专题质量评估（六）

1、专题质量评估(六)(时间:120分钟,满分:160分)一、填空题(本大题共14小题,每小题5分,共70分) 1.某校选修乒乓球课程的学生中,高一年级有30名,高二年级有40名,现用分层抽样的方法在这70名学生中抽取一个样本,已知在高一年级的学生中抽取了6名,则在高二年级的学生中应抽取的人数为 . 【解析】设样本容量为N,则N=14, 高二年级所抽人数为. 【答案】8 2.(2011江苏南京二模)用两种不同的颜色给图中三个矩形随机涂色,每个矩形只涂一种颜色,则相邻两个矩形涂不同颜色的概率是 . 【解析】依题意得,用两种不同的颜色给图中的三个矩形随机涂色总的方法数共有种,其中相邻两个矩形涂不同的颜

2、色的方法数共有种,因此所求的概率P=. 【答案】 3.从正六边形的6个顶点中随机选择4个顶点,则以它们作为顶点的四边形是矩形的概率等于 . 【解析】方法一:如图所示,从正六边形ABCDEF的6个顶点中随机选4个顶点,可以看作随机选2个顶点,剩下的4个顶点构成四边形,有A、B,A、C,A、D,A、E,A、F,B、C,B、D,B、E,B、F,C、D,C、E,C、F,D、E,D、F,E、F,共15种.若要构成矩形,只要选相对顶点即可,有A、D,B、E,C、F共3种,故其概率为. 方法二:如图所示,从正六边形ABCDEF的6个顶点中随机选4个顶点,共有C种)选法,其中能够构成矩形的有FECB、AFDC

3、、ABDE三种选法, 故其概率为. 【答案】 4.(2011陕西高考,理10改编)甲、乙两人一起去游”2011西安世园会”,他们约定,各自独立地从1到6号景点中任选4个进行游览,每个景点参观1小时,则最后一小时他们同在一个景点的概率是 . 【解析】最后一个景点甲有6种选法,乙有6种选法,共有36种,他们选择相同的景点有6种,所以. 【答案】 5.(2011广东高考,理6改编)甲、乙两队进行排球决赛,现在的情形是甲队只要再赢一局就获冠军,乙队需要再赢两局才能得冠军.若两队胜每局的概率相同,则甲队获得冠军的概率为 . 【解析】由甲、乙两队每局获胜的概率相同,知甲每局获胜的概率为甲要获得冠军有两种情

4、况:第一种情况是再打一局甲赢,甲获胜概率为;第二种情况是再打两局,第一局甲输,第二局甲赢.则其概率为.故甲获得冠军的概率为. 【答案】 6.四棱锥的8条棱分别代表8种不同的化工产品,有公共点的两条棱所代表的化工产品放在同一仓库中是危险的,没有公共点的两条棱所代表的化工产品放在同一仓库中是安全的,现打算用编号为、的4个仓库存放这8种化工产品,那么安全存放的不同方法种数为 . 【解析】如图所示,与每条侧棱异面的棱分别为2条. 例如侧棱SB与棱CD、AD异面.以四条侧棱为代表的化工产品分别放入四个仓库中,共A种存放方法. 从而安全存放的不同放法种数为2A48(种). 【答案】48 7.在一次歌手大奖

5、赛上,七位评委为某歌手打出的分数如下: 9.4 8.4 9.4 9.9 9.6 9.4 9.7 去掉一个最高分和一个最低分后,所剩数据的平均值和方差分别为 、 . 【解析】数据的平均值=9.5. 方差.4-9.4-9.(9.6-9.(9.4-9.7-9.0.016. 【答案】9.5 0.016 8.为了解某校高三学生的视力情况,随机地抽查了该校100名高三学生的视力数据,得到频率分布直方图如下图,由于不慎将部分数据丢失,但知道前4组的频数成等比数列,后6组的频数成等差数列,设最大频率为a,视力在4.6到5.0之间的学生数为b,则a、b的值分别为 . 【解析】前4组的频数成等比,由图知: 第1组

6、:1人;第2组:3人;第3组:9人;第4组:27人.a=0.27,后6组共87人. 设公差为x,故 162+15x=87. x=-5.b=27. 【答案】78 9.已知变量x,y的一组数据如下表: 则刻画y与x关系的线性回归方程是 . 【解析】根据线性回归方程 可得，所以=. 【答案】=10.在的展开式中,含的项的系数是 . 【解析】在的展开式中,含的项为CCCC系数为-121. 【答案】-121 11.(2011山东东营一模)用数字2,3组成四位数,且数字2,3至少都出现一次,这样的四位数共有 个.(用数字作答) 【解析】数字2,3至少都出现一次,包括以下情况: ”2”出现1次,”3”出现3

7、次,共可组成C个)四位数. ”2”出现2次,”3”出现2次,共可组成C个)四位数. ”2”出现3次,”3”出现1次,共可组成C个)四位数. 综上所述,共可组成14个这样的四位数. 【答案】14 12.(2011江西新余二模)如图,EFGH是以O为圆心、半径为1的圆的内接正方形.将一颗豆子随机地扔到该圆内,用A表示事件”豆子落在正方形EFGH内”,B表示事件”豆子落在扇形OHE(阴影部分)内”,则 (1)P(A)= ; (2)P(B|A)= . 【解析】(1)由题意可得,事件A发生的概率. (2)事件AB表示”豆子落在EOH内”, 则. 故P(B|. 【答案】 13.(2011上海高考,理9)马

