2019年高考数学(文)热点题型和提分秘籍：专题27二元一次不等式(组)与简单的线性规划问题(解析版)

1、2017年高考数学（文）热点题型和提分秘籍 专题27二元一次不等式（组）与简单的线性规划问题 1.会从实际情境中抽象出二元一次不等式组。 2了解二元一次不等式的几何意义，能用平面区域表示二元一次不等式组。 3会从实际情境中抽象出一些简单的二元线性规划问题，并能加以解决。 热点題型】 热点题型一 二元一次不等式（组）表示平面区域 1 1 $+ y3 一 例 1、 （1）在平面直角坐标系 xOy 中，不等式组 表示图形的面积等于（） 1 0 表示的平面区域为 D，若直线 y= kx+ 1 将区域 D 分成 3x y 3 所以良召的中点坐标为!亍$代入直线方 程y 1得，=2不+ 1,解得j 【提分

2、秘籍】 平面区域面积问题的解题思路 (1)求平面区域的面积： 首先画出不等式组表示的平面区域， 若不能直接画出，应利用题目的已知条件转化为不 等式组问题，从而再作出平面区域； 对平面区域进行分析，若为三角形应确定底与高，若为规则的四边形 (如平行四边形或 梯形)，可利用面积公式直接求解。若为不规则四边形，可分割成几个三角形分别求解再求和 AB 的中点即可。 即可。 （2）利用几何意义求解的平面区域问题，也应作出平面图形，利用数形结合的方法去求解。 【举一反三】 1, 已知约束条件x+ y 4WQ 表示面积为 1 的直角三角形区域，则实数 k 的值为（） 血一 y1 【解析】先作出不等式组 r

3、lx+ y0, 例 2、设 x, y 满足约束条件 ix y 1 0 A. 8 B. 7 C. 2 D. 1 【解析】作出约束条件表示的可行域如图中阴影部分所示，作直线 【提分秘籍】 利用可行域求线性目标函数最值的方法 首先利用约束条件作出可行域， 根据目标函数找到最优解时的点， 解得点的坐标代入求解 即可。 【举一反三】 r x+ y 电 设 x, y 满足约束条件* 且 z= x+ ay 的最小值为 7,贝U a =（） x-yw 1, A 5 B. 3 C. 5 或 3 D . 5 或3 r g-1 fx+v=a, x 2 J 【解析】联立方程“一: 解得彳 丄， 代入 中，解得尸3或5

4、,当尸 1y= I, 1 时，z=x+dfi的最大値是当虫=）时，尸X十暫的是人故选 【答案】B 热点题型三 线性目标函数的最优解问题 x+ y- 20 例 3. x, y 满足约束条件 fx 2y 20, 若 x, y 满足约束条件 x2 2, 且 z= kx+ y 取得最小值时的点有无数个， 则 k=() y0,则目标函数的斜率一 k0, 已知实数 x, y 满足约束条件*；4x+ 3y4 则 w=去严的最小值是（） A2 B . 2 C. 1 D. 1 【解析】（1）不等式组表示的平面区域如图中阴影部分所示，根据目标函数的几何意义可 知，目标函数在点 A（2,1）处取得最小值，故 2a

5、+ b= 2 5。y=2 例 4、 （1）已知 x, y 满足约束条x y1Q 当目标函数 z= ax+ by(a 0, b 0)在 作出不等式组对应的平面区域如图: fA 4x+3y=l 1?+ 1 . 的几何意义是区域内的点的几何意义是区域内的点呛小）呛小）到定点心到定点心b 之间的斜率，由图象可知当尹位于点认之间的斜率，由图象可知当尹位于点认 1/4 1 1 fl 时，直纟时，直纟“的斜率最卜此时的斜率最卜此时 = =的最小值为占的最小值为占 f f 故选故选D。 【提分秘籍】 利用可行域求非线性目标函数最值的方法 画出可行域，分析目标函数的几何意义是斜率问题还是距离问题，依据几何意义可

