反比例函数与一次函数与反比例函数综合经典例题解析

1、反比例函数与一次函数综合经典例题解析在历年中考试题中一次函数和反比例函数常以综合题形式出现，这类试题不仅能考查两个函数的基本性质，而且能考查同学们综合分析问题的能力。现以以下典型例题为例，浅谈这类问题的解法，供参考。一.探求同一坐标系下的图象例1.已知函数y mx与y n在同一直角坐标系中白图象大致如图1,则下列结论正x确的是（）A. m0, n0B. m0, n0C. m0, n0D. m0, n0分析：由图知，一次函数y mx中，y随x的增大而增大，所以m 0 ；反比例函数y - x在第二、四象限，所以 n 0。观察各选项知，应选 Bo评注：本题要由所给图象结合一次函数和反比例函数的性质，

2、方能作出正确选择。k例2.在同一直角坐标系中，函数y kx k与y 、（k 0）的图象大致是（）xA.B.C.D.图2分析：本题可采用排除法。由选项A、B的一次函数图象知，k 0即k 0,则一次函数y kx k图象与y轴交点应在y轴负半轴，而选项 A、B都不符合要求，故都排除；k由选项D的一次图象知，k 0即k 0,则反比例函数y （k 0）图象应在第一、三x象限，而选项 d不符合要求，故也排除；所以本题应选a评注：本题把一次函数和反比例函数的图象在同一坐标系中给出，有较强的综合性，解 决这类问题常用排除法。二.探求函数解析式k2 一例3.如图3,直线y k1x b与双曲线y 只有一个交点 A

3、 （1, 2）,且与x轴，y x轴分别交于B, C两点，AD垂直平分OB,垂足为D,求直线与双曲线的解析式。因为因为所以解得k 9解析：因为双曲线y上过点A （1, 2）, xk- 所以2 ”,k2 2 1r ，,2得双曲线的解析式为 y -o xAD垂直平分OR A点的坐标为（1,2）。所以B点的坐标为（2, 0）。y kix b 过点 A （ 1, 2）和 B （2, 0）,ki b 22k1 b 0k12b 4 所以直线的解析式为 y 2x 4 评注：解决本题的关键是确定点B的坐标，由AD垂直OB知，点D和点A的横坐标应相同，所以点D的坐标为（1, 0）,又AD平分OB知，OB 2OD

4、2,所以点B坐标为（2, 0）,进而求出一次函数解析式。三.探求三角形面积4例4.如图4,反比例函数y 一的图象与直线y x1-x的交点为 A, B,过点A作y轴ABC的面积为（）A. 8B. 6C. 4D. 2的平行线与过点B作x轴的平行线相交于点 C,则41斛析：把y一代入y一 x ,得x341-xx 3整理得x2 12解得 x12.3,x2 2.3把x2y/3, x22内分别代入4y ， x得 y1 - -3, y23 3 333所以点A的坐标为（2，3,273）32点B的坐标为（2g -73）3由题意知，点C的横坐标与点A的横坐标相同，点 C的纵坐标与点B的纵坐标相同，所2以点C的坐标

5、为（2展,J3）。 ,3因为 ac 273 243 上币, 333BC 2.3 2.3 4.3所以ABC的面积为-AC BC - 4k3 4 3 822 3故应选A。2例5.如图5,已知点A是一次函数y x的图象与反比例函数 y 的图象在第一象限内 x的交点，点B在x轴的负半轴上，且 OA=OB那么 AOB的面积为（）A. 2B. -2-C. , 2D. 2.2，一 一 22析斛：把y x代入y ,得x , xx整理得x2 2,解得x1v12, x2 22得xiJ2,x2 42分别代入y x得 y- 2V 22又点a在第一象限内，所以点 a的坐标为（J2,J5）在AOC中AC 叵OC 22由勾

