数字信号处理第四章附加习题及答案-new

1、第四章附加题1. 请推导出三阶巴特沃思低通滤波器的系统函数，设c =1rad /s 。 解：幅度平方函数是：A 2( =H (j =211+611-s 6令： 2=-s 2 , 则有：H a (s H a (-s =各极点满足s k =e12k -1j +26k =1,2 6所得出的6个 s k 为：1s 1=e =-+j24j 1s 3=e 3=-j2j 23322s 2=e j =-1s 4=ej 5313=-j 22=13+j 22s 5=e =11s 1=e =-+j24j 1s 3=e 3=-j2j 23j 0s 6=ej 1322s 2=e j =-1s 4=ej 53131=-j

2、 2213=+j 22s 5=e =1H a (s =j 0s 6=ej k 0k 0=3(s -s 1(s -s 2(s -s 3 s +2s 2+2s +1代入s=0时, ,H a (s =1可得k 0=1, 故:H a (s =1s 3+2s 2+2s +12. 设计一个满足下列指标的模拟Butterworth 低通滤波器，要求通带的截止频率f p =6kHz , ，通带最大衰减A p =3dB , ，阻带截止频率f s =12kHz , ，阻带的最小衰减A s =25dB ，求出滤波器的系统函数。解： s =2f s , p =2f p100.1A s -1lg p10-1=4.15

3、N s2lg(p取N=5，查表得H(p为：H (p =1(p 2+0.618p +1(p 2+1.618p +1(p +1因为A p =3dB , 所以c =pH (s =H (p =s c5p =c2222s +0.618s -s +1.618s -c c c c s +c3. 设计一个模拟切比雪夫低通滤波器，要求通带的截止频率 f p =3kHz，通带衰减要不大于0.2dB ，阻带截止频率 f s = 12kHz，阻带衰减不小于 50dB 。 解：p =2f p =6000s =2f s =24000切比雪夫滤波器的参数 为： =0.2171滤波器阶数 N 为：-1ch N =3.8659

4、，取整数 N 4。 -1ch s /p 归一化的传输函数 H(p为： H (p =1N=11.7368(p -p k k =142(N -1 (p -p k k =1其中2k +12k +12N - 1p k =-sh 2sin +jch cos 2 2N ， k =0, 1, 2N 2=1-11sh =0.5580 N 以上也可以通过查表获得。 实际的传输函数H(s 为：H (s =H (p p =sP7.26871016=2(s +16731s +4.779108(s 2+40394s +4.7791084. 数字滤波器经常以下图描述的方式来处理带限模拟信号。在理想情况下，模数变换器把模拟

5、信号取样，产生序列x (n =x a (nT ，而数模变换器又将取样y (n 变成限带波形y a (t =n =-y (n sin (t -nT t -nT 整个系统等效于一个线性时不变模拟系统。 (1如果系统h (n 的截止频率是8rad s ，=10kHz ，等效模拟滤波器的截止频率是多少？(2x a (t 设=20kHz ，重复(1。模-数变换器(周期T x (n h ny (n 数-模变换器(周期T y a (t 解： (1 根据题意，当8时，H (e j =0，所以Y (e j =X (e j H (e j =0在模数变换器中Y (e j =1j X a T T 所以c =对应于模拟

6、滤波器的截止频率为8=c T8T110000f c =c =625216T 16Tc =c=1截止频率为625Hz 。 (2 根据题意，当c =，=20kHz 时，模拟滤波器的截止频率为 81c =c =T 8T120000f c =c =1250216T 16截止频率为1250Hz 。5. 一个线性时不变因果系统由下列差分方程描述y (n =x (n -x (n -1-0.5y (n -1(1 系统函数H (Z ，判断系统属于FIR 和IIR 中的哪一类以及它的滤波特性。 (2 若输入x (n =2cos (0.5n +5 (n 0，求系统稳态输出的最大幅值。 解: (1 根据题意，方程两边