6、求得 最值。 4a2 + b2 4 且仅当 a = 2b，即卩 a = 一， b = 等号。所以 204J2+ b2+ a2+ 4 匕 2= 5(a2+ b2)，所以 a2 + 方法二：将 2a + b = 2 5 看作平面直角坐标系 aOb 中的直线，则 a2 + b2的几何意义是直线 上的点与坐标原点距离的平方，故其最小值为坐标原点到直线 2a+ b = 2 5 距离的平方，即 =4。 B 31 -1 -1 O XI 【举一反三】 7x 5y 23 0 已知丫 x+ 7y 11 0 7x 5y 23 0 【解析】不等式组x+ 7y 11 0 界）, 此时 z= x2 + y2= 42+ 1

7、2= 17, 7x 5y 23= 0, 由 4x+ y+ 10= 0, 得 B 点坐标(1 , 6), 此时 z= x2 + y2= ( 1)2+ ( 6)2= 37, x+ 7y 11 = 0, 由 得 C 点坐标(一 3,2), 4x+ y+ 10= 0, 此时 z= x2 + y2= ( 3)2 + 22= 13, x= 0, 而在原点处， ly=0, 此时 j=x2+i2=0; + 02=0J 所以当=一： 时*+护取得最大值37, ，则 x2+ y2的最大值为 _ ，最小值为 ABC 的内部（包括边 7x 5y 23= 0, 由 得 A 点坐标(4,1), + 7y 11 = 0,

8、当:时f取得最小值 热点题型五 线性规划的实际应用 例 5、某旅行社租用 A, B 两种型号的客车安排 900 名客人旅行，A, B 两种车辆的载客量 分别为 36 人和 60 人，租金分别为 1 600 元/辆和 2 400 元/辆，旅行社要求租车总数不超过 21 辆，且 B 型车不多于 A 型车 7 辆，则租金最少为() A . 31 200 元 B. 36 000 元 C. 36 800 元 D. 38 400 元 【解析】本题考查不等式的简单应用，线性规划中的最优解问题。设需 A 型车 x辆，B 型 车 y 辆，则 ry-x7, ry-x 900 3x+ 5y 75 I x, y N

9、+ x, y N +。 由目标函對由目标函對u=l伽伽+240叽叽 得尸得尸- -討討+ +窃，奇窃，奇5表示直线在丁轴上的截距，要匸最小，则直表示直线在丁轴上的截距，要匸最小，则直 线在丁轴上的截距最小，画出可行域线在丁轴上的截距最小，画出可行域( (如如 7 2 平移直线 I: y= 3x 到 10过点 A(5,12)时, Zmin = 5X1 600 + 2 400 12= 36 800.故选 C。 【提分秘籍】 求解线性规划应用题的注意点 (1)明确问题中的所有约束条件，并根据题意判断约束条件中是否能够取到等号。 注意结合实际问题的实际意义，判断所设未知数 x, y 的取值范围，特别注

10、意分析 x, y 是否是整数、非负数等。 (3)正确地写出目标函数，一般地，目标函数是等式的形式。 【举一反三】 某公司生产甲、乙两种桶装产品。已知生产甲产品 1 桶需耗 A 原料 1 千克、B 原料 2 千克； 生产乙产品1桶需耗A原料2千克， B原料1千克。 每桶甲产品的利润是 300元，每桶乙产品 的利润是 400 元。公司在生产这两种产品的计划中，要求每天消耗 克。通过合理安排生产计划， 从每天生产的甲、乙两种产品中，公司共可获得的最大利润是 （） A . 1 800 元 B . 2 400 元 C. 2 800 元 D . 3 100 元 x+2x+2）l20, 在在坐标平坐标平面内

