赵振华高等数学专题讲座

1、2022-1-11电子商务基础与实训 1高等数学专题讲座高等数学专题讲座高等数学（下）复习讲座高等数学（下）复习讲座重庆理工大学数学与统计学院高等数学（下）复习赵振华主讲2 2纲纲 要要p 学习重点难点学习重点难点p 常见错解分析常见错解分析p 典型方法与例题典型方法与例题 p 能力提升与技巧能力提升与技巧 高等数学（下）复习赵振华主讲3 3向量及其线性运算向量及其线性运算 知识体系图p 学习重点难点学习重点难点-向量代数与空间解向量代数与空间解析几何析几何 向向量量代代数数向量的坐标向量的坐标模、方向余弦的坐标表示法模、方向余弦的坐标表示法向量平行和垂直的充要条件向量平行和垂直的充要条件空间

2、直角坐标系空间直角坐标系高等数学（下）复习赵振华主讲4 4曲面及其方程曲面及其方程 知识体系图p 学习重点难点学习重点难点-向量代数与空间解向量代数与空间解析几何析几何 空空间间解解析析几几何何平面及其方程平面及其方程曲面一般方程曲面一般方程旋转曲面旋转曲面柱面柱面二次曲面二次曲面空间曲线及其方程空间曲线及其方程直线及其方程直线及其方程空间曲线一般方程、参数方程空间曲线一般方程、参数方程在坐标面上的投影曲线方程在坐标面上的投影曲线方程 点法式方程点法式方程一般方程一般方程高等数学（下）复习赵振华主讲5p学习重点难点学习重点难点-向量代数与空间解析几何向量代数与空间解析几何 向量代数向量代数1

3、1、向量的概念、向量的概念2 2、向量的线性运算、向量的线性运算3 3、空间直角坐标系、空间直角坐标系4 4、向量的坐标表示、向量的坐标表示kzjyixr),(zyx5 5、利用坐标作向量的线性运算、利用坐标作向量的线性运算abab6 6、 向量的模与两点间的距离公式向量的模与两点间的距离公式高等数学（下）复习赵振华主讲6p学习重点难点学习重点难点-向量代数与空间解析几何向量代数与空间解析几何7 7、方向角与方向余弦、方向角与方向余弦方向角方向角：方向余弦：方向角的余弦方向余弦：方向角的余弦 高等数学（下）复习赵振华主讲7p 学习重点难点学习重点难点-向量代数与空间解向量代数与空间解析几何析几

4、何 8 8、两向量的数量积、两向量的数量积9 9、两向量的向量积、两向量的向量积高等数学（下）复习赵振华主讲8一般式点法式截距式0DCzByAx)0(222CBA1czbyax三点式0131313121212111zzyyxxzzyyxxzzyyxx),( :000zyx点0)()()(000zzCyyBxxA),(:CBAn 法向量p学习重点难点学习重点难点-向量代数与空间解析几何向量代数与空间解析几何 空间解析几何空间解析几何1. 1. 空间直线与平面的方程空间直线与平面的方程空间平面空间平面高等数学（下）复习赵振华主讲9为直线的方向向量.一般式对称式参数式0022221111DzCyBx

5、ADzCyBxAtpzztnyytmxx000pzznyymxx000),(000zyx),(pnms 为直线上一点; p 学习重点难点学习重点难点-向量代数与空间解向量代数与空间解析几何析几何 空间直线空间直线高等数学（下）复习赵振华主讲10面与面的关系面与面的关系0212121CCBBAA212121CCBBAA平面平面垂直:平行:夹角公式:),( , 0:111111111CBAnDzCyBxA),( , 0:222222222CBAnDzCyBxA021nn021nn2121cosnnnn p 学习重点难点学习重点难点-向量代数与空间解向量代数与空间解析几何析几何 2.线面之间的相互关

6、系高等数学（下）复习赵振华主讲11,1111111pzznyymxxL：直线0212121ppnnmm,2222222pzznyymxxL：212121ppnnmm线与线的关系直线垂直:平行:夹角公式:),(1111pnms ),(2222pnms 021ss021ss2121cosssss p 学习重点难点学习重点难点-向量代数与空间解向量代数与空间解析几何析几何 高等数学（下）复习赵振华主讲12CpBnAm平面:垂直：平行：夹角公式：0CpBnAm面与线间的关系直线:),(, 0CBAnDCzByAx),(,pnmspzznyymxx0ns0nsnsnssinp 学习重点难点学习重点难点-

