浅谈逆向思维在中学数学解题中的应用

1、浅谈逆向思维在中学数学解题中的应用姚俊芳，陈安宁（陇东学院 数学与统计学院 , 甘肃 庆阳 745000）摘要：在数学解题中，对一个数学问题思考不出来时，我们换一个角度去思考，从结论往回推，倒过来思考采取正难则反的思维策略，找到解决问题的捷径。中学课本中的逆用算，反证法，分析法等都涉及到思维的逆向性，只要我们多注意定理、公式的逆用，正难则反，往往可以使问题简化。关键词：逆向思维;数学解题;应用On the reverse thinking in mathematical problem solving of middle schoolYaojun Fang, Chen Anning(Mathe

2、matics and Statistics Longdong University,Qingyang 745000,Gansu,Chiina)Abstract:In mathematical problem solving, the thought of a math problem does not come out, we change a point of view and to push back from the conclusions, thinking to take is difficult to reverse the anti-thinking strategies to

3、find a shortcut to solve the problem. Secondary school textbooks used in the inverse calculation, contradiction, and so involves the analysis of reverse thinking, as long as we pay more attention to theory, inverse formulas are hard to the contrary, the problem can often be simplified.Keywords: Reve

4、rse Thinking; Mathematical problem solving; Mathematical problem solving 0 引言中学数学中存在很多的逆向关系，如因式分解和整式乘法在知识结构上互逆，求代数式的值和解方程互逆，几何中“性质定理”和“判定定理”互逆等等，我们在做题时注意数学中的逆向关系，平时多总结关于互逆关系的题目，抓住题目的本质。21<25本文通过例题体现逆向思维在数学解题中的应用，展现逆向思维在数学解题中的魅力，提高数学解题的能力。 1 逆向思维在定义中的应用在数学解题中，“定义法”是一种比较常见的方法，但我们经常忽视定义的逆用，只要重视定义的逆用

5、，进行逆向思维，就能使问题解答简捷。y=f 题1，设函数y=f(x)的反函数为(x)-11,且y=f(2x-1)的图像过点（2，1） ，则y=f(x)-1的图像必过1， （ ） 11A(2，1)B(1, 2)C(1,0)D(0,1)分析：根据函数和它的反函数的图像的特点，逆向考虑，先找出函数y=f(x)的图像所通1过的点，将函数 y=f(2x-1)的图像先向左平移 2，再将横坐标扩大为原来的两倍得到函数 y=f(x)的图像，这样y=f(x)过点（0，1），则故选C.2 逆向思维在反证法中的应用反证法就是假设结论的反面成立，从而导出与假设，定义，公理相矛盾的结论，从而推翻题设，肯定结论的证明方法

6、。反证法证明一个命题的步骤是：（1）假设原命题的结论成立;（2）根据假设进行推理，结果出现下列的情况，与已知条件矛盾或定理等矛盾等; y=f(x)-1的图像必过点（1，0），1p-或p132p3或2p3或p32 （3）原来的假设“结论不成立”是错误的，从而肯定原命题的结论是正确的。2反证法能更好地解决从正面不好解决的问题。题2，证明圆的两条不是直径的相交弦不能互相平分。正面我们很难入手，我们采用反证法证明。假设圆的两条不是直径的相交弦可以互相平分。O中，AB与弦CD相交于点P，且AP=BP,CP=DP,连结OP.AP=BP,OPAB(平分弦的直径垂直于弦)同理CP=DP,OP=CD.这样，过点

7、P就有AB与CD两条不同的直线与OP垂直这点“过一点有且只有一条直线与已知直线垂直”的定理相矛盾，所以，假设错误，因此，原命题成立！即圆的两条不是直径的相交弦不能互相平分。3 逆向思维在分析法中的应用分析法就是分析命题成立的充分条件，把命题转化为判定这些充分条件是否具备的问题，如果能够肯定这些条件都已具备，那么就可以断定原不等式成立。题3<我们可以用分析法去证明。证明：因为22 只需证明）(,展开得10+20即<10<521<2522因为21<25成立.，所以）(,成立即证明了<解析：证明某些含有根式的不等式时，用综合法比较困难，例如，在题3中，我们很难想到

8、从“21<25”入手，因此，分析法是解决数学问题的一种有效捷径。4逆向思维在公式中的应用有些数学问题中，除了熟练掌握公式的顺用外，还应学会公式的变形逆用，这样可以使问题的运算量减少。aaa2n-1n-nf(x)=2(a-a)=n.2a-1aa-1 题5，已知a242n-2(1+a+a+a)n aa>n a=an-1=nn-1=1a即原不等式成立。5，逆向思维在排除法中的应用在有些数学问题中，正面复杂，反面简单，只要逆向分析，进行排除，就能使问题得到简捷的解答，同时这也是借有些选择题的有效捷径解法。22f(x)=4x-2(p-2)x-2p-p+1在区间-1,1内至少有一个点C,，使题5，若二次函数f(C)>0，求实数P的取值范围。分析：此题从反面分析，采取补集法则比较简单。如果在-1,1内没有点满足f(C)>01p-或p132p3或f(-1)023p3或p3-3<p<f(1)022, 则取补集为即为满足条件的p的取值范围。6，结语综上所述：在数学解题中，根据问题的特点，在应用正向思维的同时，注意逆向思维的应用，总结应用逆向思维的题目，经常性地注意这方面的训练，对我们题高数学解题能力有很大的作用。参考文献1孙双进，杜英丽，走向高考数学M,北京：人民教育出版社，2004.11