11、画面内画出该不等式组出该不等式组表示的表示的平面区平面区域及直线域及直线300 x+W=Q?平移该平移该直线，直线，当平移到当平移到经过该经过该平面区平面区 域域内内的点屈件斗）的点屈件斗） 时时， 相应， 相应直线在直线在F轴上的轴上的截距达到最大截距达到最大此时此时z=300 x4-4（Xh取得最大值， 最大取得最大值， 最大值是值是z=300 x4 + 4004=2 800,即即该公司该公司可获得可获得的最大的最大利润是利润是2 800元。元。 城城宙题意可知，当斜率为宙题意可知，当斜率为1的两条直线分别过点盘和点的两条直线分别过点盘和点B时，两直线的曲蹑小，即时，两直线的曲蹑小，即 嗣

12、二窘嗣二窘+GTQ故选故选E.A、B 原料都不超过 12 千 2x+v=12 ri J 示】 1.【2019 高考浙江文数】若平面区域 x y -3_0, 2x-y-3_0,夹在两条斜率为 1 的平行直线之间, x-2y 3 _0 则这两条平行直线间的距离的最小值是（ B. 2 D. 5 【答案】B 【解折】画出不等【解折】画出不等式组的式组的平面区域如題平面区域如題所示，所示，由由 x x- -2y+3=02y+3=0 ，得，得曲曲，由，由 2x2x- -y y- -3=03=0 刊亠刊亠0 ,得得 7 12 2 x+2y=12 2.【2019 高考新课标 2 文数】若 x, y 满足约束条

13、件丿x + y 3兰0，贝V z = x-2y的最小 x-3_0 值为 _ 【答案】-5 亠丄亠丄y + 1 =0 a f = 1 fx-y+l = 0 fx = 3 、 【解析【解析】由】由 “门得彳门得彳 点点A(l,2),由由 : : n n 得得 , , 14),由由 x+-3 = 0 y y = = 2 2 x-3 0 (_ = 4 - 1疋一疋一3 = 0 fx- 3 +2nr= 0互相垂直，所以是直角三角昭互相垂直，所以是直角三角昭 2m2m+ 2+ 2 丁 化简得：（m，1）2 =4，解得m = -3,或m=1，检验知当 m = -3时，已知不等式组不能 表示一个三角形区域，故

14、舍去，所以 m=1;故选 B. 2x y 乞10 I y 2.【2019 高考四川，文 9】设实数 x, y 满足 X，2y乞14，则 xy 的最大值为（ ） x + y 启6 25 49 （A）一 （B）一 （C）12 （D）14 2 2 【答案】A 1.【2019 高考重庆，文 10】若不等式组 x y - 2 乞 0 x 2y -2 一 0 ,表示的平面区域为三角形，且其 x - y 2m _ 0 (A)-3 (B) 1 4 （C）3 (D)3 【解析】 如图, 3 = ABC，且其面积等于一, 3 易 知知 , , 点点2,Qk （l-耐耐+ +】+ +聃）聃） 【解析】画出可行域如图

15、 在血阮区域中结合图象可知当动点在线段AC上时xy取得最大 此时 2x+y=10 1 2x + y ： _25 xy= 2x*y） W 2 2 v J J 当且仅当厂厂尸5时取等号，对应点（匚引落在线段AC上， X 故最大值为2 6 x 2y2 3.3.【2019 高考广东，文 4】若变量x , y满足约束条件 x，y_O，则z=2x，3y的最 x =o,平移直线平移直线 S S 当直线当直线r：心艸过心艸过 5. 【2019 高考陕西，文 11】某企业生产甲乙两种产品均需用 A, B 两种原料，已知生产 1 点点A时时取最取最x+v-2=0 2j + 聲得聲得A （I,!）/ . . z=3

16、x+yz=3x+y的最大值的最大值为为 吨每种产品需原料及每天原料的可用限额表所示，如果生产 万元.4 万元，则该企业每天可获得最大利润为（ ） 甲 乙 原料限额 r人（吨） 3 1 2 12 B（吨 1 2 丄8 A. 12 万元 B. 16 万元 C. 17 万元 D. 18 万元 【答案】D 【解析】设该企业每天生产甲乙两种产品分别 x , y吨，则利润z=3x4y x _0,y _0 由题意可列3x + 2y兰12，其表示如图阴影部分区域： x+2y 兰8 当直线3x，4y-z=0过点A（2,3）时，z取得最大值z=3 2 4 3 = 18， 故答案选D。 x y 一 1 6.【201

