对勾函数模型

1、第十周对勾函数模型重点知识梳理1.对勾函数定义b对勾函数是指形如：y=ax+ q(ab>0)的一类函数，因其图象形态极像对勾，因此 x被称为 对勾函数”，又被称为 双勾函数”、勾函数”、耐克函数”或 耐克曲线y= ax+bx(a>0, b>0)的性质2.对勾函数(1)定义域：(一巴 0)U(0, +8).(2)值域：(8, .2V正U2而5 + )奇偶性：在定义域内为奇函数.(4)单调性：(8,+ 00正是增函数；(-，S' (O'上是减函数(5)渐近线：y轴与y=ax(或y=-ax)b3. y=ax+x(a>0, b>0)的单倜区间的分界点:求分

2、界点方法：令特殊的，a>0时，y=x+ a的单调区间的分界点：i/a.x2解题时要先找出对应的单调区间,4 .对勾函数应用时主要是利用对勾函数单调性求其最值, 然后求解.5 .利用对勾函数求最值，常常用到如下的重要不等式:若 a>0, b>0,则 x>0 时，ax+ b->s/ab.x当且仅当ax在应用这个不等式时，要注意使用的前提条件是正、二定、三相等"，即加号两边的项ax和b都是正项，且二者乘积为定值，同时ax=x中等号可取到.若等号取不到，则应根据对勾函数单调性求解.典型例题剖析5例1 已知f(x) = x+ 求f(x)在下列区间的取小值. x(1

3、)1,2;(2)3,4;(3) 3, - 1.【解析】如图，f(x)在(一8,桐,(册,+8)上是增函数，在(脏,0), (0, M)上是减函数.(1)由对勾函数性质可知 f(x)在1,2上单调递减，.1 f (x)min = f (2) = 42.(2)因为f(x)在3,4上单调递增,所以 f(x)min = f(3) = 47.3(3)因为f(x)在3, J5 上单倜递增，在(-g 1上单倜递减，且f(3)=一4$, ") = 6,所以 f(x)min = 6.x2 + 5一变式训练x的值.已知函数f(x)=求f(x)的最小值，并求此时x2 4【解析】f(x) =x2+5 x2+

4、4+1x2+ 4：'x2+4= x2 + 4 + / 1,x2+41令 t = x244,则 t>Z y=t+；.1 ,y=t+;在2, +8坤倜递增, 一1 5当 t=2 时，ymin = 2 + 2-= 2,此时，由2 + 4 = 2, x= 0.5 综上，f(x)的取小值为2,此时x的值为0.一 ，一x2 2x 1例2求函数f(x)=xq(0奚瑚值域.【解析】令t=x+2,则x=t 2, 2岸5(t 2)2 2(t 2)1V= tt26t+7t7 = t + -6,2 «5.y=t+； 6在2,巾上单调递减，在巾,5上单调递增,当 t=g7 时，ymin = 2&

5、quot;7一6 ,71且当 t=2 时，y=2 + 2-6=- 2,当t = 5 时,y=5 +6=£) ymax= 7 .5552 综上，f(x)的值域为2/6,-.5x24x+ 12-变式训练求函数f(x)=1, xC 2, 5的值域.【解析】f(x) =x24x+12x 12,(x- 1)22(x 1)+99x1= x T + 占，一9令 t = x1,则 f(t) = t+： 2, t1,4,9结合y=t + 9的图象与性质，可知当tC1,3时，函数单调递减，当 tC3,4时，函数单调递增,17又 f=8' f(3) = 4' f(4)=I'所以 f

6、(x)C 4,8.例3某工厂去年的某产品的年产量为100万只，每只产品的销售价为10元，固定成本为8元.今年，工厂第一次投入100万元(科技成本)， 并计划以后每年比上一年多投入100万k元(科技成本)，预计产量年递增10万只，第n次投入后，每只产品的固定成本为g(n)=-=n+ 1(k>0, k为常数，nCZ且n>0)若产品销售价保持不变，第n次投入后的年利润为f(n)万元.求k的值，并求出f(n)的表达式；(2)问从今年算起第几年利润最高最高利润为多少万元k【解析】(1)由g(n) = _i=,当n=0时，由题意， ,n+ 1可得k= 8,所以 f(n)= (100 + 10n