7、向量代数与空间解向量代数与空间解析几何析几何 高等数学（下）复习赵振华主讲13(1) 过直线00:22221111DzCyBxADzCyBxAL的平面束)(1111DzCyBxA0)(2222DzCyBxA方程0,21不全为12机动 目录 上页 下页 返回 结束 p 学习重点难点学习重点难点-向量代数与空间解向量代数与空间解析几何析几何 3. 与平面、直线相关的几个问题高等数学（下）复习赵振华主讲14(2)点点的距离为DzCyBxA000 222CBA到平面 ：A x+B y+C z+D = 0),(0000zyxMd0M1MnnnMMd01p 学习重点难点学习重点难点-向量代数与空间解向量代

8、数与空间解析几何析几何 高等数学（下）复习赵振华主讲15 kji),(0000zyxM到直线的距离pzznyymxxL111:为(3) 点点2221pnm010101 zzyyxxpnm dssMMd10),(pnms ),(1111zyxM),(0000zyxMLp 学习重点难点学习重点难点-向量代数与空间解向量代数与空间解析几何析几何 高等数学（下）复习赵振华主讲16三元方程0),(zyxF 球面2202020)()()(Rzzyyxx 旋转曲面如, 曲线00),(xzyf绕 z 轴的旋转曲面:0),(22zyxf 柱面如,曲面0),(yxF表示母线平行 z 轴的柱面.又如,椭圆柱面, 双

9、曲柱面, 抛物柱面等 .4、空间曲面p学习重点难点学习重点难点-向量代数与空间解析几何向量代数与空间解析几何高等数学（下）复习赵振华主讲17),(同号qp 椭球面1222222czbyax 抛物面:椭圆抛物面双曲抛物面zqypx2222zqypx2222 双曲面: 单叶双曲面2222byax22cz1双叶双曲面2222byax22cz1 椭圆锥面: 22222zbyaxp 学习重点难点学习重点难点-向量代数与空间解向量代数与空间解析几何析几何 二次曲面二次曲面高等数学（下）复习赵振华主讲18设空间曲线 C 的一般方程为消去 z 得投影柱面则C 在xoy 面上的投影曲线 C为消去 x 得C 在y

10、oz 面上的投影曲线方程消去y 得C 在zox 面上的投影曲线方程0),(0),(zyxGzyxF,0),(yxH00),(zyxH00),(xzyR00),(yzxT5、 空间曲线三元方程组空间曲线在坐标面上的投影高等数学（下）复习赵振华主讲1919基基本本概概念念 知识体系图p 学习重点难点学习重点难点-多元函数微分学多元函数微分学 多多元元函函数数微微分分学学应应 用用偏导数的求法偏导数的求法复合函数求导法复合函数求导法隐函数求导法隐函数求导法曲线的切线与法线平面曲线的切线与法线平面曲面的切平面与法线曲面的切平面与法线极值存在的必要条件与充分条件极值存在的必要条件与充分条件方向导数方向导

11、数高等数学（下）复习赵振华主讲201. 区域 邻域 :, ) ,(0PU) ,(0PU 区域连通的开集 空间nR2. 多元函数概念n 元函数),(21nxxxf常用二元函数 (图形一般为空间曲面)三元函数DP)(Pfu nRp 学习重点难点学习重点难点-多元函数微分学多元函数微分学 基本概念高等数学（下）复习赵振华主讲21APfPP)(lim0,0 ,0 时，当00 PP有)( APf3. 多元函数的极限4. 多元函数的连续性1) 函数连续在0)(PPf)()(lim00PfPfPP2) 闭域上的多元连续函数的性质:有界定理 ;最值定理 ; 介值定理3) 一切多元初等函数在定义区域内连续p 学

