高中数学 第四章 两角和与差的正弦 余弦 正切（7）教案

1、两角和与差的正弦、余弦、正切（7）教学目的：引导学生综合运用复角的正弦、余弦公式教学重点：复角公式的运用和技能的提高教学难点：灵活应用和、差角公式进行化简、求值、证明 授课类型：新授课课时安排：1课时教 具：多媒体、实物投影仪教学过程：一、复习引入：1两角和与差的正、余弦公式 2推导公式：由于sin2cos21(1)若令sin，则cosasinbcos（sinsincoscos）cos（）或cos（）(2)若令cos，则sinsinbcos（sincoscossin）sin（）例如：2sincos若令cos，则sin2sincos（sincoscossin）sin（）若令sin，则cos2si

2、ncos（coscossinsin）cos（）或cos（）看来，sinbcos均可化为某一个角的三角函数形式，且有两种形式二、讲解范例：例1（辅助角）函数的最小值 解： 例2（角变换）已知 解：例3（公式逆用）计算：(1 +)tan15°- 解：原式= (tan45°+ tan60°)tan15°-=tan105°(1-tan45°tan60°)tan15° -= (1 -) tan105° tan15° -= (1 -)×(- 1)-= - 1例4（角变换）已知sin(45°

3、; - a) = ，且45° < a < 90°，求sina 解：45° < a < 90° -45° < 45°-a < 0° cos(45°-a) = cos2a = sin(90°-2a) = sin2(45°-a) = 2sin(45°-a)cos(45°-a) =即 1 - sin2a = ， 解之得：sina = 例5已知q是三角形中的一个最小的内角， 且，求a的取值范围解：原式变形：即，显然 （若，则 0 = 2） 又，即 解

4、之得：例6试求函数的最大值和最小值若呢？解：1设则 2若，则， 即例7 已知tana = 3tan(a + b)，求sin(2a + b)的值解：由题设： 即sina cos(a + b) = 3sin(a + b)cosa即sin(a + b) cosa + cos(a + b)sina = 2sina cos(a + b) - 2cosasin(a + b)sin(2a + b) = -2sinb 又 sinb sin(2a + b) = -1三、课堂练习：1 已知 、均为锐角，求的值 分析：由于，由已知两式一时得不到与的值，而只能出现与一类的值，例如+ ,得，化简、整理得由此要求的值，固

5、然有路可循，但是还要进一步定出的值的符号才行 已知求的值 提示： 已知求证 分析：比较已知与求证部分，必然要做如下变换为宜： 解：，而，注意到，得四、小结 常用技巧：1°化弦 2°化“1” 3°正切的和、积 4°角变换 5°“升幂”与“降次” 6°辅助角五、课后作业：1求证：2利用和(差)角公式化简：1证明(1) 证法一：左边sincoscossinsin（）右边证法二：右边sincoscossinsincos左边(2)cossinsin（）证法一：左边（cossin）（sincoscossin）sin（）右边证法二：右边（sinco

6、scossin）（sincos）cossin左边(3) （sinx+cosx）=2cos (x-)证法一：左边（sinxcosx）2（sinxcosx）2（cosxcossinxsin）2cos（x）右边证法二：右边2cos（x）2（cosxcossinxsin）2（cosxsinx）（cosxsinx）左边2解：(1) sinxcosxsinxcoscosxsinsin（x）或：原式sinxsincosxcoscos（x）(2)3sinx3cosx6（sinxcosx）6（sinxcoscosxsin）6sin（x）或：原式6（sinsinxcoscosx）6cos（x）(3) sinxcosx2（sinxcosx）2sin（x）2cos（x）(4) sin（x）cos（x）sin（