固体物理学课后题答案知识分享

1、精品文档第一章晶体结构1.1、如果将等体积球分别排成下列结构，设x表示钢球所占体积与总体积之比，证明:结构X简单立方0.526体心立方0.688 c面心立方0.746六角密排,20.746金刚石0.346n和小球体积V所得到的小球总nVVc解：实验表明，很多元素的原子或离子都具有或接近于球形对称结构。因此，可以把这些原子或离子构 成的晶体看作是很多刚性球紧密堆积而成。这样，一个单原子的晶体原胞就可以看作是相同的小球按点 阵排列堆积起来的。 它的空间利用率就是这个晶体原胞所包含的点的数目 体积nV与晶体原胞体积Vc之比，即：晶体原胞的空间利用率,(1)对于简立方结构：(见教材P2图1-1)a=2

2、r,4V=一3Vc=a3, n=18r30.52 6精品文档0.684.33丁)(2)对于体心立方：晶胞的体对角线BG=J3a 4r a 匕3 x3n=2, Vc=a3c 432 - r33a(3)对于面心立方：晶胞面对角线BC= 2a 4r,2 2r434 - r3(2 2r)30.74Vc=a3434 - rxx3a(4)对于六角密排：a=2r晶胞面积：S=6 S ABOa asin 6023、3 2=a2晶胞的体积:V= SC28 a 3届3 24 扬3n=12123=6个r33a(2 2r)30.74(5)对于金刚石结构，晶胞的体对角线8 rBG= ./3a 4 2r a.3n=8,

3、Vc=a38 438 rxx3a8 43o - r38333.3 r0.341.3、证明：面心立方的倒格子是体心立方；体心立方的倒格子是面心立方。rai证明：(1)面心立方的正格子基矢(固体物理学原胞基矢)r a?r a3a J 2(j a.r 2(i a r 2(ir k)r k)r j)由倒格子基矢的定义:rbira3)rai33)0,r j,0,r a2r a30,rrrij k)rb1同理可得:rb2rb3r k)r k)2 r一(i a(r ark)即面心立方的倒格子基矢与体心立方的正格基矢相同。 rk)所以，面心立方的倒格子是体心立方。精品文档(2)体心立方的正格子基矢(固体物理学

4、原胞基矢)由倒格子基矢的定义:rbi2-&r a3)r ai33)a2a一,2a2,a2, a2 a 2,a2 a2 a2r a2r a3rair a2r a3rbir (jr k)r (jr k)同理可得:rb2rb32 r一(i a-(r ar k)a, r2( ia r 2(ia r2(ir j,r k)r k)r k)即体心立方的倒格子基矢与面心立方的正格基矢相同。 rj)r k)所以，体心立方的倒格子是面心立方。v v v1.5、证明倒格子矢量 G hibi h2b2证明:vh3b3垂直于密勒指数为(h|h2h3)的晶面系。uur v v uur v v 因为CA更曳, CB

5、曳包, hi h3h2 h3v v v hibih2b2h3b3v v 利用ai bj，容易证明vurnGh. CA vuuuGh- CBv所以，倒格子矢量Gv v vh1bl h2b2 h3b3垂直于密勒指数为 “小2卜3)的晶面系。i.6、对于简单立方晶格，证明密勒指数为(h,k,l)的晶面系，面间距 d满足：d2 a2/(h2 k2 l2)，其中a为立方边长；并说明面指数简单的晶面，其面密度较大，容易解理。 精品文档精品文档解：简单立方晶格:vair a2ra3,vai/ vai , a2vaj,va3v ak由倒格子基矢的定义:rbira2-r-r-ai a2r a3 r-a3rb22

6、 -rr a3 rr rb3ai a2 a3r rai a2-r-rr-ai a2 a3v倒格子基矢：b1vb2v倒格子矢量：Gav hbiv而2晶面族（hkl）的面间距:avlb3 ，vb3a,2 vhia,2 v kja2 v lka(h)2 (k)2(l)2a精品文档d22a222(hkl)面指数越简单的晶面，其晶面的间距越大，晶面上格点的密度越大，单位表面的能量越小，这样的晶面 越容易解理。i.9、画出立方晶格（iii）面、（i00）面、（ii0）面，并指出（iii）面与（i00）面、（iii）面与（ii0） 面的交线的晶向。解： （iii）(iii)i、（iii）面与（i00）面的交