12、习重点难点学习重点难点-多元函数微分学多元函数微分学 高等数学（下）复习赵振华主讲221. 偏导数的概念及有关结论 定义; 记号; 几何意义 函数在一点偏导数存在函数在此点连续 混合偏导数连续与求导顺序无关2. 偏导数的计算方法 求一点处偏导数的方法先代后求先求后代利用定义 求高阶偏导数的方法逐次求导法(与求导顺序无关时, 应选择方便的求导顺序)偏导数高等数学（下）复习赵振华主讲231. 微分定义:),(yxfz zyyxfxyxfyx),(),(dz yyxfxyxfyxd),(d),(22)()(yx2. 重要关系:)( o函数可导函数可导函数可微函数可微偏导数连续偏导数连续函数连续函数连

13、续全微分高等数学（下）复习赵振华主讲241. 复合函数求导的链式法则“分段用乘, 分叉用加, 单路全导, 叉路偏导”例如例如, ),(, ),(yxvvyxfuuvyxyxxu1f 3f;1yu2f 3f22. 全微分形式不变性, ),(vufz 对不论 u , v 是自变量还是因变量,vvufuvufzvud),(d),(d复合函数求导法高等数学（下）复习赵振华主讲251. 隐函数( 组) 存在定理2. 隐函数 ( 组) 求导方法方法1. 利用复合函数求导法则直接计算 ;方法2. 代公式隐函数求导法高等数学（下）复习赵振华主讲26 三元函数 ),(zyxf在点),(zyxP沿方向 l (方向

14、角),为的方向导数为coscoscoszfyfxflf 二元函数 ),(yxf在点),(yxP),的方向导数为coscosyfxflf沿方向 l (方向角为sin方向导数方向导数p 学习重点难点学习重点难点-多元函数微分学多元函数微分学 高等数学（下）复习赵振华主讲27 三元函数 ),(zyxf在点),(zyxP处的梯度为zfyfxff,grad 二元函数 ),(yxf在点),(yxP处的梯度为),(, ),(gradyxfyxffyx梯梯 度度p 学习重点难点学习重点难点-多元函数微分学多元函数微分学 高等数学（下）复习赵振华主讲28切线方程 000zzyyxx法平面方程)(00 xxt1、

15、参数式情况.)()()(:tztytx空间光滑曲线切向量)(0t)(0t)(0t)( )(00yyt0)(00zzt)(, )(, )(000tttT空间曲线的切线与法平面高等数学（下）复习赵振华主讲29切线方程法平面方程MMMyxGFzzxzGFyyzyGFxx),(),(),(),(),(),(000空间光滑曲线0),(0),(:zyxGzyxFMzyGF),(),(切向量2、一般式情况,),(),(MzyGF,),(),(MxzGFMyxGF),(),()(0 xxMxzGF),(),()(0yyMyxGF),(),(0)(0 zzT高等数学（下）复习赵振华主讲30空间光滑曲面0),(:

16、zyxF曲面 在点法线方程法线方程),(0000zyxFxxx),(0000zyxFyyy),(0000zyxFzzz)( ),()( ),(00000000yyzyxFxxzyxFyx1、 隐式情况 .的法向量法向量),(000zyxM0)(,(0000zzzyxFz切平面方程切平面方程),(, ),(, ),(000000000zyxFzyxFzyxFnzyx曲面的切平面与法线高等数学（下）复习赵振华主讲31空间光滑曲面),(:yxfz )( ),()( ),(0000000yyyxfxxyxfzzyx切平面方程切平面方程法线方程法线方程1),(),(0000000zzyxfyyyxfxx

17、yx,1cos,1cos2222yxyyxxffffff法线的方向余弦方向余弦2211cosyxff法向量法向量) 1 ,(yxffn2、 显式情况 高等数学（下）复习赵振华主讲321. 函数的极值问题函数的极值问题第一步 利用必要条件在定义域内找驻点.即解方程组第二步 利用充分条件 判别驻点是否为极值点 .2. 函数的条件极值问题函数的条件极值问题(1) 简单问题用代入法, ),(yxfz 0),(0),(yxfyxfyx如对二元函数(2) 一般问题用拉格朗日乘数法函数的极值与最值问题函数的极值与最值问题高等数学（下）复习赵振华主讲33第二步第二步 判别判别 比较驻点及边界点上函数值的大小