7、求Z 变换得Y (Z =X (Z -Z -1X (Z -0.5Z -1Y (Z Y (Z 1-Z -1H (Z =-1X Z 1+0.5Z1-Z -1因为从H (Z =看到，它既有零点，也有极点，所以它是IIR （FIR 只-11+0.5Z有零点）。1-e -j H (e = -j 1+0.5ej 可由上式画出方程的幅频特性H (e j ，判断得这是一个高通滤波器（或者根据公式计算=0，=2，=三点时的H (e j 基本就可以判断滤波特性了）。(2 根据题意，x (n =2cos (0.5n +5 (n 0，所以=H (e2时输出幅值最大。j =2=1-ej2j2=1+0.51-j 62=-j

8、1-0.5j 55H ( e j y ( =2=max=2=6. 设h a (t 表示一模拟滤波器的单位冲激响应，e -0.9t , t 0h a (t =0, t <0用冲激响应不变法，将此模拟滤波器转化成数字滤波器（h (n 表示单位取样响应，即h (n =Th a (nT ）。确定系统函数H (z ，并把T 作为参数，T 为任何值时，数字滤波器是稳定的，并说明数字滤波器近似为低通滤波器还是高通滤波器。解：模拟滤波器系统函数为H a (s =e -0.9t e -st dt =01s +0.9H a (s 的极点s 1=-0.9，数字滤波器系统函数应为H (z =T1T=1-e s

9、1T z -11-e -0.9T z -1H (z 的极点为z 1=e -0.9T ，z 1=e -0.9TT >0z 1<1，所以，对T =1和T =0.5，画出H (e j H (z 满足稳定条件。曲线如图1中实线和虚线所示。 图1由图可见，该数字滤波器近似为低通滤波器。且T 越小，滤波器频率混叠越小，滤波特性越好（即选择性越好）。反之，T 越大，极点z 1=e -0.9T 离单位圆越远，=附近衰减越小，而且频率混叠越严重，使数字滤波器频响特性不能模拟原模拟滤波器的频响特性。7. 用冲激响应不变法将以下（1） （2） 解 （1） 由变换为。，n 为任意正整数。, 抽样周期为T

10、。推出由冲激响应不变法可得：Th (n =Th a (nT =e -(a +jb nT +e -(a -jb nT u (n 2H (z =h (n z -n =n =0-aT-1T 11+-aT -jbT -1-aT jbT -121-e e z 1-e e z=T 1-e z cos(bT 1-2e -aT z -1cos(bT +e -2aT z -2，可得： （2） 先引用拉氏变换的结论按Z 变换a k u (k 可得 H (z =h (k z -kk =0Ae s 0t t n -1h a (t =u (k (n -1!1dX (z kx (k -z ，且1-az -1dzn -1T

11、 n -1n -1-1s 0T k AT n d 1=TA k (z e =(-z ( s 0T -1(n -1! k =1(n -1! dz 1-e z可以递推求得AT, n =1S 0T -11-e z H (z =n S 0T -1AT e z , n =2,3,.S 0T -1n(1-e z 8. 用冲激响应不变法设计一个离散时间低通滤波器，连续时间巴特沃斯滤波器的幅度平方函数为H a (j =滤波器的技术指标为211-(j /j c 2N1-p H (e j 1H (e j s0ps 假设没有混叠，问冲激响应不变法中所用的采样周期值对设计结果是否有影响，并说明理由。解：冲激响应不变法

12、是在<内由H a (j 到H (e j 的线性映射，该映射为H (e j =H a (j =T s若没有混叠，所需的滤波器阶数为lg N (1-p-2-1s -2-12lgp s其中p s=p s p。 =s s s很显然，所需的滤波器阶数与T s 无关。将巴特沃斯滤波器的系统函数进行部分分式展开，就有H a (s =极点s k 为A kk =1s -s kNs k =c ej(N +1+2k 2Nk =0,1, , N -1对于冲激响应不变法，离散时间滤波器的系统函数变成H (z =A ks k T s -1z k =11-eN这样H (z 的极点位于z =es k T s=ec T