7、线的 AB, AB平移，A与。点重合,B点位矢:vRbv vaj ak ,uuu（iii）面与（i00）面的交线的晶向 ABv vaj ak ,晶向指数0 ii。2、（iii）面与（ii0）面的交线的AB ,将AB平移，A与原点O重合，B点位矢:vRbv vai aj , (iii)面uuu与（ii0）面的交线的晶向 ABv vai aj ,晶向指数ii0。第二章固体结合2.1、两种一价离子组成的一维晶格的马德隆常数（21n 2）和库仑相互作用能，设离子的总数为2N。解设想一个由正负两种离子相间排列的无限长的离子键,德隆常数中的正负号可以这样取, 于是有即遇正离子取正号，遇负离子取负号）取任一

8、负离子作参考离子（这样马,用r表示相邻离子间的距离，前边的因子和后要乘21Qln(1(1)rj2,12X)112 一r 2r113r 4r2是因为存在着两个相等距离马德隆常数为142X.3X3的离子，一个在参考离子左面，一个在其右面，故对一边求当X=1时，有11 n221n22.3、若一晶体的相互作用能可以表示为u(r)试求：（1）平衡间距r°；(2)(3)结合能W （单个原子的）； 体弹性模量；(4)若取m2,n10, r0 3A,W计算及的值。解：（1）求平衡间距ro0,有:rr0mm 1 r0nn 1 r0 .rom 1m n结合能: 称为结合能（用 （2）求结合能设想把分散的

9、原子W表不）w （单个原子的）（离子或分子）结合成为晶体，将有一定的能量释放出来，这个能量题中标明单个原子是为了使问题简化，说明组成晶体的基本单元是单个原子，而非原子团、离子 基团，或其它复杂的基元。显然结合能就是平衡时，晶体的势能，即Umin即：Wn0（可代入r0值，也可不代入）（3）体弹性模量由体弹性模量公式:2 rO9V02U 2 rr。n = 1。，ro3A , w = 4eV，求 a、311o 8U(r。)2roU(ro)1o r45ro2/ 8(ro5-代入)4eV将 ro 3A, 1eV 1.6o2 1o19J代入7.209 1o 38 N m29.459 1o115N详解：(1

10、)平衡间距ro的计算晶体内能U (r)(2平衡条件dUdr r0,romm 1ron-n- ro(m1)n m(2)单个原子的结合能1 ，、-u(ro), 2u(r。)(rmroro1(X严m(3)体弹性模量2UK(7v°Vo(1m)( n晶体的体积VNAr3, A为常数,N为原胞数目晶体内能U(r)2N( 2n /rJ)n 1 ) r123NAr2uV21)3NAr22UV2Vo2 mm ro2 nn rommro由平衡条件N ,mV VomroJ)n 1) ro13NAr020,得mm ronnro2UV2一一 22 9Vo2mm ronro2UV2N 12 2 9Vomron

11、n - roN nm2 9Vo2mro-m-n )roro2UV2V Vo?（Uo）体弹性模量Uomn9Vo（4）若取2,n10, ro3A,W 4 eVr。1 ()- m(1mm)()n n mW 1o-ro ，2ro 1oro2W1.2-95、， 1o1o eV m ,_ _ 199.o 1o eV2.7、对于H 2,从气体的测量得到 Lennard Jones参数为的结合能算值比较以KJ/mol单位），每个氢分子可当做球形来处理.65o 1o J,结合能的实验值为o2.96 A.计算fcc结构的H20.751kJ/mo1 ,试与计解以H2为基团，组成fcc结构的晶体，如略去动能，分子间按

12、Lennard - Jones势相互作用,则晶体的总相互作用能为:12U 2NPj12Pj50Pij1014.45392;16erg,Pijo2.96 A,N1212.13188,6.o22 1o23/mol.将&代入U得到平衡时的晶体总能量为U 2 6。o22 1o28/mol 5。1。16erg2.9612.13 3.16122 96 6因此，计14.45 2.55KJ / mol.3.16算得到的 小 晶体的结合能为 2. 55KJ/mol,远大于实验观察值 0.751KJ/mol .对于 小的晶体,量子修正是很重要的，我们计算中没有考虑零点能的量子修正，这正是造成理论和实验值之

13、间巨大 差别的原因.第三章固格振动与晶体的热学性质3.2、 讨论N个原胞的一维双原子链(相邻原子间距为a),其2N个格波解，当 M = m时与一维单原子链的结果对应。2n 1)2 2n)2n, 2n+2, 2n+4 。(2 m 2)A (2(2 cos aq)A (2cosaq)B 0M 2)B 0A、B有非零解,cosaqcosacM 2(m M)mM14mM . 2 缶 2sin aq(m M )两种不同的格波的色散关系2(m M)mM14mM . 2 缶 2sin aq (m M )2(m M)mM1一个q对应有两支格波：一支声学波和一支光学波4mM . 2 岳 2sin aq2(m M