18、根据问题的实际意义确定最值第一步第一步 找目标函数, 确定定义域 ( 及约束条件)3. 3. 函数的最值问题函数的最值问题p 学习重点难点学习重点难点-多元函数微分学多元函数微分学 高等数学（下）复习赵振华主讲3434重重积积分分 知识体系图p 学习重点难点学习重点难点-多元函数积分学多元函数积分学 多多元元函函数数积积分分学学曲曲面面积积 分分第一类曲线积分第一类曲线积分第二类曲线积分第二类曲线积分两类曲线积分的关系两类曲线积分的关系第一类曲面积分第一类曲面积分斯斯托托克克斯斯公公式式第二类曲面积分第二类曲面积分两类曲面积分的关系两类曲面积分的关系格林公式格林公式高斯公式高斯公式高等数学（下

19、）复习赵振华主讲351. 二重积分的定义Dyxfd),(iiinif),(lim10)dd(dyx2. 二重积分的性质 (与定积分性质相似)3. 曲顶柱体体积的计算二次积分法高等数学（下）复习赵振华主讲36(1) 二重积分化为累次积分的方法直角坐标系情形直角坐标系情形 : 若积分区域为)()(,),(21xyyxybxayxD则)()(21d),(dd),(xyxybaDyyxfxyxf 若积分区域为)()(,),(21yxxyxdycyxD则xy)(1yxx Ddc)(2yxx )()(21d),(dd),(yxyxdcDxyxfyyxf)(1xyy )(2xyy xybaD高等数学（下）复

20、习赵振华主讲37)()(,),(21rrDDDrrfyxf)sin,cos(d),(则)()(21d)sin,cos(drrrrf(2) 一般换元公式),(),(vuyyvuxxDyx),(,),(Dvu0),(),(vuyxJ且则DDvuvuyvuxfyxfdd ),(),(d),(J极坐标系情形: 若积分区域为若积分区域为ddrrDo)(1r)(2r在变换下高等数学（下）复习赵振华主讲38(3) 计算步骤及注意事项 画出积分域 选择坐标系 确定积分序 写出积分限 计算要简便域边界应尽量多为坐标线被积函数关于坐标变量易分离积分域分块要少累次积好算为妙图示法不等式( 先积一条线, 后扫积分域

21、)充分利用对称性应用换元公式高等数学（下）复习赵振华主讲39zyxdddzddddddsin2rr积分区域多由坐标面被积函数形式简洁, 或坐标系 体积元素 适用情况直角坐标系柱面坐标系球面坐标系* * 说明说明:三重积分也有类似二重积分的换元积分公式换元积分公式:),(),(wvuzyxJ对应雅可比行列式为*ddd),(ddd),(wvuJwvuFzyxzyxf变量可分离.围成 ;高等数学（下）复习赵振华主讲40一、立体体积 曲顶柱体曲顶柱体的顶为连续曲面),(yxfz 则其体积为DyxyxfVdd),(,),(Dyx 占有空间有界域空间有界域 的立体的体积为zyxVddd高等数学（下）复习赵

22、振华主讲41MAdzdn二、曲面的面积xyzSo设光滑曲面DyxyxfzS),( , ),(:则面积 A 可看成曲面上各点),(zyxM处小切平面的面积 d A 无限积累而成. 设它在 D 上的投影为 d ,Adcosd),(),(11cos22yxfyxfyxd),(),(1d22yxfyxfAyx(称为面积元素)则Mnd机动 目录 上页 下页 返回 结束 高等数学（下）复习赵振华主讲42故有曲面面积公式d),(),(122DyxyxfyxfAyxyzxzADdd)()(122若光滑曲面方程为zyzxyxAdd)()(122,),( , ),(zyDzyzygx则有zyD即高等数学（下）复习

23、赵振华主讲43zyxzyxzyxzyxyyddd),(ddd),(zyxzyxzyxzyxzzddd),(ddd),(三、物体的质心zyxzyxzyxzyxxxddd),(ddd),(高等数学（下）复习赵振华主讲441. 定义定义kkknkksf),(lim10szyxfd),(2. 性质性质kknkksf),(lim10Lsyxfd),(szyxgzyxfd),(),() 1 (21d),(d),(d),()2(szyxfszyxfszyxf),(21组成由ls d)3( l 曲线弧 的长度)Lszyxfd),(),(为常数szyxgLd),(第一类曲线积分第一类曲线积分高等数学（下）复习赵

