最小的组合收益率，他们将会选择风险最小的组合（图（图a a中的中的ABCABC部分部分) )。能同时满足这两个条件的投资组合

10、的集合就是能同时满足这两个条件的投资组合的集合就是有效集。有效集。处于有效边界上的组合称为有效组合处于有效边界上的组合称为有效组合 图图a a中的中的B B、C C两点之间上方边界上的可行集就是有效集两点之间上方边界上的可行集就是有效集5758 ( (四四) ) 有效集有效集 有效集曲线的特点有效集曲线的特点 有效集是一条向右上有效集是一条向右上方倾斜的曲线方倾斜的曲线 有效集是一条向上凸有效集是一条向上凸的曲线的曲线 有效集曲线上不可能有效集曲线上不可能有凹陷的地方。有凹陷的地方。 如何寻找有效集？有效边界？设： 在消除所有x以后，可以证明多种股票组合的方差与预期收益之间的关系也为一双曲线：

11、63 （五）最优组合的确定（五）最优组合的确定 在在Mean-Variance理论中，最优投资组合由理论中，最优投资组合由无差无差异曲线与有效集的相切点异曲线与有效集的相切点确定：确定： 1、厌恶风险程度越高的投资者，其无差异曲线厌恶风险程度越高的投资者，其无差异曲线的斜率越陡，因此其最优投资组合越接近的斜率越陡，因此其最优投资组合越接近B点；点； 2 2、厌恶风险程度越低的投资者，其无差异曲线、厌恶风险程度越低的投资者，其无差异曲线的斜率越小，因此其最优投资组合越接近的斜率越小，因此其最优投资组合越接近C点。点。 6465 (一一)无风险资产无风险资产 无风险利率无风险利率rf：是指投资者能

12、够按此利率进行无风是指投资者能够按此利率进行无风险借贷，它体现了货币的时间价值。险借贷，它体现了货币的时间价值。 国外通常采用一年期国债利率或银行间同业拆借国外通常采用一年期国债利率或银行间同业拆借利率（如利率（如LIBOR）代替。在我国一般选用城乡居代替。在我国一般选用城乡居民储蓄一年期定期存款利率作为无风险收益率。民储蓄一年期定期存款利率作为无风险收益率。p无风险资产是有确定的预期回报率且方差为零的无风险资产是有确定的预期回报率且方差为零的资产；每一个时期的无风险利率等于它的预期值；资产；每一个时期的无风险利率等于它的预期值；无风险资产和任何风险资产的协方差是零；无风无风险资产和任何风险资

13、产的协方差是零；无风险资产与风险资产不相关险资产与风险资产不相关。66 ( (二二) )无风险资产对有效集的影响无风险资产对有效集的影响 1 1、投资于一种无风险资产和一种风险资产的情形、投资于一种无风险资产和一种风险资产的情形 (1)(1)该组合的预期收益率为：该组合的预期收益率为： (6.1) (6.1) (2)(2)该组合的标准差为该组合的标准差为: : (6.2) (6.2) nifiiprXRXRXR12111111XXXninjijjip67 ( (二二) )无风险资产对有效集的影响无风险资产对有效集的影响 1 1、投资于一种无风险资产和一种风险资产的情形、投资于一种无风险资产和一

14、种风险资产的情形 将（将（6.26.2）代入（）代入（6.16.1）得：）得： (6.3) (6.3)pffprRrR1168 ( (二二) )无风险资产对有效集的影响无风险资产对有效集的影响 2 2、资产配置线资产配置线 由于由于X X1 100、X X2 20,0,故上式故上式(6.3)(6.3)所表示的只是一个线段，所表示的只是一个线段，若若A A点表示无风险资产，点表示无风险资产，B B点表示风险资产，由这两种点表示风险资产，由这两种资产构成的投资组合的预期收益率和风险一定落在资产构成的投资组合的预期收益率和风险一定落在A A、B B这个线段上，因此这个线段上，因此ABAB连线可以称为

15、资产配置线。连线可以称为资产配置线。 由于由于A A、B B线线段上段上 的组合均是可行的组合均是可行 的，因此允许无的，因此允许无 风险贷款将大大风险贷款将大大 扩大可行集的范围扩大可行集的范围PRPBA69 ( (二二) )无风险资产对有效集的影响无风险资产对有效集的影响 3 3、投资于一种无风险资产和一个证券组合的情形、投资于一种无风险资产和一个证券组合的情形 假设风险资产组合假设风险资产组合B B是由风险证券是由风险证券C C和和D D组成的，根据可组成的，根据可行集的分析，则行集的分析，则B B一定位于经过一定位于经过C C、D D两点的向上凸出的两点的向上凸出的弧线上。弧线上。PR

16、BAPCD70 ( (二二) )无风险资产无风险资产对有效集的影响对有效集的影响 3 3、投资于一种无风险资产和一个证券组合的情形、投资于一种无风险资产和一个证券组合的情形 引入无风险贷款后，新的有效集由引入无风险贷款后，新的有效集由ATAT线段和线段和TDTD弧线构弧线构成。注意：成。注意：T T点是线段点是线段ATAT与弧线与弧线CDCD的切点，且的切点，且ATAT斜率斜率是最大的是最大的请问：为什么请问：为什么CTCT弧不再是有效集？弧不再是有效集？ PRTAPCD71 ( (二二) )无风险资产对有效集的影响无风险资产对有效集的影响 3 3、投资于一种无风险资产和一个证券组合的情形、投