14、 )2.总的格波数目为2N.4aqcos 一m24. aqsin 一m两种色散关系如图所示：长波极限，情况下q 0 ,.zqax qasinf),22(2 J-) q与一维单原子晶格格波的色散关系一致 m和10 ,令两种原子质量相等,3.3、 考虑一双子链的晶格振动，链上最近邻原子间的力常数交错地为且最近邻原子间距为 a/2。试求在q 0,q/a处的(q),并粗略画出色散关系曲线。此问题模拟如H2这样的双原子分子晶体。XCH003 *L8答：（1）2n-3 2n-l 2n+l浅色标记的原子位于2n-1 , 2n+1 , 2n+3 ;深色标记原子位于 2n, 2n+2, 2n+4 。第2n个原子

15、和第2n+ 1个原子的运动方程:m&2m&22)2)2n 2 2n 12n 11 2n 22n 12 2n体系N个原胞,有2N个独立的方程方程的解:2niAe1t (2叱aq2n 1iBet (2n11)2aq1 /m,2/m,将解代入上述方程得:(12(12e22.1i aq2)Ai1aq(12i1aqe222e,1 i-aq2)Be2 )A (2)BA、B有非零的解，系数行列式满足:21e221i2aq2),12 i2aq2e),12 isaq1e(122)2(12i1aqe22)2,1(12e产因为10,)(112)2两种色散关系:当q 0时,当q 一时,a22e22e(

16、101 20cos aq)i1aq2 )2)i1aq2 )(1i2aq)(21e21e.1 i-aq21i2aqo(11120cosqa101)02(11 河),o(11 厢),.1Ie"").1;尸)10c .c 10 m2 一 ,0得到22 0020 02 0(2)色散关系图:3.6.求出一维单原子链的频率分布函数w 。23.7、设三维晶格的光学振动在q=0附近的长波极限有(q)0 Aq2V 11/2.,、八求证：f ( )223/ 20,0 ; f ( )0,0.4 A解0时，0 Aq2 0f( ) 0,0 oAq2r依据q (q) 2Aq,f() 上下 ds ,并带

17、入上边结果有2 q (q)122.rV ds V 1丁 | q (q)|2A24A1/2V 1V22. 3/201/23.10、设晶体中每个振子的零点振动能为1-r，八一h ,使用德拜模型求晶体的零点振动能。2证明：根据量子力学零点能是谐振子所固有的，与温度无关，故 T=0K时振动能Eo就是各振动模零点能、 m1 .一3V 2之和。EonEo g d将Eo h和g -三代入积分有022 vs3V 499Eo 2m hNm ,由于 h m kBD得 Eo- NkBD16 vs 88一股晶体德拜温度为 102K ,可见零点振动能是相当大的，其量值可与温升数百度所需热能相比拟.24 M14 .3.1

18、1、一维复式格子 m 5 1.67 10 g, 4,1.5 10N/m (即 1.51 10 dyn/cm),求(1),光学波00max, min声学波Amax 。(2)相应声子能量是多少电子伏。(3)在300k时的平均声子数。(4)与mx相对应的电磁波波长在什么波段。A max2-2 1.5 104dyn/cmM ： 4 5 1.67 10243.00 1013s 1omaxM mMm424 ,.2 1.5 104 5 5 1.67 10 dyn/cm4 5 1.67 1024 5 1.67 10246.70 1013sA max2 1.5 104dyn/cmhA max5 1.671024

19、5.99 1013s1161316.58 105.99 10 s(2)h maxomin6.58 10 16 6.70 1013s 16.58 10 16 3.00 1013s 1-21.97 10 eV4.41 10 2eV3.95 10 2eVA(3) nmaxAeh max /kBT 10.873nOax1O O /L-Teh max /kB T10.221O n . min0.2761h O ILFeh min /kBT 12 c(4) 28.1 m第四章能带理论4.2、写出一维近自由电子近似，第n个能带(n=1 , 2, 3)中，简约波数k的0级波函数。2a1 ikx(X),Le/

20、r 2/2/21i mxi-x i_mxi_(m _)xikx _ a2a _ aa 4e e a e e a e a 4LJL/L第一能带:m2a* ，、0,m 0, k(x)i-xe2a第二能带：b b则bb,m,Wmz ix - 1 ,(e a =e2a)*k(x)1iLx2a第三能带：c2c,m a，即m1, k(x)1 i_x e2a ,Le4.3、电子在周期场中的势能.厂 1222m b (x na)2YV(x) 0当 na b x na b当(n-1)a+b x na b其中d=4b, 是常数.试画出此势能曲线，求其平均值及此晶体的第一个和第二个禁带度解(I)题设势能曲线如下图所

