导数结合洛必达法则巧解高考压轴题

1、导数结合洛必达法则巧解高考压轴题2010年和2011年高考中的全国新课标卷中的第21题中的第色)步，由不等式恒成立来求参数的取值范围问题，分析难度大，但用洛必达法则来处理却可达到事半功倍的效果。洛必达法则简介：法则1若函数f(x)和g(x)满足下列条件：(Dlim fx = 0及limgx = 0 ;(2)在点a的去心邻域内,f(x)与g(x)可导且g<x)于0；f,(X)(3) limI ,xa g x那么 lim L = |im - =i。g(x ) g'(x)法则2若函数f(x)和g(x)满足下列条件：(Dlim f x =0及lim g x = 0 ;xAC *'

2、(2) A> 0, f(x)和 g(x)在.: :，A 与 A,：上可导，且 g'(x)羊0；0 比.T-i 00各必达法则可处理一，。1“，0 ,：.：型。o在着手求极限以前，首先要检查是否满足二，1，: 0, 0。，： ：_：型定式，o否则滥用洛必达法则会出错。当不满足三个前提条件时，就不能用洛必达法则，这时称洛必达法则不适用，应从另外途径求极限。育条件符合，洛必达法则可连续多次使用，直到求出极限为止。二.高考题处理1 .(2010年全国新课标理)设函数f (x) = ex -1 - x - ax2。(1) 若a = 0，求f (x)的单调区间；(2) 若当x_ 0时f (x

3、) _ 0，求a的取值范围原解：。)a = 0 时，f(x)=ex-1-x,f'(x) = ex-1.当(-：,0)时，f(x)： ： ： 0;当 x(0 八：)时，f'(x)O 故 f (x)在八-,()单调减少，在精选资料，欢迎下载(0：)单调增加(II)f '(x) = ex -1 - 2ax由(I)知ex x，当且仅当x = 0时等号成立.故那么 lim»=lim_Al。Fg(x) FgAx)法则3若函数f(x)和g(x)满足下列条件：lim fx:及lim gx二：；在点a的去心邻域内，f(x)与g(x)可导且g'(x)羊0；f1(x)(3)

4、 lim I , xa g x那么 limd = lim =l。一g(x ) J g (x)利用洛必达法则求未定式的极限是微分学中的重点之一，在解题中应注意：+ 将上面公式,中的 Xi a, Xis换成XT +8, XT- a,“一 av一 a : ag+i±nrnik 命看 af'(x)_x_2ax = (1 _2a)x ,1 从而当 1-2a- 0,即 a 时，f'(x)_0(x 0)，而 f(0) =0 ,2于是当xAO时，f(x)K0.1XXI由e / x(x = 0)可得e -1- x(x= 0).从而当a时，2故当 x (0,ln 2a)时，f(x)二。、

5、而 f (0) = 0，于是当 x (OJn 2a)时，f(x) ： ： 0. 综合得a的取值范围为(-sjI 2)X - 1当x 0时,f(x) _0等价于a - Ee2XxXXX X，令 h x 二 xe - 2e x 2 >x -1x2x2令 g x 二 一2(x>0),则 g (x)3则 /?x 二Xe至1，hx二 XgX0，X原解在处理第(II )时较难想到，现利用洛必达法则处理如下： 另解：(II )当X=O时，f(x)=。,对任意实数a,均在f(x)_O ;知在0,：;心上为增函数，h x h 0 =0 ；知h(x)在S,址)上为增函数，hx-hoi； =0；,gx0

6、，g(x)在 0,4j 上为增函数。XXX由洛必达法则知，lim e _： Jim加lim号冷，xo Xx 】o 2X x 】o 2 21故a -2综上，知a的取值范围为i,1。22.(2011年全国新课标理)已知函数，曲线y = f(x)在点(1,f (1)处的切线方程为x, 2y-3 = 0。(i)求a、b的值；|ny k(n)如果当xO，且x胡时，f(x) 一 ，求k的取值范围。x1 Xx 11 nx) b原解：(i)f'(x)二一一J(X 1)由于直线X，2y-3=0的斜率为 X2f =1,-，且过点0'1)，故f'(1)即 2'解得 a=1 , b =

