2019高考数学热点题型专题02函数与导数理

1、函数与导数热点一利用导数研究函数的性质以含参数的函数为载体，结合具体函数与导数的几何意义，研究函数的性质，是高考的热点、重点本热点主要有三种考查方式：(1)讨论函数的单调性或求单调区间；(2)求函数的极值或最值；(3)利用函数的单调 性、极值、最值，求参数的范围 【例 1】设函数f(x) = (1 -x2)ex.(1) 讨论f(x)的单调性；当x0时，f(x)wax+ 1,求正实数a的取值范围.解(1 护=一 21 存十(1-巧声=1-加一巧戎令fx)=Q,得 护+2xl=0,解得一寸勒=迈一 1，令丁沁，则4 订,令贝肛筑一 -迈一 uuWi-1, +8).與 0 在区间(-8,-迪1),(

2、A/5-L,+8)上单调递猱 在区间(-血-1,迈-1)上单调递増一x(2)f(x) = (1 +x)(1 -x)e .当a1时，设函数h(x) = (1 -x)ex,h (x) = -xex0)，因此h(x)在0 ,+)上单调递减，又h(0)=1，故h(x)w1,所以f(x) = (x+ 1)h(x)wx+ 1wax+1.当 0a0(x0),所以g(x)在0,+s)上单调递增.又g(0) = 0，故 exx+ 1.X2当 0 x (1 -x)(1 +x),又(1 -x)(1 +x)2- (ax+ 1) =x(1 -a-x-x2), 5 4a 1取Xo=，则Xo (0 , 1),(1 -X0)

3、(1 +X。)-ax。一 1= 0,故f(X0)ax0+ 1.综上可知，正实数a的取值范围是1,+s).【类题通法】(1)判断函数的单调性，求函数的单调区间、极值等问题，最终归结到判断f(x)的符号问题上，而f(x)0 或f(x)在伶+8)上有解只需怡卜)，即討加0，得6 -g所以，当 Q制 5)在伶+8)上存在单调递増区间.1=-,/f (1) = 1+ 1 + 2a= 2a 0,f (4) = 16 + 4+ 2a= 2a 12v0，则必有一点XO 1 ,4，使得f(x。)=0，此时函数f(x)在1 ,xo上单调递增，在X0, 4上单调递减,1 1 1f(1) = 3+ 2+ 2a= 6+

4、 2a 0,热点二利用导数解决不等式问题导数在不等式中的应用问题是每年高考的必考内容，且以解答题的形式考查，难度较大，属中高档题 起来常见的命题角度有：(1)证明不等式；(2)求解不等式；(3)不等式恒(能)成立求参数_ _ 2【例 2】(满分 12 分)已知函数f(x) = Inx+ax+ (2a+ 1)x.(1)讨论f(x)的单调性;当a0 时，证明f(x)w 4 2.4a1 1亦+廿1|n x的变形，源于教材选修22 P32 习题 B1,是在教材基本框架ex1 +x与x 1 +a的取值范围;当 Ovav2 时，f(x)在1 , 4上的最小值为一16T，求f(x)在该区间上的最大值(2)已

5、知 Ovav2,f(x)在1 , 4上取到最小值一(x) = x2+x+ 2a的图象开口向下，且对称轴-f(4)=1X64+1x16+8a=40+8a= 32316a= 1.此时，由f(X。)= x0+X0+ 2 = 0?X。= 2 或一 1(舍去)，所以函数f(x)max=f10亍.归纳教材探源 本题第(2)问的实质是证明 In(1)若f(x)在+m上存在单调递增区间，求4Inx基础上，结合函数性质，编制的优美试题满分解答(1)解f(x)的定义域为(0,+),1(2ax+ 1)(x+ 1)f(x) =x+ 2ax+ 2a+ 1=x.1 分(得分点 1)z.z.若a0时，则当x (0，+)时，