24、振华主讲453. 计算 对光滑曲线弧, )( , )(, )(:ttytxLLsyxfd),( 对光滑曲线弧, )()(:bxaxyLLsyxfd),(baxxf) )(,(),()(: rrLLsyxfd),()sin)(,cos)(rrf 对光滑曲线弧tttd)()(22xx d)(12d)()(22rr)(),(ttf高等数学（下）复习赵振华主讲461. 定义kkkknkyQxP),(),(limkk10LyyxQxyxPd),(d),(2. 性质(1) L可分成 k 条有向光滑曲线弧), 1(kiLiLyyxQxyxPd),(d),(iLkiyyxQxyxPd),(d),(1(2) L

25、 表示 L 的反向弧LyyxQxyxPd),(d),(LyyxQxyxPd),(d),(对坐标的曲线积分必须注意积分弧段的方向积分弧段的方向!第二类曲线积分第二类曲线积分高等数学（下）复习赵振华主讲473. 计算计算,)()(:tytxL: tLyyxQxyxPd),(d),(tttQttPd )(),( )(),()(t)(t 对有向光滑弧 对有向光滑弧baxxyL:, )(:xxxQxxPbad )(,)(,)(xLyyxQxyxPd),(d),(高等数学（下）复习赵振华主讲48zzyxRyzyxQxzyxPd),(d),(d),(:,)()()(ttztytx)(, )(),(tttP)

26、(t)(t)(t4. 两类曲线积分的联系LyQxPddsQPLdcoscoszRyQxPdddsRQPdcoscoscos)(, )(),(tttQ)(, )(),(tttRtd 对空间有向光滑弧对空间有向光滑弧 :高等数学（下）复习赵振华主讲491. 格林公式LyQxPdd2. 等价条件在 D 内与路径无关.yPxQ在 D 内有yQxPudddyxyPxQDddLyQxPdd对 D 内任意闭曲线 L 有0ddLyQxP在 D 内有设 P, Q 在 D 内具有一阶连续偏导数, 则有格林公式格林公式高等数学（下）复习赵振华主讲501. 定义:Szyxfd),(iiiiSf),(ni 10lim2

27、. 计算: 设,),( , ),(:yxDyxyxzz则Szyxfd),(yxDyxf,(),(yxz)221yxzz yxdd(曲面的其他两种情况类似) 注意利用球面坐标、柱面坐标、对称性、重心公式简化计算的技巧. 第一类曲面积分第一类曲面积分高等数学（下）复习赵振华主讲51 1、定义:第二类曲面积分第二类曲面积分高等数学（下）复习赵振华主讲52其方向用法向量指向方向余弦coscoscos 0 为前侧 0 为右侧 0 为上侧 0 为下侧外侧内侧 设 为有向曲面,)(yxSSyxS)(侧的规定 指定了侧的曲面叫指定了侧的曲面叫有向曲面有向曲面, 表示 :其面元在 xoy 面上的投影记为,0)(

28、yxyxS)(的面积为则规定,)(yx,)(yx,0时当0cos时当0cos时当0cos类似可规定zxyzSS)( ,)(高等数学（下）复习赵振华主讲53yxRxzQzyPddddddyxDyxyxzz),( , ),(:yxyxzyxRyxzyxRyxDdd),(,(dd),(（上侧取“+”, 下侧取“”)类似可考虑在 yoz 面及 zox 面上的二重积分转化公式 .2、 计算SRQPdcoscoscos3、 两类曲面积分的联系第二类曲面积分第二类曲面积分高等数学（下）复习赵振华主讲544、 常用计算公式及方法面积分第一类 (对面积)第二类 (对坐标)二重积分(1) 统一积分变量代入曲面方程