13、s j(N +1+2k 2Nk =1,2, , N -1c =c T s 是低通滤波器在离散时间域的3dB 截止频率，由滤波器的技术指标确定，所以H (z 的极点也不受采样周期T s 的影响。综上，冲激响应不变法中所用的采样周期值对设计结果没有影响。9. 图示是由RC 组成的模拟滤波器，写出其传输函数H a (s ，并选用一种合适的转换方法，将H a (s 转化成数字滤波器H (z ，最后画出网络结构图。 题9图解：模拟RC 滤波网络的频率响应函数为H a (j =R 1R +j C=j 1j +RC显然，H a (j 具有高通特性，用脉冲响应不变法必然会产生严重的频率混叠失真。所以应选用双线

14、性变换法，将H a (j 中的j 用s 代替，可得到RC 滤波网络的系统函数用双线性变换法设计公式可得21-z -1-111-z -1H (z =H a (s 21-z -1=, -1s =21-z 1a +1-1T 1+z 1+z +-1a +1T 1+z RCa =T2RCH (z 的结构图如题8解图所示。 题9解图10. 试用双线性变换法设计一低通数字滤波器，并满足技术指标如下： (1 通带和阻带都是频率的单调下降函数，而且没有起伏； (2 频率在0.5处的衰减为-3.01dB ； (3 频率在0.75处的衰减至少为15dB 。解： 根据题意，显然要先设计一个原型巴特沃什低通滤波器。 (

15、1 利用T =1对技术要求频率先进行反畸变： 因为 p =0.5 所以 p =2tan p =2tan (0.25=2.000 T 2因为 s =0.75 所以 s =2tan s =2tan (0.375=4.828 T 2(2 根据s ，p 处的技术要求设计模拟低通滤波器： 满足条件：020lg H a (j 23.01dB =k 120lg H a (j 408.8-15dB =k 2用式(4-3求巴特沃什低通滤波器阶次N ：N lg 10-110-1(2lg 4.828=1.941所以选N =2。用式(4-4求滤波器的截止频率cc =2.000(100.301-1=2再查表可求得模拟滤

16、波器的系数函数为H a ( s =s 2(3 利用双线性变换公式将求得的H a (s 变换成H (Z (T =1。-1-2Y (Z 1+2Z +Z=H (Z =H a (s s 21-Z -1=-2X Z 3.414+0.586Z 1+Z (4 用差分方程实现低通滤波器-2-1-2Y (Z 3.414+0.586Z =X Z 1+2Z +Z (所以y (n =0.293x (n +2x (n -1+x (n -2-0.172y (n -211. 设计一个数字滤波器，要求3dB 截止频率为0. 2，频率在0. 5到之间的阻带衰减至少为15dB ，系统取样频率为500Hz ，用双线性变换法设计满足

17、指标的最低阶巴特沃思滤波器的传递函数，并用正准型结构实现。 解： p =0. 2 s =0. 5 p =2stg =999rad /s T 22pt =32r 5a d /s T 2s =p =G (p =s=3 查表得N 2。 p121+1. 414p +p=11=s s 21+4. 3510-3s +9. 4710-6s 21+1. 414( +(p pG (s =G (p p =spH (z =G (s s =21-z -1T 1+z -10. 0679+0. 1359z -1+0. 0679z -2=-1-21-1. 1508z +0. 4226z0. 0679 x(ny(n12. 设

18、计一个数字低通滤波器，要求其截止频率 f c = 50Hz，在 fc 处的衰减为系统的取样频率为 c = 3dB。解：DF 的截止角频率 p ：500Hz ，要求从二阶 Bauterworth 模拟低通滤波器中用双线性变换法导出数字滤波器的 H(z。p =T =2f p T =22f p =50=0. 2 rad f s 500p =2p 0. 2tg =2500tg =325(rad /s T 22二阶巴特沃思低通AF 的归一化的系统函数G(p为：1sG (p = p =2p 1+2p +p而p = s/p 为归一化频率对应的拉普拉斯变量。11=所以：G (s = 2-3-621+4. 35

19、10s +9. 4710s s s + 1+2 p p 所求的DF 的系统函数：H (z =G (s |21-z s =T 1+z -1-1=1|21-z -1-3-621+4. 3510s +9. 4710s s =T 1+z -1-1-2=0. 067+90. 135z 9+0. 067z 9-1-21-1. 150z 8+0. 422z 613. 冲激响应不变法和双线性变换法是两种滤波器设计方法。这两种方法将s 左半平面的极点映射到z 平面单位圆内部，从而保持模拟滤波器的稳定性。如果一个模拟滤波器的所有极点和零点都在s 左半平面内，那么这个滤波器具有最小相位。（1）确定冲激响应不变法是否