7、1。b=1,11In x 1(n )由)知£ (x)，所以Y _L 1 Y精选资料，欢迎下载八八1)。X(0，由 h'(x)二22k(x知，当 X = 1 时，h'(x) :： 0 , h(X)递减。而 h(1)= 01故当 x (0,1)时 , h(x) 0,可得 2h(x) 0；1 - Y1-x1 2当 X (1, + ：)时，h (X)<0,可得一 h (X) >0从而当x>0,且x=1时，f (x)(In x k+) x1 XIn x k>0,即 口 f (x) >+x1 X(ii)设 0vkv1.由于(k- 1)X2 1)2 (

8、k - 1) X2 2x k - 1的图像开口向下,且21 1 2'心=4 - 4(k 1) > 0，对称轴 x=> 1 当 xA=( 1,)时，(k1)(x+1)+2x>0,故 h (x) >0,而h=0,故当x (1,1 1)时 , h (x) >0,可得-h (x) <0,与题设矛盾。1-k1-x2(iii )设 k1 .此时 x 1 2x , (k-1)(x22'1)2x 0=h (x) >0,而 h(1)=0,故当In x f(x)(考虑函数h(x) = 2ln xi)(x 0)，则h(x)="乜)数2h (x) v

9、O,与题设矛盾。解：应用洛必达法则和导数精选资料，欢迎下载ix sin x当xroB时，原不等式等价于、 x - si nx3si nxxcosx2x记 f (X)3，则 f '(x)二X£g(x) = 3sin x - xcosx 2x 贝 U g '(x) = 2cos x xsin x - 2 .因为 g "(x) = xcosx - sin x = cosx(x tan x),g H,(x) - -xsin x ： ： ： 0，所以 g "(x)在(0,)上单调递减，且gH(x)：0 ,所以g'(x)在(0, 一)上单调递减，且 g

10、 '(xR： ： ： 0.因此g(x)在(0)上单调递减, 22且g(x) ： ： ： 0,故f'(x)二业因此f3=1在(°上单调递减.9 : : : 0 »X由洛必达法则有x-si nx1 -cosxsinx cosx2 =lim= limx>°3x x>°6x x>。即当 x > 0 时，g(xA -，即有 f (x) J.66,131故时，不等式Sinx.xrx对于x (兄。恒成立.通过以上例题的分析，我们不难发现应用洛必达法则解决的试题应满足:可以分离变量；用导数可以确定分离变量后一端新函数的单调性；出现

11、型式子.0222x In xx2 1 In X X2 1令 g(x)=r1(x.O,A-1)J0 gx=21 -x再令 h x = x2 1 In x-x2 1 ( x 0, x = 1)，则 h x=2伙 nixXhu x =21 n x 1 ,易知hx=21 n x 1_L在上为增函数,且仍xx故x(0,1)时，hx ：。，当 x (1, + ：)时，6x 0 ;力X在。,1上为减函数，在1 ,二上为增函数；故hx>h 1 =0.h x在0, :上为增函数L h 1 =0当 x(0,1)时，h x : 0，当 x( 1，+ ：)时，h x、0当 x (0,1)时，g x : 0，当 x( 1，+ ：)时，gx 0gx在0,1上为减函数，在1,：；心；上为增函数xln x1 + In x i 1 i由洛必达法则知limg(x) =2lim匚厂仁可回二2厂十仁外二卜仁。二k兰o，即k的取值范围为(-的，0规律总吉：对恒成立问题中的求参数取值范围，参数与变量分离较易理解，但有些题中的求分离出来的函数式的最值有点麻烦，利用洛必达法则可以较好的处理它的最值，是一种值得借鉴的方