7、)(108_Vn+ 1)-100n(n Z 且 n>0)(2)由 f(n) = (100 + 10n)(10 - .) - 100nn+ 1=1 000 80(山+ 1 + J y 工 1 000- 80 X 乖=520,9当且仅当后7 =1=,即n= 8时取等号, Un+ 1所以第8年工厂的利润最高，最高为520万元.变式训练建筑一个容积为800米3,深8米的长方体水池(无盖).池壁，池底造价分别为a元/米2和2a元/米2.底面一边长为x米，总造价为y.写出y与x的函数式，问底面边长 x为何值时总造价y最低，是多少【解析】长方体底面积 S=800=100米2,地面一边长为 x米,因此另

8、一边长为詈米,池壁总面积为8(2x+200)2, x，总造价 y=100x右+ (2x+200)8a x '= 200a+ 16a(x+100)(x>0) x '函数y=200a+16a(x+100)(0,10上是减函数，在(10, + 8)上是增函数, x当x= 10时，总造价最低，且 ymin = 520a(元).跟踪训练卜列函数中最小值是4的是()A.B.,4 y = x+ x x,2 y= x+ x xC. y=21+x+21 x c 1D. y= x2+ x2+ i + 3, (x0)2,函数y=x+ 4-, xC (1,3的值域为()xA. 13-， 5)B.

9、 4,5)3C. * 4)D. (4,5)343,函数 y=-x + 1x + 3, xC1, 0)的值域为 .o 34. y= 2x + i + x2的取小值是 , 一4s5.已知x>0,则2+x+-的取小值是 . x6,函数y=x+ 3在区间1,2上的最小值为 . x7 .若函数y=x + a(a>0)在区间(仙，+8)上单调递增，则 aC.x8 .建造一个容积为8m3,深为2 m的无盖水池，如果池底与池壁的造价每平方米分别是120元和80元，则水池的最低造价为 元.9 .某房地产开发公司计划在一楼区内建造一个长方形公园ABCD,公园由长方形休闲区A1B1C1D1和环公园人行道

10、(阴影部分)组成.已知休闲区 A1B1C1D1的面积为4 000 m2,人行道 的宽分别为4 m和10 m(如图所示).AiBi若设休闲区的长和宽的比 BC = x,求公园ABCD所占面积S关于x的函数解析式；(2)要使公园所占面积最小，休闲区A1B1C1D1的长和宽应如何设计10 .如图，某单位准备修建一个面积为600平方米的矩形场地（图中ABCD）的围墙，且要求中间用围墙EF隔开，使得 ABEF为矩形，EFDC为正方形，设 AB= x米，已知围墙（包才EF） 的修建费用均为800元每米，设围墙（包才EF）的修建总费用为y元.（1）求出y关于x的函数解析式；（2）当x为何值时，设围墙（包括E

11、F）的的修建总费用y最小并求出y的最小值.八 F一x + 2x+ 3-11 .已知函数 f(x)= (xC2, +8)x求f(x)的最小值;(2)若f(x)>a恒成立，求a的取值范围.a12 .已知函数 f(x)=x+x, xC 1 , +8), a>0.1 . 当a=2时，求函数f(x)的取小值；(2)若函数f(x)的最小值为4,求实数a.20年的隔13.为了降低能源损耗，某体育馆的外墙需要建造隔热层.体育馆要建造可使用热层，每厘米厚的隔热层建造成本为6万元.该建筑物每年的能源消耗费用C(单位：万元)k与隔热层厚度x (单位：cm)满足关系：C(x)=-(0 x：< 10

12、k为常数)，若不建隔热层，每 3X I 5年能源消耗费用为 8万元.设f(x)为隔热层建造费用与 20年的能源消耗费用之和.求k的值及f(x)的表达式；(2)隔热层修建多厚时，总费用f(x)达到最小并求出最小值.参考答案1 . C A选项，由于x可取负值，显然最小值不是4,排除A;B选项，由于x可取负值，显然最小值也不是4,排除B;一，V 21C选项，由于 y=2 2x+K= 2(2x + 2x),1换兀，令 t = 2x, t>0,贝U y= 2(t + -) >4当且仅当t=1即x=0时，函数有最小值 4,c 1c1D选项，由于 y=x2+三百 + 3=x2+1+ 声 + 2,