29、 (方程不同时分片积分)(2) 积分元素投影第一类： 面积投影第二类： 有向投影(4) 确定积分域把曲面积分域投影到相关坐标面 注注：二重积分是第一类曲面积分的特殊情况.转化高等数学（下）复习赵振华主讲55设空间闭区域 由分片光滑的闭曲 上有连续的一阶偏导数 ,zyxzRyQxPdddyxRxzQzyPdddddd 函数 P, Q, R 在面 所围成, 的方向取外侧, 则有 高斯 ( Gauss ) 公式高等数学（下）复习赵振华主讲56设光滑曲面 的边界 是分段光滑曲线, yxyPxQxzxRzPzyzQyRddddddzRyQxPddd (斯托克斯公式斯托克斯公式)个空间域内具有连续一阶偏导

30、数, 的侧与 的正向符合右手法则, RQP,在包含 在内的一则有斯托克斯( Stokes ) 公式高等数学（下）复习赵振华主讲5757数数项项级级数数 知识体系图p 学习重点难点学习重点难点-无穷级数无穷级数 无无穷穷级级数数傅傅里里叶叶级级数数收敛半径，收敛域的求法收敛半径，收敛域的求法连续性，逐项可导性，逐项可积性合函数求导法连续性，逐项可导性，逐项可积性合函数求导法展开成幂级数方法：直接法，间接法展开成幂级数方法：直接法，间接法狄利克雷收敛定理狄利克雷收敛定理展开展开周期为周期为22的函数展开为傅里叶级数的函数展开为傅里叶级数正弦级数与余弦级数正弦级数与余弦级数周期为周期为2 l2 l的

31、函数展开为傅里叶级数的函数展开为傅里叶级数高等数学（下）复习赵振华主讲58)(0 xunn 求和)(xS展开(在收敛域内进行)(0 xunn基本问题基本问题：判别敛散；求收敛域；求和函数；级数展开.为傅立叶级数.xnbxnaxunnnsincos)(当为傅氏系数) 时,时为数项级数;0 xx 当nnnxaxu)(当时为幂级数;nnba ,(p 学习重点难点学习重点难点-无穷级数无穷级数 高等数学（下）复习赵振华主讲591. 利用部分和数列的极限判别级数的敛散性2. 正项级数审敛法必要条件0limnnu不满足发 散满足比值审敛法 limn1nunu根值审敛法nnnulim1收 敛发 散1不定 比

32、较审敛法用它法判别部分和极限1数项级数的审敛法高等数学（下）复习赵振华主讲603. 任意项级数审敛法任意项级数审敛法为收敛级数1nnuLeibniz判别法判别法: 若,01nnuu且,0limnnu则交错级数nnnu1) 1(收敛 ,概念概念:且余项.1nnur1nnu若收敛 ,1nnu称绝对收敛1nnu若发散 ,1nnu称条件收敛高等数学（下）复习赵振华主讲61 标准形式幂级数: 先求收敛半径 R , 再讨论Rx 非标准形式幂级数通过换元转化为标准形式直接用比值法或根值法处的敛散性 .求幂级数收敛域的方法高等数学（下）复习赵振华主讲62 求部分和式极限求和 映射变换法 逐项求导或求积分nnn

33、xa0)(*xS对和式积分或求导)(xS难直接求和: 直接变换,间接求和: 转化成幂级数求和, 再代值求部分和等 初等变换法: 分解、套用公式（在收敛区间内） 数项级数 求和nnnxa0幂级数和函数的求法高等数学（下）复习赵振华主讲631. 函数的幂级数展开法(1) 直接展开法 利用泰勒公式 ;(2) 间接展开法 利用幂级数的性质及已知展开2. 常用函数的幂级数展开式xe1),(x)1 (lnxx1, 1(xx2!21x,!1nxn221x331x441x11) 1(nnxn式的函数 .函数的幂级数展开法高等数学（下）复习赵振华主讲64! ) 12() 1(12nxnnxsinx!33x!55

34、x!77xxcos1!22x!44x!66x! )2() 1(2nxnnmx)1 ( 1xm2!2) 1(xmmnxnnmmm!) 1() 1(当 m = 1 时x11,) 1(132nnxxxx),(x),(x) 1, 1(x) 1, 1(x高等数学（下）复习赵振华主讲651. 周期为 2 的函数的傅里里叶级数及收敛定理 )sincos(2)(10 xnbxnaaxfnnn)(间断点x其中xxnxfandcos)(1xxnxfbndsin)(1),2, 1 ,0(n),2, 1(n注意注意: 若0 x为间断点,则级数收敛于2)()(00 xfxf函数的傅里叶级数展开法高等数学（下）复习赵振华

