高三数学第一轮复习：曲线方程及圆锥曲线的综合问题（文）人教实验版（B）

1、高三数学第一轮复习：曲线方程及圆锥曲线的综合问题（文）人教实验版（B）【本讲教育信息】一. 教学内容：曲线方程及圆锥曲线的综合问题二. 课标要求：1. 由方程研究曲线，特别是圆锥曲线的几何性质问题常化为等式解决，要加强等价转化思想的训练；2. 通过圆锥曲线与方程的学习，进一步体会数形结合的思想；3. 了解圆锥曲线的简单应用。三. 命题走向近年来圆锥曲线在高考中比较稳定，解答题往往以中档题或以押轴题形式出现，主要考查学生逻辑推理能力、运算能力，考查学生综合运用数学知识解决问题的能力。但圆锥曲线在新课标中化归到选学内容，要求有所降低，估计2008年高考对本讲的考查，仍将以以下三类题型为主。1. 求

2、曲线（或轨迹）的方程，对于这类问题，高考常常不给出图形或不给出坐标系，以考查学生理解解析几何问题的基本思想方法和能力；2. 与圆锥曲线有关的最值问题、参数范围问题，这类问题的综合性较大，解题中需要根据具体问题、灵活运用解析几何、平面几何、函数、不等式、三角知识，正确的构造不等式或方程，体现了解析几何与其他数学知识的联系。预测高考：出现1道复合其它知识的圆锥曲线综合题；可能出现1道考查求轨迹的选择题或填空题，也可能出现在解答题中间的小问。【教学过程】基本知识要点回顾：1. 曲线方程（1）求曲线（图形）方程的方法及其具体步骤如下：步 骤含 义说 明1、“建”：建立坐标系；“设”：设动点坐标。建立适

3、当的直角坐标系，用（x，y）表示曲线上任意一点M的坐标。(1) 所研究的问题已给出坐标系，即可直接设点。 (2) 没有给出坐标系，首先要选取适当的坐标系。2、现（限）：由限制条件，列出几何等式。写出适合条件P的点M的集合PM|P（M）这是求曲线方程的重要一步，应仔细分析题意，使写出的条件简明正确。3、“代”：代换用坐标法表示条件P（M），列出方程f（x，y）0常常用到一些公式。4、“化”：化简化方程f（x，y）0为最简形式。要注意同解变形。5、证明证明化简以后的方程的解为坐标的点都是曲线上的点。化简的过程若是方程的同解变形，可以不要证明，变形过程中产生增根或失根，应在所得方程中删去或补上（即要

4、注意方程变量的取值范围）。这五个步骤（不包括证明）可浓缩为五字“口诀”：建设现（限）代化”（2）求曲线方程的常见方法：直接法：也叫“五步法”，即按照求曲线方程的五个步骤来求解。这是求曲线方程的基本方法。转移代入法：这个方法又叫相关点法或坐标代换法。即利用动点是定曲线上的动点，另一动点依赖于它，那么可寻求它们坐标之间的关系，然后代入定曲线的方程进行求解。几何法：就是根据图形的几何性质而得到轨迹方程的方法。参数法：根据题中给定的轨迹条件，用一个参数来分别表示动点的坐标，间接地把坐标x，y联系起来，得到用参数表示的方程。如果消去参数，就可以得到轨迹的普通方程。2. 圆锥曲线综合问题（1）圆锥曲线中的

5、最值问题、范围问题通常有两类：一类是有关长度和面积的最值问题；一类是圆锥曲线中有关的几何元素的最值问题。这些问题往往通过定义，结合几何知识，建立目标函数，利用函数的性质或不等式知识，以及观形、设参、转化、替换等途径来解决。解题时要注意函数思想的运用，要注意观察、分析图形的特征，将形和数结合起来。圆锥曲线的弦长求法：设圆锥曲线Cf（x，y）0与直线lykxb相交于A（x1，y1）、B（x2，y2）两点，则弦长|AB|为：若弦AB过圆锥曲线的焦点F，则可用焦半径求弦长，|AB|AF|BF|。在解析几何中求最值，关键是建立所求量关于自变量的函数关系，再利用代数方法求出相应的最值。注意点是要考虑曲线上

6、点坐标（x，y）的取值范围。（2）对称、存在性问题，与圆锥曲线有关的证明问题它涉及到线段相等、角相等、直线平行、垂直的证明方法，以及定点、定值问题的判断方法。（3）实际应用题数学应用题是高考中必考的题型，随着高考改革的深入，同时课本上也出现了许多与圆锥曲线相关的实际应用问题，如桥梁的设计、探照灯反光镜的设计、声音探测，以及行星、人造卫星、彗星运行轨道的计算等。涉及与圆锥曲线有关的应用问题的解决关键是建立坐标系，合理选择曲线模型，然后转化为相应的数学问题作出定量或定性分析与判断，解题的一般思想是：（4）知识交汇题圆锥曲线经常和数列、三角、平面向量、不等式、推理知识结合到一块，出现部分有较强区分度