20、可以将最小相位模拟滤波器映射为最小相位离散时间系统。（2）对于双线性变换法重复（1）。解：（1）对于脉冲响应不变法，一个模拟滤波器的系统函数为H a (s =将映射为数字滤波器的系统函数H (z =A kk =1s -s kpA ks k T s -11-e z k =1p将该系统函数重写为多项式的比，这样H (z 的零点位置将取决于H a (s 的极点和零点位置，无法保证零点位于单位圆内。（2）双线性变换s 平面和z 平面之间的映射关系定义为：1+(T s 2s kz =1-T s 2s k所以，在s =s k 处的极点或零点就变成零点或极点。如果H a (s 是最小相位，H a (s 的极

21、点和零点都在s 左半平面，换句话说，如果H a (s 在s =s k 有一个零点或极点，其中s k =k +j k ，k <0。那么z k =2+(T s /2s k -(T s /2s k2222+(s k k =<1 22(2s -k +k2这样，s 左半平面的极点或零点将映射为z 平面单位圆内的极点或零点（即H (z 是最小相位）。14. 阶数N 2时，连续时间滤波器H a (s 的系统函数可以用两个低阶系统的级联来表示H a (s =H a 1(s H a 2(s 所以，一个数字滤波器可以通过将变换直接应用到H a (s 来设计，也可以通过分别将H a 1(s 、H a 2

22、(s 变换为H 1(z 、H 2(z 来设计，然后以级联方式实现H (z =H 1(z H 2(z （1） 如果H 1(z 、H 2(z 用冲激响应不变法由H a 1(s 、H a 2(s 设计，与用冲激响应不变法由H a (s 直接设计的滤波器H (z ，式H (z =H 1(z H 2(z 是否成立。（2） 对双线性变换法重复（1）。解：（1）由于采样，用冲激响应不变法设计数字滤波器时会发生混叠。采样和卷积的运算不能交换，所以用冲激响应不变法由H a (s 直接设计的滤波器与H 1(z 、H 2(z 用冲激响应不变法由H a 1(s 、H a 2(s 分别设计出来的两个滤波器的级联不同。也

23、就是说，如果h a (t =h a 1(t *h a 2(t 那么h (n h 1(n *h 2(n 其中h (n =h a (nT s , h 1(n =h a 1(nT s , h 2(n =h a 1(nT s 。 （2）对于双线性变换法，(T s =21-z -11-z -11-z -1H (z =H a =H a 1 H a 2 =H 1(z H 2(z -1-1-11+z 1+z 1+z 这两种设计结果相同。15. 假设某模拟滤波器H a (s 是一个低通滤波器，又知H (z =H a (s 滤波器H (z 的通带中心位于下面哪种情况？并说明原因。（1） =0（低通）。（2） =（

24、高通）。（3） 除0或以外的某一频率（带通）。解：方法1 按题意可写出z +1z -1s =，数字H (z =H a (s j s =z +1z -1故 s =j =z +1z -1z =e j c o e +1=j cot =j =je -12sin 2即 =c o2原模拟低通滤波器以=0为通带中心，由上式可知，=0时，对应于。 =，故答案为（2）方法2 找出对应于=0的数字频率的对应值即可。令z =1，对应于e j =1，应有=0，则H (1=H a (s 不是模拟低通滤波器；令z =-1，对应e j =-1，应有=，则H (-1=H a (0，即=0对应=，将模拟低通中心频率=0映射到=

25、处，所以答案为（2）。方法3 直接根据双线性变换法设计公式及模拟域低通到高通频率变换公式求解。双线性变换设计公式为s =z +1z -1=H a (对应的H (z =H a (s 21-z -12z -1s =T 1+z T z +1z -1当T =2时，H (z =H a ，这时，如果H a (s 为低通，则H (z 亦为低z +1通。如果将H a (s 变换为高通滤波器1H a h (s =H a s 则可将H a h (s 用双线性变换法变成数字高通H h (z =H a h (s s =z -1z +11=H a s s =z -1z +1z +1=H a z -1z +1这正是题中所

