高考数学一轮复习总教案94　直线与圆锥曲线的位置关系

1、9.4直线与圆锥曲线的位置关系典例精析题型一直线与圆锥曲线交点问题【例1】若曲线y2ax与直线y(a1)x1恰有一个公共点，求实数a的值.【解析】联立方程组(1)当a0时，方程组恰有一组解为(2)当a0时，消去x得y2y10，若0，即a1，方程变为一元一次方程y10，方程组恰有一组解若0，即a1，令0，即10，解得a，这时直线与曲线相切，只有一个公共点.综上所述，a0或a1或a.【点拨】本题设计了一个思维“陷阱”，即审题中误认为a0，解答过程中的失误就是不讨论二次项系数0，即a1的可能性，从而漏掉两解.本题用代数方法解完后，应从几何上验证一下：当a0时，曲线y2ax，即直线y0，此时与已知直线

2、yx1 恰有交点(1,0)；当a1时，直线y1与抛物线的对称轴平行，恰有一个交点(代数特征是消元后得到的一元二次方程中二次项系数为零)；当a时直线与抛物线相切.【变式训练1】若直线ykx1与双曲线x2y24有且只有一个公共点，则实数k的取值范围为()A.1，1，B.(，)C.(，11，)D.(，1)，)【解析】由(1k2)x22kx50，k，结合直线过定点(0，1)，且渐近线斜率为1，可知答案为A.题型二直线与圆锥曲线的相交弦问题【例2】(2019辽宁模拟)设椭圆C：1(ab0)的右焦点为F，过F的直线l与椭圆C相交于A，B两点，直线l的倾斜角为60，2.(1)求椭圆C的离心率；(2)如果|A

3、B|，求椭圆C的方程. 【解析】设A(x1，y1)，B(x2，y2)，由题意知y10，y20.(1)直线l的方程为y(xc)，其中c.联立得(3a2b2)y22b2cy3b40.解得y1，y2.因为2，所以y12y2，即2.解得离心率e.(2)因为|AB|y2y1|，所以.由得ba，所以a，即a3，b.所以椭圆的方程为1.【点拨】本题考查直线与圆锥曲线相交及相交弦的弦长问题，以及用待定系数法求椭圆方程.【变式训练2】椭圆ax2by21与直线y1x交于A，B两点，过原点与线段AB中点的直线的斜率为，则的值为.【解析】设直线与椭圆交于A、B两点的坐标分别为(x1，y1)，(x2，y2)，弦中点坐标

4、为(x0，y0)，代入椭圆方程两式相减得a(x1x2)(x1x2)b(y1y2)(y1y2)02ax02by00ax0by00.故.题型三对称问题 【例3】在抛物线y24x上存在两个不同的点关于直线l：ykx3对称，求k的取值范围.【解析】设A(x1，y1)、B(x2、y2)是抛物线上关于直线l对称的两点，由题意知k0.设直线AB的方程为yxb，联立消去x，得y2yb0，由题意有124b0，即10.(*)且y1y24k.又b.所以k(2kb).故AB的中点为E(k(2kb)，2k).因为l过E，所以2kk2(2kb)3，即b2k.代入(*)式，得2100k(k1)(k2k3)01k0，故k的取

5、值范围为(1,0).【点拨】(1)本题的关键是对称条件的转化.A(x1，y1)、B(x2，y2)关于直线l对称，则满足直线l与AB垂直，且线段AB的中点坐标满足l的方程；(2)对于圆锥曲线上存在两点关于某一直线对称，求有关参数的范围问题，利用对称条件求出过这两点的直线方程，利用判别式大于零建立不等式求解；或者用参数表示弦中点的坐标，利用中点在曲线内部的条件建立不等式求参数的取值范围.【变式训练3】已知抛物线yx23上存在关于xy0对称的两点A，B，则|AB|等于()A.3B.4C.3D.4【解析】设AB方程：yxb，代入yx23，得x2xb30，所以xAxB1，故AB中点为(，b).它又在xy0上，所以b1，所以|AB|3，故选C.总结提高1.本节内容的重点是研究直线与圆锥曲线位置关系的判别式方法及弦中点问题的处理方法.2.直线与圆锥曲线的位置关系的研究可以转化为相应方程组的解的讨论，即联立方程组 通过消去y(也可以消去x)得到x的方程ax2bxc0进行讨论.这时要注意考虑a0和a0两种情况，对双曲线和抛物线而言，一个公共点的情况除a0，0外，直线与双曲线的渐近线平行或直线与抛物线的对称轴平行时，都只有一个交点(此时直线与双曲线、抛物线属相交