6、f (x)0,故f(x)在(0,+)上单调递增，2 分(得分点 2)若a0 ；、，!， 2a上单调递增，在2a，+m上单调递减.5 分(得分点 3)证明 宙知，当 go 时 M 町在尸-孰 b 取得最犬值最犬值为+鲁+1W0, 8 分(得分点 4)设凰 X)=lz 工 r+1,则当工0 U 时，丁耳+8 时所以昶 0 在 O 1)上单调递増,在+8)上单调递减故当片 1 时或功取得最犬值最大值为型尸 43故f(x)w厂2.12 分(得分点 6)4a得分要点?得步骤分：抓住得分点的步骤，“步步为赢”，求得满分，如第(1)问中，求导正确，分类讨论；第(2)问中利用单调性求g(x)的最小值和不等式性

7、质的运用?得关键分：解题过程不可忽视关键点，有则给分，无则没分，如第13当x2a，+s时，f(x)0 时,g(x) 0,从而当a0 时,In1 1亦+2a+10,(1)问中，求出f(x)的定义域，f (x)5在(0 , +)上单调性的判断；第(2 )问，f(x)在x=J 处最值的判定，f(x)w厂一 2 等价转化为 In2a4a+J+ 1W0等.2a61第(2)问中，准确计算f(x)在x=处的最大值.2a【类题通法】禾 U 用导数研究函数问题的步骤第一步：求函数f(x)的导函数f(X)；第二步：分类讨论f(x)的单调性；第三步：利用单调性，求f(x)的最大值；第四步：根据要证的不等式的结构特点

8、，构造函数g(x)；第五步：求g(x)的最大值，得出要证的不等式；第六步：反思回顾，查看关键点、易错点和解题规范【对点训练】设函数f(x) = Inxx+ 1.(1)讨论函数f(x)的单调性；x一 1证明当x (1 ,+)时，11,证明当x (0 , 1)时，1 + (c 1)XCx.解 由用) =111工一工+得1.令f(x)-O,解得兀=L当(Xxl时，/(x)X),爪)单调递増.当Q1时，。用)单调递减.因此虫功在(0,)上是增函数，在(1,+8)上为减函数.证明 由知，函数f(x)在x= 1 处取得最大值f(1) = 0. 当XM1时，Inxx 1.故当x(1,+s)时，Inxx1,I

9、n -1,设g(x) = 1 + (c 1)xcx,x则g(x) =c 1 cInc.?得计算分：解题过程中计算准确是得满分的根本保证.如第(1)问中，求导f(X)准确，否则全盘皆输,即 1InIn令g(x) = 0，解得xoc 1IncInc7当x0 ,g(x)单调递增;8当xxo时，g (x)0,g(x)单调递减.由知代心，故咲又g(0) =g(i) = o,故当 ox0.当x(0 , 1)时，1 + (c l)xcx.【例 3】已知函数f(x) =x 1 alnx.(1) 若f(x) 0,求a的值；(2) 设m为整数，且对于任意正整数n， + 2 ,H +22 + 2nm求m的最小值.解

10、(S)的定义域为 +8),1若於0因为/Q-|+41II20,1 f1、1令x= 1 +尹得 In1+尹f 1、 f1) f 11 111从而 In i1 + In |1 + 2 + In |1 + 歹 2,23-21+寺=9当n3时，j1+ 2 i1+ p . 门 +2n(2，e),由于 X + p !：，1 +2).11 +png(a)对于xD恒成立，应求f(x)的最小值；若存在xD,使得f(x) g(a)成立，应求f(x)的最大值.在具体问题中究竟是求最大值还 是最小值，可以先联想“恒成立”是求最大值还是最小值，这样也就可以解决相应的“存在性”问题是求 最大值还是最小值特别需要关注等号是