7、的综合题。【典型例题】例1. 一动圆与圆外切，同时与圆内切，求动圆圆心的轨迹方程，并说明它是什么样的曲线。解一：设动圆圆心为，半径为，设已知圆的圆心分别为、，将圆方程分别配方得：， 当M与O1相切时，有 当M与O2相切时，有 将两式的两边分别相加，得，即 移项再两边分别平方得： 两边再平方得：，整理得，所以，动圆圆心的轨迹方程是，轨迹是椭圆。解二：由解法一可得方程，由以上方程知，动圆圆心到点和的距离和是常数，所以点的轨迹是焦点为、，长轴长等于的椭圆，并且椭圆的中心在坐标原点，焦点在轴上，圆心轨迹方程为。点评：注意定义法求轨迹方程的一般方法、步骤。例2. 双曲线有动点，是曲线的两个焦点，求的重心

8、的轨迹方程。解：设点坐标各为，在已知双曲线方程中，已知双曲线两焦点为，存在，由三角形重心坐标公式有，即 。，。已知点在双曲线上，将上面结果代入已知曲线方程，有即所求重心的轨迹方程为：。点评：转移代入法或相关点法或坐标代换法是求轨迹方程的重要方法。例3. （2001上海，3）设P为双曲线y21上一动点，O为坐标原点，M为线段OP的中点，则点M的轨迹方程是 。解：设P（x0，y0） M（x，y） 2xx0，2yy04y21x24y21点评：利用中间变量法（转移法）是求轨迹问题的重要方法之一。例4. （1）设AB是过椭圆中心的弦，椭圆的左焦点为，则F1AB的面积最大为（ ） A. B. C. D.

9、（2）已知A（3，2）、B（4，0），P是椭圆上一点，则|PA|PB|的最大值为（ ） A. 10B. C. D. 解：（1）如图，由椭圆对称性知道O为AB的中点，则F1OB的面积为F1AB面积的一半。又，F1OB边OF1上的高为，而的最大值是b，所以F1OB的面积最大值为。所以F1AB的面积最大值为cb。选A。点评：抓住F1AB中为定值，以及椭圆是中心对称图形。（2）解：易知A（3，2）在椭圆内，B（4，0）是椭圆的左焦点（如图），则右焦点为F（4，0）。连PB，PF。由椭圆的定义知： ， 所以。 由平面几何知识，即，而， 所以。选C。点评：由PAF成立的条件，再延伸到特殊情形P、A、F共线

10、，从而得出这一关键结论。例5. （06全国1文，21）设P是椭圆短轴的一个端点，为椭圆上的一个动点，求的最大值。解：依题意可设P（0，1），Q（x，y），则|PQ|，又因为Q在椭圆上，所以，x2a2（1y2），|PQ|2a2（1y2）y22y1（1a2）y22y1a2， （1a2）（y）21a2 。因为|y|1，a>1，若a，则1，当y时，|PQ|取最大值，若1<a<，则当y1时，|PQ|取最大值2。点评：若用几何图形看不出最值时，用代数方法即把最值用一个自变量表示出来，转化为函数的最值。例6.（06上海文，21）已知在平面直角坐标系中的一个椭圆，它的中心在原点，左焦点为，右

11、顶点为，设点。求该椭圆的标准方程；若是椭圆上的动点，求线段中点的轨迹方程；过原点的直线交椭圆于点，求面积的最大值。解：由已知得椭圆的半长轴a2，半焦距c，则半短轴b1，又椭圆的焦点在x轴上，椭圆的标准方程为。设线段PA的中点为M（x，y），点P的坐标是（x0，y0），由得由点P在椭圆上，得，线段PA中点M的轨迹方程是。当直线BC垂直于x轴时，BC2，因此ABC的面积SABC1。当直线BC不垂直于x轴时，说该直线方程为ykx，代入，解得B（，），C（，），则，又点A到直线BC的距离d，ABC的面积SABC。于是SABC。由1，得SABC，其中，当k时，等号成立。SABC的最大值是。点评：本题综合