35、主讲66为正弦 级数. 2. 周期为2l 的函数的傅里里叶级数展开公式)(xf20alxnblxnannnsincos1(x 间断点)其中naxlxnxfllldcos)(1nbxlxnxfllldsin)(1), 1 ,0(n),2, 1(n当f (x)为奇 函数时,(偶)(余弦)3. 在任意有限区间上函数的傅里里叶展开法变换延拓高等数学（下）复习赵振华主讲67p 常见错解分析例例1 1错解高等数学（下）复习赵振华主讲68错解分析p 常见错解分析高等数学（下）复习赵振华主讲69正确解答p 常见错解分析高等数学（下）复习赵振华主讲70例例2 2p 常见错解分析错解高等数学（下）复习赵振华主讲7

36、1错解分析p 常见错解分析高等数学（下）复习赵振华主讲72p 常见错解分析正确解答高等数学（下）复习赵振华主讲73例例3 3p 常见错解分析错解错解分析高等数学（下）复习赵振华主讲74p 常见错解分析正确解答高等数学（下）复习赵振华主讲75p 常见错解分析例例4 4错解高等数学（下）复习赵振华主讲76错解分析p 常见错解分析高等数学（下）复习赵振华主讲77p 常见错解分析正确解答高等数学（下）复习赵振华主讲78p 常见错解分析例例5 5错解高等数学（下）复习赵振华主讲79错解分析p 常见错解分析正确解答高等数学（下）复习赵振华主讲80p 常见错解分析例例6 6错解高等数学（下）复习赵振华主讲8

37、1错解分析p 常见错解分析正确解答一高等数学（下）复习赵振华主讲82p 常见错解分析正确解答二高等数学（下）复习赵振华主讲83p 常见错解分析高等数学（下）复习赵振华主讲84p 常见错解分析例例7 7错解高等数学（下）复习赵振华主讲85错解分析p 常见错解分析正确解答高等数学（下）复习赵振华主讲86p 常见错解分析高等数学（下）复习赵振华主讲87p 常见错解分析例例8 8错解错解分析高等数学（下）复习赵振华主讲88p 常见错解分析正确解答一正确解答二高等数学（下）复习赵振华主讲89p 常见错解分析例例9 9错解高等数学（下）复习赵振华主讲90错解分析p 常见错解分析正确解答高等数学（下）复习赵

38、振华主讲91p 常见错解分析例例1010错解错解分析高等数学（下）复习赵振华主讲92p 常见错解分析正确解答高等数学（下）复习赵振华主讲93例例1 1 求过点 且与直线12131zyx垂直相交的直线方程.解解: 先求二直线交点 P. 0)3() 1(2)2(3zyx化已知直线方程为参数方程, 代入 式, 可得交点),(7371372P最后利用两点式得所求直线方程431122zyx的平面的法向量为故其方程为),(312),(011),(123过已知点且垂直于已知直线, ) 1,2,3(P(2,1,3)p 典型方法与例题高等数学（下）复习赵振华主讲94例例2.2. 求过直线L:0405zxzyxz

39、yx84 且与平面4夹成角的平面方程.解解:过直线 L 的平面束方程04)1 (5)1 (zyx其法向量为已知平面的法向量为选择使43. 012720zyx从而得所求平面方程n1n4012 114cosnnnn.1,5,11nL8,4, 1n高等数学（下）复习赵振华主讲95例例3 3 求( , )(0,0)lim93x yxyxyp 典型方法与例题( , )(0,0)lim93x yxyxy2( , )(0,0)(93)lim(9)9x yxyxyxy解解:( , )(0,0)lim(93)6x yxy高等数学（下）复习赵振华主讲96例4.22( , , ),cos ,xy zuf x y z