8、老师从课本上抄录一个随机变量的概率分布列如下表: 请小牛同学计算的数学期望,尽管”!”处完全无法看清,且两个”?”处字迹模糊,但能断定这两个”?”处的数值相同.据此,小牛给出了正确答案 . 【解析】设则2a+b=1. 【答案】2 14.(2011浙江高考,理13)设二项式的展开式中的系数为A,常数项为B, 若B=4A,则a的值是 . 【解析】CC 所以时,r=2,所以时,r=4,所以 所以所以又a0,得a=2. 【答案】 2 二、解答题(本大题共6小题,共90分.解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 15.(本小题满分14分)书架的第1层放有4本不同的计算机书,第2层放有3本不同的文艺书

9、,第3层放有2本不同的体育书. (1)从书架上任取1本书,有多少种不同的取法? (2)从书架的第1,2,3层各取1本书,有多少种不同的取法?【解】(1)从书架上任取1本书,有3类办法:第1类办法是从第1层抽1本计算机书,有4种方法;第2类办法是从第2层抽1本文艺书,有3种方法;第3类办法是从第3层取1本体育书,有2种方法.根据分类计数原理,不同取法的种数是4+3+2=9(种).所以,从书架上任取1本书,有9种不同的取法. (2)从书架的第1,2,3层各取1本书,可以分成3个步骤完成:第1步从第1层取1本计算机书,有4种方法;第2步从第2层取1本文艺书,有3种方法;第3步从第3层取1本体育书,有

10、2种方法.根据分步计数原理,从书架的第1,2,3层各取1本书,不同取法的种数是种).所以,从书架的第1,2,3层各取1本书,有24种不同的取法. 16.(本小题满分14分)某工厂有工人1 000名,其中250名工人参加过短期培训(称为A类工人),另外750名工人参加过长期培训(称为B类工人),现用分层抽样方法(按A类、B类分二层)从该工厂的工人中共抽查100名工人,调查他们的生产能力(此处生产能力指一天加工的零件数). (1)求甲、乙两工人都被抽到的概率,其中甲为A类工人,乙为B类工人; (2)从A类工人中的抽查结果和从B类工人中的抽查结果分别如表1和表2所示. 请先确定x,y,再作出两类工人

11、抽查结果的频率分布直方图.就生产能力而言,A类工人中个体间的差异程度与B类工人中个体间的差异程度哪个更小?(不用计算,可通过观察直方图直接回答结论)分别估计A类工人和B类工人生产能力的平均数,并估计该工厂工人的生产能力的平均数(同一组中的数据用该组区间的中点值做代表). 【解】 (1)甲、乙被抽到的概率均为且事件”甲工人被抽到”与事件”乙工人被抽到”相互独立,故甲、乙两工人都被抽到的概率为. (2)由题意知A类工人中应抽查25名,B类工人中应抽查75名. 故由4+8+x+5=25,得x=5;由6+y+36+18=75,得y=15. 频率分布直方图分别如图所示. 从直方图可以判断:B类工人中个体

12、间的差异程度更小.145=123. 133.8.8=131.1.A类、B类以及全工厂工人生产能力的平均数的估计值分别为123,133.8和131.1. 17.(本小题满分14分)(2011江苏上饶二模)为了解甲、乙两厂的产品质量,采用分层抽样的方法从甲、乙两厂生产的产品中分别抽取14件和5件,测量产品中微量元素x,y的含量(单位:毫克).下表是乙厂的5件产品的测量数据: (1)已知甲厂生产的产品共有98件,求乙厂生产的产品数量; (2)当产品中的微量元素x,y满足且时,该产品为优等品.用上述样本数据估计乙厂生产的优等品的数量; (3)从乙厂抽出的上述5件产品中,随机抽取2件,求抽取的2件产品中

13、优等品数的分布列及其均值(即数学期望). 【解】(1)由分层抽样的定义可知乙厂生产的产品数量为件). (2)由题中表格提供的数据可知,乙厂抽取的5件产品中有2件优等品,分别是2号和5号,样品中优等品的概率为. 由(1)知乙厂共有产品35件,所以估计乙厂优等品的数量为件). (3)5件抽测品中有2件优等品,则的可能取值为0,1,2. . 分布列为 故. 18.(本小题满分16分)(2011北京高考,理17)以下茎叶图记录了甲、乙两组各四名同学的植树棵数.乙组记录中有一个数据模糊,无法确认,在图中以X表示. (1)如果X=8,求乙组同学植树棵数的平均数和方差; (2)如果X=9,分别从甲、乙两组中

14、随机选取一名同学,求这两名同学的植树总棵数Y的分布列和数学期望. (注:方差+(其中为的平均数) 【解】(1)当X=8时,由茎叶图可知,乙组同学的植树棵数是:8,8,9,10,所以平均数为; 方差为. (2)当X=9时,由茎叶图可知,甲组同学的植树棵数是:9,9,11,11;乙组同学的植树棵数是:9,8,9,10.分别从甲、乙两组中随机选取一名同学,共有种可能的结果,这两名同学植树总棵数Y的可能取值为17,18,19,20,21.事件”Y=17”等价于”甲组选出的同学植树9棵,乙组选出的同学植树8棵”,所以该事件有2种可能的结果,因此P.同理可得P; P;P;P(Y=21). 所以随机变量Y的分布列为 P(Y=20). 19.(本小题满分16分)(2011江苏苏、锡、常、镇一模)(1)当 时,求证:是正整数; (2)试证明大于的最小整数能被整除). 【解】CC+C CC+C 因此CC+, 的偶数次幂均为正整数, 是正整数. (2)因为由(1)知为正整数, 大于的最小整数为. 由于 由二项式定理知是偶数, 能被整除. 20.(本小题满分16分)在进行一项掷骰子放球游戏中,规定:若掷出1点,甲盒中放一球;若掷出2点或3点,乙盒中放一球;若掷出4点,5点或6点,丙盒中放一球,前后共掷3次.设x、y、z分别表示甲、乙、丙3个盒中的球数. (1)求x、y、