12、了定义法和代入法求轨迹以及用代数方法求最值的问题。文科高考主要考查了圆锥曲线的最值问题，主要是三角形的面积、弦长问题。处理韦达定理以及判别式问题是解题的关键。例7. （06浙江理，19）如图，椭圆1（ab0）与过点A（2，0）B（0，1）的直线有且只有一个公共点T，且椭圆的离心率e。（）求椭圆方程；（）设F、F分别为椭圆的左、右焦点，M为线段AF的中点，求证：ATMAFT。解：（I）过点、的直线方程为因为由题意得有惟一解，即有惟一解，所以 （），故又因为即 所以 从而得 故所求的椭圆方程为（II）由（I）得 故从而由，解得所以 因为又得因此点评：本题主要考查直线与椭圆的位置关系、椭圆的几何性质

13、，同时考查解析几何的基本思想方法和综合解题能力。例8.（06上海理，20）在平面直角坐标系O中，直线与抛物线2相交于A、B两点。求证：“如果直线过点T（3，0），那么3”是真命题；写出（1）中命题的逆命题，判断它是真命题还是假命题，并说明理由。证明：设过点T（3，0）的直线l交抛物线y22x于点A（x1，y1）、B（x2，y2）。当直线l的斜率不存在时，直线l的方程为x3，此时，直线l与抛物线相交于A（3，）、B（3，），3。当直线l的斜率存在时，设直线l的方程为yk（x3），其中k0。 当得ky22y6k0，则y1y26 又x1y， x2y，x1x2y1y23。综上所述，命题“如果直线l过点

14、T（3，0），那么3”是真命题。逆命题是：设直线l交抛物线y22x于A、B两点，如果3，那么该直线过点T（3，0）。该命题是假命题。例如：取抛物线上的点A（2，2），B（，1），此时3，直线AB的方程为y（x1），而T（3，0）不在直线AB上。点评：由抛物线y22x上的点A（x1，y1）、B（x2，y2）满足3，可得y1y26。或y1y22，如果y1y26，可证得直线AB过点（3，0）；如果y1y22， 可证得直线AB过点（1，0），而不过点（3，0）。例9. （06北京文，19）椭圆C：的两个焦点为F1，F2，点P在椭圆C上，且（）求椭圆C的方程；（）若直线l过圆M：x2y24x2y0的圆心

15、，交椭圆C于两点，且A、B关于点M对称，求直线l的方程。解一：（）因为点P在椭圆C上，所以，a3。在RtPF1F2中，故椭圆的半焦距c，从而b2a2c24，所以椭圆C的方程为1。（）设A，B的坐标分别为（x1，y1）、（x2，y2）。已知圆的方程为（x2）2（y1）25，所以圆心M的坐标为（2，1）。从而可设直线l的方程为yk（x2）1，代入椭圆C的方程得（49k2）x2（36k218k）x36k236k270。因为A，B关于点M对称。所以解得，所以直线l的方程为 即8x9y250。（经检验，所求直线方程符合题意）解二：（）同解法一。（）已知圆的方程为（x2）2（y1）25，所以圆心M的坐标为

16、（2，1）。 设A，B的坐标分别为（x1，y1），（x2，y2）。由题意x1x2且 由得：因为A、B关于点M对称，所以x1 x24，y1 y22。代入得，即直线l的斜率为，所以直线l的方程为y1（x2），即8x9y250。（经检验，所求直线方程符合题意。）点评：有关弦中点的问题或对称问题，用点差法（平方差法）可以减少计算量。例10. （06江苏，17）已知三点P（5，2）、（6，0）、（6，0）。（）求以、为焦点且过点P的椭圆的标准方程；（）设点P、关于直线yx的对称点分别为、，求以、为焦点且过点的双曲线的标准方程。解：（I）由题意可设所求椭圆的标准方程为（a>b>0），其半焦距c

17、6，b2a2c29。所以所求椭圆的标准方程为（II）点P（5，2）、F1（6，0）、F2（6，0）关于直线yx的对称点分别为点P，（2，5）、F1（0，6）、F2（0，6）。设所求双曲线的标准方程为。由题意知，半焦距c16，。，b12c12a12362016。所以所求双曲线的标准方程为。点评：本小题主要考查椭圆与双曲线的基本概念、标准方程、几何性质等基础知识和基本运算能力。例11. （06辽宁，20）已知点，是抛物线上的两个动点，是坐标原点，向量，满足。设圆的方程为（I）证明线段是圆的直径；（II）当圆C的圆心到直线x2y0的距离的最小值为时，求p的值。（I）证明一：整理得：设M（x，y）是以