26、给变换关系，所以数字滤波器H a 通带中心位于=，z -1故答案（2）正确。16. 设计一个数字巴特沃斯高通滤波器，要求其通带截止频率p =0.8rad ，通带衰减不大于3dB ，阻带截止频率s =0.5rad ，阻带衰减不小于18dB ，采样间隔为2s 。 解：（1） 确定数字高通滤波器技术指标p =0.8rad , s =0.5rad ,p =3dB s =18dB（2） 确定相应模拟高通滤波器技术指标。由于设计的是高通数字滤波器，所以应选用双线性变换法，所以进行预畸变校正求模拟高通边界频率p 2tan =tan 0.4=3.0777rad /s , p =3dB T 22s =tan s

27、 =tan 0.25=1rad /s , s =18dBT 2p =（3）将高通滤波器指标转换成模拟低通指标。（因为p =3dB ，所以） c =p 。p =c=1, pp =3dBs =c =3.0777,s（4）设计归一化低通G (p s =18dB=1.84, 取N =2 N =lg sp查表得归一化低通G (p 为G ( p =（5） 频率变换，求模拟高通H a (s H a (s =G ( p 2s 2=2 s +4.3515s +9.4679p =cs（6） 用双线性变换法将H a (s 转换成H (z H (z =H a (s s =1-z -11+z 1-2z -1+z -2=

28、-1-214.8194+16.9358z +14.8194z17. 证明u =-z （旋转变换）是一个低通高通的稳定变换。 证明：u =-z =ze j ，u =e j 是单位圆，z =e j 亦为单位圆。所以u =e j =ze j =e j (+ ，即=+。当=0时，=；=-时，=0，是低通高通的转换。令u =，z =r ，则u =e j =-z =re j (+ ，即u =。当u =1时，z =r =1；u =<1时，z =r <1；u =>1时，u =r >1，是稳定的转换。所以u =-z 是一个低通高通的稳定转换，如图所示。18. 把模拟低通滤波器传递函数中的

29、s 用1/s代替，就得到模拟高通滤波器。即若G a (s 是低通滤波器的传递函数，H a (s 是高通滤波器的传递函数，则z -1从模拟z +1滤波器映射得到。（为方便起见，设T =2）在这种映射下，虽然频率刻度有了畸变，但保留了幅度特性的特征。下图的网格表示一个截止频率为H a (s =G a (1/s 。另外，数字滤波器还可以借助双线性变换s =L =/2的低通滤波器。常数A 、B 、C 、D 都是实数。试问为了得到截止频率为H =/2的高通滤波器，应如何修改这些系数？ 图11-z -1解：方法1 模拟低通滤波器通过s =变为数字低通滤波器，即 -11+z1-z -1G (z =G a s

30、 =1+z -1模拟低通滤波器转移函数的s 用1/s代替，得到模拟高通滤波器。1-z -11-z -1H a (s =G a (1/s G (z =H a 1/s =1+z -1=G a s =1+z -1比较G (z 与H (z 的关系，只要将数字低通的z -1变为-z -1，就可得到数字高通。低通数字滤波器的转移函数1+2z -1+z -21+2z -1+z -2G (z = -1-2-1-21-Az -Bz 1-Cz -Dz采用上述变换后，截止频率为H =/2的高通滤波器的系统函数为1-2z -1+z -21-2z -1+z -2H (z =1+Az -1-Bz -21+Cz -1-Dz -2因此，只要将图中的系数A 改为-A ，C 改为-C ，2改为-2，其他不变，就可得到截止频率为H =/2的高通滤波器。其网络流图如下图2所示。 图2方法2 模拟低通滤波器的转移函数的s 用1/s代替，即得到模拟高通滤波器。已知数字低通要变换为不同截止频率低通的变换关系为c -c sinZ -1-1G (Z =，其中= -1c +c 1-Zsin2数字低通的频响函数在频率轴上平移，或者说在单位圆上旋转，那么，将得到数字高通滤