21、示.(2)势能的平均值：由图可见,V(x)是个以a为周期的周期函数，所以1V(x) L LV(x)abV(x)dx1 a ba bS4b ,故积分上限应为3b，但由于在b,3b区间内V(x)0,故只需在b,b区间内积分.这时，nbbV(x)dx2 人m b2a b(b2x2)dx2m2ab2xb2。(3),势能在gb,2b区间是个偶函数，可以展开成傅立叶级数V(x)Vomm 2 2b、，、 m ,Vm cosx,Vm V(x)cos xdx 2b 2b 02bV (x)cos m- xdx2b第一个禁带宽度Egg12Vim 1代入上式，Eg 1 b22x(b x )cos dx2b2. U-禾

22、U用积分公式u cosmudu 2 musinmu 2cos mum-2-sin mu 得3m16m3b2第二个禁带宽度Eg22V2,以m 2代入上式，代入上式Eg22 b2 (b2 x2)cosdx再次利用积分公式有 Eg±mb2b 0b22v4.4、用紧束缚近似模型求出面心立方晶格和体心立方晶格s态原子能级相对应的能带Es(k)函数。解：我们求解面心立方，同学们做体立方。(1)如只计及最近邻的相互作用，按照紧束缚近似的结果，晶体中 S态电子的能量可表示成:° vviv(R)Es(k) s J。J(Rs)e (Rs)Rs近邻v在面心立方中，有12个最近邻，若取 Rm 0,

23、则这12个最近邻的坐标是： a(1,1,0),a(1,1,0), a(1,1,0), a(1,1,0)2222 a(0,1,1),a(0,1,1),a(0,1,1),a(0,1,1) a(1,0,1)a(1,0,1),a(1,0,1), a(1,0, 1)由于S态波函数是球对称的，在各个方向重叠积分相同，因此vJ (Rs)有相同的值，简单表示为vJ1= J(RS) o又由于 标波函数为偶宇称，即s(v)在近邻重叠积分vJ(Rs)vRs) U(vV(Rs)i( )d中，波函数的贡献为正于是，把近邻格矢v 、 s, v、一, RS代入Es(RS)表达式得到:v vEs(k)S J0v vJ1eik

24、RsRs近邻S J0J1 eaaai-(kx ky)i-(kx ky)i-( kx ky)e 2 e 2i-( ke 2ky)ai2(ky kz) eai2(ky kz) eaaai2( ky kz)'( ky kz)i2(kx kz)e 2 e 2+e 2aai (kx kz)i ( kx kz)e 2 e 2al( kx kz)eS Jo2Jia n cos, (kxky)acos- (kx ky)a cos(ky kz)azlcos,(kykz)acos (kzkx) cos(kzkx)cos( )cos( ) 2cos cosa,a,cos- kz cos kx22, a, a

25、, a, a,s Jo 4Ji cos-kx cos- ky cos ky cos - kz 2222(2)对于体心立方：有8个最近邻，这8个最近邻的坐标是:a a a a -2(1,1,1)，-(1,1,1)，2(1,1,1)，2(1,1,1)a aa a -(1,1,1)，-(1,1,1，)，2(1,1,1)，-(1,1,1)4.7、有一一维单原子链，间距为a,总长度为E(k)函数。(2)求出其能态密度函数的表达式。s/、,- , , a ,a, a ,、E (k) s Jo 8J1(cos kxcos kycos kz) 22 y 2Na。求(1)用紧束缚近似求出原子s态能级对应的能带(

26、3)如果每个原子 s态只有一个电子，求等于 T=oK的费米能级E：及EF处的能态密度。1)rE(k)s JoikaJ1(eika、 e )Jo 2J1coska Eo 2J1coskar E(k)JoJ(Ps)erik Rs(2) , N(E)dkdE2Na(3),koNor(k)2dk 2NaE°E(kF)E 2J1 cosa2a4.12、正方晶格.设有二维正方晶格,用基本方程，近似求出布里渊区角2J1asin kao 2NakF2kFFEs,N(E°)J1sin kaJ1 sina2aNJ1晶体势为 U x,y 4U2 x cos acosa-,-处的能隙.a a解以i?,?表示位置矢量的单位矢量，以？,反表示倒易矢量的单位矢量，则有，r x? yi?G