40、ezxyyuxu,求解解:xu2xy zye2(4cos )xy zyxzy ezyxyxuyuxfxzzf22xy zzeyfyzzf2 cosxy2xy zxe22xy zze2(sin )xy 22(2sin )xy zxx zy e高等数学（下）复习赵振华主讲97例例5 5 求曲线0453203222zyxxzyx在点(1,1,1) 的切线解解: 点 (1,1,1) 处两曲面的法向量为)2,2, 1(因此切线的方向向量为)1,9,16(由此得切线:111zyx1691法平面:0) 1() 1(9) 1(16zyx024916zyx即与法平面.) 1 , 1 , 1 (1)2,2,32(

41、zyxn)5,3,2(2n21nnl高等数学（下）复习赵振华主讲98指向 B( 3, 2 , 2) 方向的方向导数 .在点A( 1 , 0 , 1) 处沿点Axd d例6 求函数)ln(22zyxu解解:31,32,32则cos,cos,cosAxu) 1ln( x1x,21yd dAyu) 11ln(2y0y,0, ) 1 ,2,2(AB0ABl 21Azucoscoscoszuyuxulu21高等数学（下）复习赵振华主讲99例例7 7（20122012考研）考研） 解：解： p 典型方法与例题高等数学（下）复习赵振华主讲100p 典型方法与例题高等数学（下）复习赵振华主讲101同理同理 p

42、 典型方法与例题高等数学（下）复习赵振华主讲102Ddxdyyx)(22( , ) 01,2 Dx yxxyx65310)()(1032221022dxxdyyxdxdxdyyxxxD12222122210)()(yyydxyxdydxyxdy例例8 8：计算解解 作为“X型”注意：如果作为“Y型”，化为的二次积分式，则：Ddxdyyx)(22p 典型方法与例题高等数学（下）复习赵振华主讲103例例9 9：计算解解p 典型方法与例题Ddxdyyx44222,.(0Dx y xyRR2444444002660()(cossin)31 (cos 4 )6444RDxydddRdR Ddyxf),(

43、220 xaxycos2acos2020sin,cos),(adfddyxf例例1010：将二重积分 D:半圆 解解：半圆的极点坐标方程为在极坐标系中化为二次积分高等数学（下）复习赵振华主讲104例例1111：计算解解p 典型方法与例题dvzyx2zyx由和坐标平面所围成 在xoy面上的投影为 : 02,xyDxxy20在 内，yxz 20z上表面为，下表面为2220002x yxxyz dvdxdyxyz dz 2zyx22o高等数学（下）复习赵振华主讲105例12. 计算曲线积分 ,d)(222szyx其中为螺旋的一段弧.解解: szyxd)(22220222)()sin()cos(t k

44、tatattkakad202222202322223tktaka)43(3222222kakatktatad)cos()sin(222)20(,sin,costtkztaytax线高等数学（下）复习赵振华主讲106例例1313 求,d)(d)(d)(zyxyzxxyzI其中,2122zyxyx从 z 轴正向看为顺时针方向.解解: 取 的参数方程,sin,costytx)02:(sincos2tttz20Itttcos)sincos22(tttttd )sin)(cossin(costt d)cos41 (220)sin)(cos2(tt 2高等数学（下）复习赵振华主讲107p 典型方法与例题例

45、14（2012考研） 解：解： 高等数学（下）复习赵振华主讲108例例15 15 设 是四面体的表0,0,0,1zyxzyx面, 计算.d)1 (12SyxI解解: : 在四面体的四个面上yxz1yxdd3xyxDyx10,10:1zyx11o0zyxdd0yxzddzxzDxz10,10:0 xzyddzyzDzy10,10:同上平面方程Sd投影域高等数学（下）复习赵振华主讲109yyzzd)1 (1d10210 xxzzd)1 (1d102102ln) 13(233yyxxIxd)1 (1d)13(10210p 典型方法与例题高等数学（下）复习赵振华主讲110例16.dddddd)(2223yxzxxzyzxzyxzxI设 为曲面21,222zyxz取上侧, 求 解解: : 作取下侧的辅助面1:1z1:),(22yxDyxyxI11zyxdddyxxdd)(2xyD) 1(20d10dr221drz202dcos103drr12131zoxy211用柱坐标用柱坐标用极坐标用极坐标高高斯斯公公式