17、9 高考湖南，文 4】若变量x, y满足约束条件 y-x1 ，则z = 2x-y的最小 X, 值为（ ） A、-1 B、0 C、1 D、2 【答案】A 【解【解析】析】 1 f 亠十 x+*=l 无=0 由由约束条约束条b-3Cl作出可宦或作出可宦或如图，由图如图，由图可知，可知，最最优优解为山联詔解为山联詔 ” - .（0=1）, y = l xl - 2 . . z=2xz=2x- -y y在在点应处点应处取得最小值为取得最小值为一一1.故选；故选；A.1 吨甲乙产品可获利润分别为 3 X y _ 0 7.【2019 高考福建，文 10】变量x, y满足约束条件 x-2y，2_0，若z=2

18、x-y的最 mx - y _ 0 大值为 2，则实数m等于( ) 【解祈】【解祈】将目标函数叢彫为将目标函数叢彫为y = 2y = 2x x- -z zt t当当z取最大值，则直言勒截取最大值，则直言勒截距距最小，最小，故当战故当战玉玉0时，不病足题时，不病足题 2 2护护 意意i当当梆梆A0时，时，画出可行域，如圉画出可行域，如圉所示，所示，其中班其中班一一一一- -) ). .显显然然0(04)不是最就解，故只能不是最就解，故只能 2m2m- -1 2m1 2m- -1 1 KH A A 班宀班宀咅咅2是最优響是最优響 代代入目标函数得入目标函数得- -严厂严厂2,解得解得=1,故选匚故选

19、匚 2m2m 1 2m 1 2m1 2m -1 x_y _0 i y 8.【2019 高考安徽，文 5】已知 x, y 满足约束条件 x，y-4乞0，贝 V -2x y的最 心心 大值是( ) (A) -1 ( B) -2 ( C) -5 ( D) 1 【答案】AA. -2 B. -1 C. 1 D. 2 【解析】根据题意作出约束条件确定的可行域，如下图: 令z - -2x y = y - -2x - z，可知在图中 A(1,1)处，z - -2x y取到最大值-1,故选 A. y _ x 乞 1 I y 9.【2019 高考山东，文 12】 若x, y满足约束条件 x y 2-2x zT2x

20、 + y4| + |6 x3y|ii0_3x_4y,y2_2x 由图可知当y _2_2x时，满足的是如图的 AB劣弧，则z=2 x-2y在点A(1,0)处取 得最大值5 ;当y ：2-2x时，满足的是如图的 AB优弧，则z = 10-3x-4y与该优弧相切时 z 10 取得最大值，故d =- =1，所以z=15，故该目标函数的最大值为 15. 5 x+ y - 2 0, 11. (2019 安徽卷)x, y 满足约束条件x 2y 2 0. 唯一，则实数 a 的值为() 1 1 A.2 或1 B - 2 或 2 C. 2 或 1 D . 2 或1 【答案】D 【解析】 方怯方怯一一* *画出可行

21、域，如團中阴影部画出可行域，如團中阴影部分分所示可知点所示可知点(0, 2), B2B2f f 0), C(C(- -2,2, -2)*则占则占=2, z zs s= = - -la,la,耘=加一2.2. 要使对应最大值的最优鮮有无数组要使对应最大值的最优鮮有无数组, , 只要 ZA = ZBZC或 ZA= ZCZB 或 ZB= ZCZA, 解得 a= 1 或 a= 2. 方法二：画出可行域，如图中阴影部分所示， z= y ax可变为 y = ax+乙令 l0： y= ax, 则由题意知 Io/ AB 或 Io/ AC,故 a= 1 或 a= 2. x+y2 0 12. （2019 北京卷）