18、线段AB为直径的圆上的任意一点，则即整理得：故线段是圆的直径证明二：整理得：.（1）设（x，y）是以线段AB为直径的圆上则即去分母得：点满足上面方程，展开并将（1）代入得：故线段是圆的直径证明三： 整理得：（1）以线段AB为直径的圆的方程为展开并将（1）代入得：故线段是圆的直径（II）解一：设圆C的圆心为C（x，y），则又因所以圆心的轨迹方程为设圆心C到直线x2y0的距离为d，则当yp时，d有最小值，由题设得。解二：设圆C的圆心为C（x，y），则 又因 所以圆心的轨迹方程为设直线x2ym0到直线x2y0的距离为，则因为x2y20与无公共点，所以当x2y20与仅有一个公共点时，该点到直线x2y0

19、的距离最小值为将（2）代入（3）得解三：设圆C的圆心为C（x，y），则圆心C到直线x2y0的距离为d，则又因 当时，d有最小值，由题设得。点评：本小题考查了平面向量的基本运算，圆与抛物线的方程。点到直线的距离公式等基础知识，以及综合运用解析几何知识解决问题的能力。例12. （07山东文22）已知椭圆的中心在坐标原点，焦点在轴上，椭圆上的点到焦点距离的最大值为，最小值为。（）求椭圆的标准方程；（）若直线与椭圆相交于，两点（不是左右顶点），且以为直径的圆过椭圆的右顶点，求证：直线过定点，并求出该定点的坐标。解：（I）由题意设椭圆的标准方程为，（II）设，由得，。 以AB为直径的圆过椭圆的右顶点，解

20、得，且满足。当时，直线过定点与已知矛盾；当时，直线过定点综上可知，直线过定点，定点坐标为点评：本题是山东高考题文理唯一相同的解答题，文科是最后一题，理科为倒数第二题；考查的是通性、通法和学生的计算能力，方程和分类讨论的思想。思维小结1. 注意圆锥曲线的定义在解题中的应用，注意解析几何所研究的问题背景平面几何的一些性质；2. 复习时要突出“曲线与方程”这一重点内容曲线与方程有两个方面：一是求曲线方程，二是由方程研究曲线的性质。这两方面的问题在历年高考中年年出现，且常为压轴题。因此复习时要掌握求曲线方程的思路和方法，即在建立了平面直角坐标系后，根据曲线上点适合的共同条件找出动点P（x，y）的纵坐标

21、y和横坐标x之间的关系式，即f（x，y）0为曲线方程，同时还要注意曲线上的点具有条件，确定x，y的范围，这就是通常说的函数法，它是解析几何的核心，应培养善于运用坐标法解题的能力，求曲线的常用方法有两类：一类是曲线形状明确且便于用标准形式，这时用待定系数法求其方程；另一类是曲线形状不明确或不便于用标准形式表示，一般可用直接法、间接代点法、参数法等求方程。二是如何将解析几何的位置关系转化的代数数量关系进而转化为坐标关系，由方程研究曲线，特别是圆锥曲线的几何性质问题常化为等式解决，要加强等价转化思想的训练。3. 重视对数学思想、方法进行归纳提炼，达到优化解题思维、简化解题过程方程思想，解析几何的题目

22、大部分都以方程形式给定直线和圆锥曲线，因此把直线与圆锥曲线相交的弦长问题利用韦达定理进行整体处理，就简化了解题运算量。用好函数思想方法对于圆锥曲线上一些动点，在变化过程中会引入一些相互联系、相互制约的量，从而使一些线段的长度及a，b，c，e之间构成函数关系，函数思想在处理这类问题时就很有效。掌握坐标法坐标法是解析几何的基本方法，因此要加强坐标法的训练。对称思想由于圆锥曲线和圆都具有对称性质，可使分散的条件相对集中，减少一些变量和未知量，简化计算，提高解题速度，促成问题的解决。参数思想参数思想是辩证思维在数学中的反映，一旦引入参数，用参数来划分运动变化状态，利用圆、椭圆、双曲线上点用参数方程形式

23、设立或（x0、y0）即可将参量视为常量，以相对静止来控制变化，变与不变的转化，可在解题过程中将其消去，起到“设而不求”的效果。除上述常用数学思想外，数形结合、分类讨论、等价转化思想、整体思想、构造思想也是不可缺少的思想方法，复习也应给予足够的重视。【模拟试题】一、选择题1. 若抛物线上一点到准线的距离等于它到顶点的距离，则点的坐标为（ ）A. B. C. D. 2. 椭圆上一点与椭圆的两个焦点、的连线互相垂直，则的面积为（ ）A. B. C. D. 3. 若点的坐标为，是抛物线的焦点，点在抛物线上移动时，使取得最小值的的坐标为（ ）A. B. C. D. 4. 与椭圆共焦点且过点的双曲线方程是（ ）A. B. C. D. 5. 若直线与双曲线的右支交于不同的两点，那么的