13、换兀，令 t=x2+1, t>1,一 1则丫虫+ ,+ 2,函数在(1, +8正单调递增，因此 y>4,排除D选项.综上，答案为C.42. B 由对勾函数性质可知，当 x=x，即x= 2时，表达式有最小值 4,又函数在(1,2)上单调递减，在(2,3上单调递增，f(1)=5, f(3) = 3+4=13,所以值域为4,5),答案为B. 333. 6,7)4_.4 一解析 y= x+1-x + 3= 1 -x+1x +2,换元，令 t= 1-x,则 xC 1, 0)时 tC(1,2,4y = t + - + 2,函数在(1,2上单倜递减，4右 t = 1,贝U y=1+1+2=7,4

14、右 t = 2,贝U 丫=2+2+2=6,故函数值域为6,7).4. 2加-2解析 换元，令t = 1 + x2,则t R1 x2= t 1,33y=2(t-1)+- = 2t+-2,函数在1,、t上单调递减，在pjl，+0°)上单调递增，所以当t=/3时，函数有最小值 2m2.5. 6解析 由对勾函数性质可知，当 x= 4,即x=2时，表达式有最小值 6. x6. 2小解析 因为y=x+3在区间1,季上单调递减，在#,2上单调递增，所以当x=J3时x函数有最小值2 3.7. （0,58. 1 760844解析 池底面积为2= 4 cm2,设池底范为 x cm,则长为;x cm,则水

15、池的造价为 4X 120 2（xX21 2801 280+ xX2) X80480 + 320x>48* 2a x 32x= 1 760x， x9. 解析（1）设休闲区的宽为a米，则其长为ax米.由 a2x= 4 000,得 a=20Y10, ,x贝U S= (a+ 8)(ax+ 20)= a2x+ (8x + 20)a+ 160 =4 000 + (8x + 20)2口乎 + 160 =80匹化5+ 亍)+4 160,5即 S= 80小0(2市+于)+ 4 160.(2)S= 80 诟(2 或+x) + 4 160 > 1航 航+4 160=5 760,当且仅当2yx,即x =时

16、取等号，此时 a = 40, ax= 100.所以要使公园所占面积最小，休闲区A1B1C1D1应设计为长100米，宽40米.10. 解析（1）设AD= t米，则由题意得 xt=600,且t>x,故 t = gx,可得 0Vx<1046, X贝U y=800(3x+2t)=800(3x+ 2>600)X，=2 400(x+400), X所以y关于x的函数解析式为y= 2 400(x+ 400)(0<x<10'76). x '(2)y= 2400(x+ 400) > 2 400 飞k 400= 96 000,当且仅当x= 400,即x= 20时等

17、号成立. X故当x为20米时，y最小.y的最小值为96 000元.11. .解析(1)任取 Xi , X2 2 , + 8),且 X1<X2, f(x)= x+ +2. X3则 f(x1) - f(X2) = (X1 - X2) (1-2),XI X2 Xl<X2, 1- Xi X2<0,又 Xi>2, X2>2,3_ . iX2>4，1X1X2>0， f(xi) f(X2)<0 ,即 f(Xi)<f(X2).故f(X)在2, + 8正是增函数,当x=2时，f(X)有最小值,11f(2) = y.(2)，f(X)>a恒成立，只需f(X

18、)min>a.1111又.f(x)min= y, 一 a<y.11 一.、12.解析 (1) a=2时，f(x)=x+Q, xC 1 , + 8).令 x=2x(x>0),得*=*?1, +°0),.不能用不等式求最值.设 11<x2,则 f(x1) f(x2),、,11、= (x-x2)+(痴一说)/1= (X1 刈(1一 装/0,二.函数f(x)在1 , + °°)上是单调递增函数，31 fmin(x)= f(1) = 2.(2)当 0<a<1 时，令 x= 2,彳导 x=a<1,2 Va?1, + 8),，类似于(1)可知函数f(x)