17、资于一种无风险资产和一个证券组合的情形 最优风险组合实际上是使无风险资产（最优风险组合实际上是使无风险资产（A A点）与点）与风险资产组合的连线斜率最大的风险资产组合。风险资产组合的连线斜率最大的风险资产组合。我们的目标是求我们的目标是求 其中：其中：R R1 1=X=XA AR RA A+X+XB BR RB B 11f，XXrRMaxBABABABBAAXXXX222222172 ( (二二) )无风险资产对有效集的影响无风险资产对有效集的影响 3 3、投资于一种无风险资产和一个证券组合的情形、投资于一种无风险资产和一个证券组合的情形 最优风险组合的权重解如下：最优风险组合的权重解如下：

18、BAfBfAAfBBfABAfBBfAArRrRrRrRrRrRX22273( (二二) )无风险资产对有效集无风险资产对有效集的影响的影响4 4、无风险贷款对投资组、无风险贷款对投资组合选择的影响合选择的影响 对于厌恶风险程度较轻对于厌恶风险程度较轻的投资者，其投资组合的投资者，其投资组合的选择将不受无风险贷的选择将不受无风险贷款的影响，投资组合将款的影响，投资组合将选择无差异曲线与选择无差异曲线与DT弧线相切点（即弧线相切点（即O O点点）所代表的投资组合。所代表的投资组合。I3PRTAODCI2I1P74 ( (二二) )无风险资产对有无风险资产对有效集的影响效集的影响4 4、无风险贷款

19、对投资、无风险贷款对投资组合选择的影响组合选择的影响 ：对于较厌恶风险的投对于较厌恶风险的投资者而言，将选择其资者而言，将选择其无差异曲线与无差异曲线与ATAT线段线段相切点（即相切点（即O O点点）所）所代表的投资组合。代表的投资组合。I2PPRATCDOI3I175 ( (二二) )无风险资产无风险资产对有效集的影响对有效集的影响 5 5、最优资产配置比例、最优资产配置比例 投资者面临的最优风险组合的预期收益率为投资者面临的最优风险组合的预期收益率为 ，标准，标准差为差为 。设其。设其投资效用函数（投资效用函数（U U）为：）为： 分别表示整个投资组合（包括无风险资产分别表示整个投资组合（

20、包括无风险资产和最优风险组合）的预期收益率和标准差，它们分别等和最优风险组合）的预期收益率和标准差，它们分别等于：于： 1R1221PPARU2PPR和212211yRyryRPfP76 ( (二二) )无风险资产无风险资产对有效集的影响对有效集的影响 5 5、最优资产配置比例、最优资产配置比例 投资者的目标是通过选择最优的资产配置比例投资者的目标是通过选择最优的资产配置比例y y来使来使他的投资效用最大化。他的投资效用最大化。 将上式对将上式对y y求偏导并令其等于求偏导并令其等于0 0，我们就可以得到最优，我们就可以得到最优的资产配置比例的资产配置比例y y* *：21215 . 01Ay

21、RyryUMaxfy211*ArRyf 确定最优投资组合的方法，投资者首先必须估计所有证券的预期收益率和方差、所有这些证券之间的协方差以及无风险利率水平，然后，找出切点处投资组合(最优风险组合)，并由无风险利率与切点处代表的投资组合共同决定一条直线，再根据自己的无差异曲线与这直线相切的切点。78DABECAL(A)CAL(B)5813510152025两条CAL以rf=5%为起点，通过A,B两点。A点代表了在股票与债券的=0.3时的最小方差组合由于B的斜率大于A，相同方差更高收益，B更优。最高的CAL线？ 因此，两条线相切时，切点所对应的因此，两条线相切时，切点所对应的组合组合P最优最优。79

22、确定最优总资产组合步骤确定最优总资产组合步骤1.1.确定各种证券的收益特征值，包括预期收益、方差和协方差确定各种证券的收益特征值，包括预期收益、方差和协方差或相关系数；或相关系数；2.2.建立最优风险资产组合：建立最优风险资产组合： 计算最优风险资产组合计算最优风险资产组合P P ，即根据下页公式，即根据下页公式1 1 计算出计算出WiWi的的值；值； 计算风险资产组合计算风险资产组合P P的参数值，即由步骤的参数值，即由步骤A A决定的权重决定的权重WiWi根根据下页公式据下页公式3 3 计算出风险资产组合计算出风险资产组合P P的预期收益、方差值；的预期收益、方差值；3. 3. 确定最优资

23、本配置：在风险资产组合与无风险资产之间配确定最优资本配置：在风险资产组合与无风险资产之间配置总资产置总资产 计算分配到风险资产组合计算分配到风险资产组合P P和无风险资产的总资产组合比和无风险资产的总资产组合比例例 ，根据公式，根据公式2 2，求出，求出y y* *值；值； 计算总资产组合在每种风险资产和无风险资产的投资份额，计算总资产组合在每种风险资产和无风险资产的投资份额，即分别为即分别为WiWi * * y y* *和和1-y1-y* * 。根据投资者风险厌恶系数计算投资于风险资根据投资者风险厌恶系数计算投资于风险资产组合的最优比例产组合的最优比例80 公式公式1 1 公式公式2 2 y

24、 y* *=E(r=E(rp p)-r)-rf f/0.5A0.5A2 2p p 公式公式3 E(rp)=wDE(rD)+wEE(rE) p p2 2=w=w2 2D D D D2 2+ w+ w2 2E E E E2 2+2w+2wD Dw wE E D D E EDEDE 1w to)(isubjectrrESMaxPfPPwi81 如果投资者投资组合中有三种资产：两种风险资产，一如果投资者投资组合中有三种资产：两种风险资产，一是股票，一是债券；一种是年收益率为是股票，一是债券；一种是年收益率为5%的无风险短期的无风险短期国库券。有关数据如下：国库券。有关数据如下：债券债券股票股票预期收益预期收益,E(r)8%13%标准差标准差,12%20%相关系数相关系数,DE.30试求：1、最优风险资产组合中各风险资产所占比