6、股定理，得OA 2,所以OB=2所以AOB的面积为1 1-OB AC 2 22 瓢,2 2故应选（C）评注：例4和例5中都利用解方程来求出两函数图象的交点坐标，这是求两函数图象交 点坐标的常用方法，蕴含着转化思想。四.探求点的坐标1例6.如图6,直线y 1x 1分别交x轴、y轴于点A, C,点P是直线AC与双曲线y2在第一象限内的交点，PB x轴，垂足为点B, APB的面积为4。（1）求点P的坐标；（2）略。1析解：在y -x 1中，令x 0,则y 1；令y 0,则x 2。所以点A的坐标为（-2 , 0）,点C的坐标为（0, 1）。 1因为点P的直线y -x 1上，2 1不妨设点P的坐标为（m

7、,-m 1）1 .所以 AB m 2,PB -m 1。21又因为 S apb 1AB PB 4 11所以一（m 2）（ m 1） 422整理得m2 4m 12 0即（m 2）（m 6） 0解得 m1 2,m26因为点P在第一象P所以m 2。故点P的坐标为(2, 2)。评注：本题的解答过程蕴含着设元思想、方程思想和转换思想。五、综合运用例6已知关于x的一次函数y=m肝3n和反比例函数的图象都经过点(12).求:(1) 一次函数和反比例函数的解析式；(2)两个函数图象的另一个交点的坐标.解析：(1)二.两函数图象都过点(1, 2),，一次函数的解析式为y = 4x6,(2)根据题意，列出方程组评注

8、：(1 , 2),则该点坐标满足两解析式；要求两图象交点，则应由两图象的解 析式组成方程组求解.k例7已知一次函数y= x + 6和反比例函数y= (kw0).x(1)k满足什么条件时，这两个函数在同一坐标系 xOy中的图象有两个公共点？(2)设(1)中的两个公共点为 A, B,试判断/ AO配锐角还是钝角？消去 y,得 x26x+k=0. A= 36-4k>0, 1. k<9.当卜9且卜金0时，方程x2-6x+k= 0有两个不相等的非零实数解.*<9且k金0时，两函数图象有两个公共点.(2) ./ = x + 6的图象过第一，二，四象限， 0vkv9时，双曲线两支分别在第一

9、、三象限.由此知两公共点A, B在第一象限，此时/ AO呢锐角.k<0时，双曲线两支分别在第二，四象限，两公共点 A, B分别在第二、四象 限，此时/ AOB是钝角.3例8已知A(m, 2)是直线l与双曲线丫=一的父点.x(1)求m的值；(2)若直线l分别与x轴、y轴相交于E, F两点，并且RtOEF(O是坐标原点) 的外心为点A,试确定直线l的解析式；l绕点A旋转后所得的直线记为l ',若l '与y轴的正半轴相交于点C,若存在，请求出点 P的坐标？若不存在，请说明理由.3解析：:直线l与双曲线y=一的一个交点为A(m, 2),x(2)作AML x轴于M.A点是RtOEF

10、的夕卜心,EA= FA由 AM/ y 轴有 OMk MEOF= 2OM MA= 2,OF= 4. .F点的坐标为(0 , 4).设l : y = kx+ b,则有 .C点坐标为(0 , 1).设B点坐标为(x 1, yi,),则xiyi = 3-设P点坐标为(0 , y),满足$ pca= S>a bok当点P在C点上方时，y>1,有 y = 3.当点P在C点下方时，y<1,有 y = - 2.综上知，在y轴存在点P(0, 3)与(0, 2),使得S4PAC= SA BOK评注：直线与双曲线的综合题的重要组成部分是两种图象的交点，这是惟一能沟通它们的要素，应用交点时应注意：(

11、1)交点既在直线上也在双曲线上，交点坐标既满足直线的解析式也满足双曲 线的解析式.(2)要求交点坐标时，应将两种图象对应的解析式组成方程组，通过解方程组 求出交点坐标.(3)判断两种图象有无交点时，可用判别式确定，也可以画出草图直观地确定.例9如图13 32,已知C, D是双曲线丫= ?在第一象限内的分支上的两点，直线CD分另1J交x轴，y轴于A, B两点，设C, D的坐标分别是(x1, y1),(x2, y2)，连结 oc od析式.证明：(1)如图13 33过点C作CGLx轴，垂足为 G则CG= y1, OG= x1 .,.在 Rt OCC, CGc OC： ca OG解(2):在 RtAGCO, / GCO= /