22、若 x, y 满足 kx y + 2 0 y0 且 z = y x 的最小值为一 4,贝 U k 的值为（） 1 1 A . 2 B . 2 C.? D . 【答案】D 【解【解折】可行折】可行域如图所示，域如图所示，当当 E E 时时，知，知云云二二工无最工无最小值，当小值，当M时，时，目标目标函数线函数线过可行域内貝过可行域内貝点时点时 活活最最小值小值* *联立联立产产. .n n解解故跖即故跖即 扭一y+2=Qy+2=Q， K K / 疋 x y+ 1 WQ 13. （2019 福建卷）若变量 x, y 满足约束条件 x+ 2y 8WQ则 z= 3x+ y 的最小值为 iXQ, 把 z

23、= 3x+ y 变形为 y= 3x+ z,则当直线 y= 3x+ z 经过点（0, 1）时，z 最小，将点（0, 1） 代入 z= 3x + y,得 Zmin = 1,即 z= 3x+ y 的最小值为 1. （如图所【答案】1 ywx, 14. （2019 广东卷）若变量 x, y 满足约束条件 X+ y1且 z= 2x+ y 的最大值和最小值 1, 分别为 m 和 n,贝 U m n =() C. 7 D. 8 【答案】B 【解【解析】本题析】本题考查运用线性规划扣识求目标函数的最值考查运用线性规划扣识求目标函数的最值，注，注意利碱形结合思想求解意利碱形结合思想求解. .画出画出不等卿不等卿

24、 表示的表示的平面平面区域，区域，如團所示如團所示. . 当目标函数线经过点 A( 1, 1)时，z 取得最小值；当目标函数线经过点 B(2, 1)时， z 取得最大值.故 m= 3, n=3,所以 m n= 6. y* 15. (2019 湖南卷)若变量 x, y 满足约束条件$x+ y0 16. (2019 全国卷)设 x, y 满足约束条件 x+ 2y1 17. (2019 新课标全国卷I 不等式组 的解集记为 D，有下面四个命题: x 2yW4 pi： ?(x, y) D, x+ 2y 2, p2： ?(x, y) D, x+ 2y2 P3： ?(x, y) D, x+ 2y3, P4

25、： ?(x, y) D, x+ 2y 1. 其中的真命题是() A . P2, p3 B . pi, p2 C. pi , P4 D . pi, P3 【答案】B 【解析】不等式组表示的区域 D 如图中的阴影部分所示，设目标函数 z= x+ 2y,根据目 标函数的几何意义可知，目标函数在点 A(2, 1)处取得最小值，且 zmin = 2 2 = 0,即 x+ 2y 的取值范围是0，+ m),故命题 P1, P2为真，命题 P3, p4为假. 18. (2019 新课标全国卷n 设 x, y 满足约束条件 ix 3y+ 1 0 A. 10 B. 8 C. 3 D. 2 【答案】B 田田 b+$

26、=3. 可可得点盘得点盘的坐标的坐标为为1” 【解析】【解析】已务怀等式组表示的平面区域如图中的阴影部分所示已务怀等式组表示的平面区域如图中的阴影部分所示. .抿据目淞数的几何意抿据目淞数的几何意义义可知，目标可知，目标 函数在点函数在点越越5,乃处取乃处取得最犬值得最犬值故目标故目标函数的最犬值函数的最犬值12x5-2=8. x y 一 1W0 _ 19. (2019 山东卷)已知 x, y 满足约束条件当目标函数 z= ax+ by(a0, b 2x y 3 0, 0)在该约束条件下取到最小值 2 - 5 时，a2 + b2的最小值为() A. 5 B. 4 C. ,5 D. 2 【答案】

27、B 【解析】画出约束条件表示的可行域 (如图所示)显然，当目标函数 z= ax+ by 过点 A(2, 1)时，z 取得最小值，即 2= 2a + b，所以 25 2a= b,所以 a2 + b2= a2 + (2 5 2a)2= 5a2 8 5a + 20,构造函数 m(a)= 5a2 8 5a + 20( 5a0)，利用二次函数求最值，显然函 数 m(a) = 5a2 8 5a + 20 的最小值是4注型亜亡=4,即齐的最小值为4故选 B. 20. (2019 陕西卷)在直角坐标系 xOy 中，已知点 A(1 , 1), B(2, 3), C(3, 2),点 P(x, y)在厶 ABC 三

