任意角的三角函数的定义

1、5.2.1 任意角三角函数的定义【教学目标】1 .理解并掌握任意角三角函数的定义；熟记其在各象限的符号；掌握三角函数线的定义及画法.2 .通过教学，使学生进一步体会数形结合的思想.【教学重点】任意角三角函数的定义.教教学难点】单位圆及三角函数线.【教学方法】本节课主要采用启发引导与讲练结合的教学方法.在复习锐角三角函数定义的基础上，定义了任意角 的三角函数，讲练结合，使学生牢固掌握.然后引导学生根据三角函数定义和象限内的点坐标符号导出三 角函数在各象限的符号，接着把正弦值、余弦值、正切值转化为单位圆中的有向线段表示，使数与形密切 结合起来，以加强学生对三角函数定义的理解.【教学过程】环节教与夕

2、内容师生互动设计意图导入复习锐角三角面:数定义.师：初中时我们学过锐角三角函数，当时是怎样定义的以旧引新.新课1.任意角的三角函 已知是在P (x , y )是有 径/、同的同心圆的交 (r= Mx2+y2 , r ' 如图所示：数定义.E意角，P(x, y),1的终边与两个半占 八、=W 2+y'2 )问题1:当我们把锐角的概念推广为转角后，我们如何定义任意角的三角函数呢如左图所示，由相似三角形x对应边成比例得，r=x'yy'r' ， r'，y=y'xx'由于点P, P'在同一象限说明三角函数定义的理论根据. VXJX

3、J内，所以它们的坐标符号相同，Xx x新课当角不变时，对于角的终边上任思点P (x, y),不论点 P在角的终边上的位置如何，三个比值x , y , y始终等于定值.因此定义： r r x角的余弦cos= x ;r角的正弦sin= y ;r角的正切tan= y .x依照上述7E义，对于每,个确7E的角，都分别有唯一确定的余弦值、正弦值、正切值与之对应，所以这三个对应关系都是以角为自变量的函数，分别叫做角的余弦函数、正弦函数和正切函数.2.三角函数求值.根据三角函数定义，可得计算三角函数值的步骤：S1回角：在直角坐标系中，作转角等于a ；S2找点：在角a的终边上任找一点P,使 OP =1,并量出

4、该点的纵坐标和横坐标；S3求值：根据相应三角函数的定义，求该角的三角函数值.xx'yy'y因止匕，,一rr'rr'xy'x'"，所以三个比值x，；，孑只依 赖于的大小，与点P在终边上的位置无关.教师引领学生识记三角函数定义.依据函数定义说明角与三角函数值的对应关系.练习：在直角坐标系中，回出半 径为1的圆，求出30° , 38° , 128°等角的正弦、余弦和正切 的值.通过学生自己动 手测量，加深学生对 三角函数定义的理 解，并为学习单位圆 做铺垫.强调这几点为练习B组第1、2、3做铺垫.例1已知角终边上

5、一点 P(2 ,3),求角的三个三角函数值.解已知点P (2, 3),则r= OP =<22+ (- 3) 2 =诉，由三角函数的定义，得sin=y r_ -3=皿.13'：13cosx2_ 2,13 .一r一J313tan=y x3 -2，练习1 教材P138,练习A组第1、4、5题.通过练习1,熟练已知 角的终边上一点求三 角函数值的步骤.在例1中强调：(1 ) P为角a的终边上任意_* 14r .八、,(2)求三角函数值时用到的三个量x, v，r以及三者的关系;解由三角函数的定义可知，sin=y,角终边上点的纵坐标y的正、负与角的正弦值同号；cos=x &-,角终边

6、上点的横坐标x的正、负与角的余弦值同例2试确定三角函数在各象限的符号.由练习中的具体题目到例2的理论分 析，由特殊到一般加 深学生对三角函数符 号的理解.号；由tan = y ,则当x与y同 号时，正切值为正，当x与y异号时， 正切值为负.三角函数在各象限的符号如下图 所示：y|yfy"±一 + -±教师可通过教材P138练 习A组第1题中的练习让学生自 己总结出三角函数在各象限的 符号.根据三角函数的定义，及各象限内点的坐标的符号得出 三角函数在各象限的符号， 教师 总结口诀，帮助学生记忆：I全正，n正弦，出正切，IV余弦 .练习2也可以用计算器直O x O x

7、 O x + + 一sincos atan a接求出三角函数值，然后确定符号.练习2确定下列各三角函数值的符号：兀(1)sin( - ) ; (2)cos 130 ; (3)tan4兀3 ,例3使用函数型计算器，计算下列三 角函数值:学生理解正切线 难度较大，教师要详 细讲解各个象限内的 角的正切线的做法.,cos372,tan ( 86);(2)3兀，cos4，tan R - 6解略.3.单位圆与三角函数线.如图，以原点为圆心，半径为 1的师：在任意角三角函数的定义中，当角 的终边上一点 P(x, y)的坐标满足r = xf+yy2 =1时，三角函数的正弦、余弦会变成什么样呢看着图示，结合三

8、角函数定 义讲解正弦线、余弦线、正切线 |的由来.设角的终边与单位圆的交点为Rx, y),过点P作PM垂直于x轴，则 sin =y, cos =x,即 P(cos, sin ).cos=x=OM sin =y=MP于是我们把规定了方向的线段OM学生自己动手，熟悉正弦线，余弦线的画法.学生自己动手，熟悉当角在不同象限时正切线的画法.M吩别称作角的余弦线、正弦线.练习3 (1)在直角坐标系的单位圆兀2兀中，分别画出 w和一二一的正弦线、 33余弦线.设单位圆在点 A的切线与角的终边或其反向延长线相交于点T(T),则y ATtan =x =OA = AT(八, )，所以AT ( AT )称作角a的正切线.练习3 (2)在直角坐标系的单位圆中，分力1J回出 3和3的正切线.小结回忆本节课所学知识点：(1)任意角三角函数的定义(代数表 示).(2)任意角三角函数值的求法(两