11、否成立问题，以免细节出错a一12 xx【对点训练】已知函数f(x) =x- (a+ 1)lnx-x(a R 且ae) ,g(x) = px+ e -xe .2(1)当x 1 , e时，求f(x)的最小值；2当av1 时，若存在X1 e , e ，使得对任意的X2 2, 0 ,f(xvg(X2)恒成立，求a的取值范围(Y 1 )( Y解a用)的定义域为asg、r何二若aWl,当司时，f则用)在1创上为增函数用)还=用)=i-疋当圧山町时，/a)wo,用)为减函数； 当xEa,对时，/0,用)为増函数. 所以用l)luo - 1-综上当aWl时，兀C)iniiL=l-垃；当时1)1HG-I52由题

12、意知：f(x)(xe, e)的最小值小于g(x)(x 2, 0)的最小值. 由(1)知f(x)在e , e2上单调递增,axf(x)min=f(e) = e (a+ 1),又g ( x) = (1 e )x.e当x 2, 0时，g (x)w0,g(x)为减函数，则g(x)min=g(0) = 1,102所以 e (a+ 1) a匚竽ee+ 1；e2 2e所以a的取值范围为eri，i .热点三导数与函数的零点问题导数与函数方程交汇是近年命题的热点，常转化为研究函数图象的交点问题，研究函数的极 求解时应注重等价转化与数形结合思想的应用，其主要考查方式有：(1)确定函数的零点、由函数的零点、图象交点

13、的情况求参数的取值范围2xx【例 4】已知函数f(x) =ae + (a 2)e x.(1) 讨论f(x)的单调性；(2) 若f(x)有两个零点，求a的取值范围解 (1)由于f(x) =ae2x+ (a 2)exx,故f(x) = 2ae2x+ (a 2)ex 1 = (aex 1)(2ex+ 1),xx1当aw0时，ae 10.从而f(x)0 时，令f(x) = 0,得x= Ina.当x变化时，f (x) ,f(x)的变化情况如下表：x(g,Ina)Ina(Ina,+g)f(X)一0+f(x)、J极小值J综上，当a0 时，f(x)在(一g,Ina)上单调递减;在(In a,+m)上单调递增.

14、(最)值的正负,图象交点的个数；11(2)( i )若口 W0,由灿 金)至多有一个零点(H)若炉山由紙 当尸一认时，他取得最小值,最小倩为 Jt-hia)=l-+1当症=1 时，由于貞如反)=0,故”敗)只有一个零点2当应(1, +8)3 寸，由于 l-+lndt0?PPX-lna)0?故兀没有零点；13当a (0，1)时，1一 + Ina0，即f( Ina) 2e + 20,故f(x)在(g,Ina)有一个零点.设正整数no满足noln3 1 ,则f(no) = eno(aeno+a 2) noenono2nonoO.因此f(x)在(一 Ina,+g)有一个零点综上，a的取值范围为(o ,

15、 1).【类题通法】用导数研究函数的零点，一是用导数判断函数的单调性，借助零点存在性定理判断；二是将 零点问题转化为函数图象的交点问题，结合函数的极值利用数形结合来解决【对点训练】已知函数f(x) = 2a2lnxx2(ao).(1)当a= 1 时，求曲线y=f(x)在点(1 ,f(1)处的切线方程;(2)求函数f(x)的单调区间；讨论函数f(x)在区间(1 , e2)上零点的个数(e 为自然对数的底数).解 当口=1时，典c)=21nx-妙2:f(x)=-2x, :/ (1)=0二曲线尸用)在点夬功处的切维方程为V+ 1=0.2 2 222a门 2a 2x 2 (xa)(x+a)xx，f(x) = 2x=-xxx/xo,ao,.当 oxo，当xa时，f (x)o. f (x)在(o ,a)上是增函数，在(a,+g)上是减函数.2(3)由(2)得f(x)max=f(a) =a(2Ina 1).讨论函数f(x)的零点情况如下：1当a2(2Ina 1)o，即即 oa , e 时，函数f(x)无零点，在(1 , e2)上无零点；2当a2(2Ina 1) = o,即卩a= .e 时，函数f(x)在(o，+g)内有唯一零点a,而 1a= .e Ina,2(2) f(x) = 2aIn13个零点；3当a2(2Ina 1)o ,即即a e 时，_222242422由于f