28、边围成的区域(含边界)上. (1)若 RA+ PB+ PC= 0，求 |OP|; 设0 21. (2019 天津卷)设变量 x, y 满足约束条件 依y 2l, 值为() A. 2 B. 3 C. 4 D. 5 【答案】B x+ y 2= 0, fx= 1, 【解析】画出可行域，如图所示解方程组 得 即点 A(1 , 1). Iy= 1, ly= 1, x+ 2y 4 0 22. （2019 浙江卷）当实数 x, y 满足 x y 1 Q 时，1ax+ y1 【解【解析】析】实数心实数心$ $满足的可行域如團中阴影部分所示周中卫满足的可行域如團中阴影部分所示周中卫0） l）,c（l, 当归当归

29、0时，归雋时，归雋 lx 2 -2m 2n, 所以 42 2m 2n，即即 2m+ n4 , 所以 m+ n2,即 m+ n 21 A 6 B 4 C. 3 D 2 【解析】作出【解析】作出的可彳施将的可彳施将娈形为娈形为y=肚十肚十3+1,作直作直维维y= 平移平移至点川亿埔至点川亿埔h S 最犬，将左=打）=3 代入$=肚+$-1 得$=灵 x + 2y0 4. 设 z= x+ y,其中实数 x, y 满足x y2 若使 z= ax + y 取得最大值的最优解有无数个, 3x+ yw 14 则实数 a 的取值集合是（） A . 3,0 B . 3 , 1 C. 0,1 D . 3,0,1

30、yA 1 【解析】作出不等式组 x y2 表示的区域如图所示。 3x+ y0 时，平行直线的倾斜角为锐角，从第一个图可看 出，a = 1 时，线段 AC 上的所有点都是最优解；当一 av 0 时，平行直线的倾斜角为钝角, 从第二个图可看出 ，当 a= 3 时，线段 BC 上的所有点都是最优解。故选 B。 【答案】B 6. 某运输公司有 12 名驾驶员和 19 名工人，有 8 辆载重量为 10 吨的甲型卡车和 7 辆载 重量为 6 吨的乙型卡车。某天需送往 A 地至少 72 吨的货物，派用的每辆车需满载且只运送一 次，派用的每辆甲型卡车需配 2 名工人，运送一次可得利润 450元；派用的每辆乙型

31、卡车需 配 1 名工人，运送一次可得利润 350 元。该公司合理计划当天派用两类卡车的车辆数，可得 最大利润 z=() A . 4 650 元 B . 4 700 元 C. 4 900 元 D . 5 000 元 【解析】设派用甲型卡车 x辆，乙型卡车 y 辆，则 V 2x + 19 ,目戯尸轻血+35哄 0 x8 0$1，已知在约束条件 y1，所以当 2 2 y = mx z= x + y 过 的交点 x+ y= 1 禽，話时取最大值，即 ml 2+ m： 2 = 2? m= 2 + V5 或 m= 2 31 8已知实数 x, y 满足 SxW2 1 则目标函数 z= x+ 4y+ 5的最大

32、值与最小值的和是 x+ 1 鼻+ y0 O O I I 9 .已知 x, y 满足约束条件 x+ y1则 x + 4y 的最小值是 _ 。 yQ 【解析】【解析】设工设工+4/=2(2X)= +y= 1,这个椭这个椭1与可行与可行域有公域有公共点，共点，只需它只需它与线段与线段x+y=x+y= l(0Si0 10.画出不等式组 x+ y0 表示的平面区域，并回答下列问题： x0表示直线 x y+ 5 = 0 上及其右下方的点的集合，x+ y0表 示直线 x+ y= 0 上及其右上方的点的集合， XW3表示直线 x= 3 上及其左方的点的集合。 厂1 【解析】作出 yW2 1 表示的可行域，如图。把 x+ y4 z= x+ 4y + 5