第六章-欧几里得空间

1、2021/8/21第六章第六章 欧几里得空间欧几里得空间 (Euclid Spaces)第一节第一节 欧几里得空间欧几里得空间6.1 6.1 向量的标准内积向量的标准内积6.2 6.2 标准正交基标准正交基第二节第二节 正交变换正交变换2021/8/22第一节第一节 欧几里得空间欧几里得空间一、基本概念设V是实线性空间,如果存在一个法则 , f使得 中任意两个向量 有 中V, R一个确定的实数 与之对应,且具有如下性质:( ,) 1) 对称性: ( ,)( ,) 3) 正定性: 0,( ,)0 有2) 线性性: (, )( , )( , ) (,)( ,)kk 这里 ,那么实数 称为 与 内积

2、,而 称为关于这个内积的 ,V kR ( ,) V的欧氏空间,简称欧氏空间.定义:2021/8/23., , 22112121的的内内积积与与称称为为向向量量令令维维向向量量设设有有yxyxyxyxyxyxyyyyxxxxnnnnn 我们我们., 都是列向量都是列向量其中其中内积的矩阵表示内积的矩阵表示yxyxyxT 2021/8/24nR),.,(21nxxx),.,(21nyyynnyxyxyx.,2211例例 在规定 里,对于任意两个向量容易验证,关于内积的公理被满足,因而 nR对于这样定义的内积来说作成一个欧氏空间. nR),.,(21nxxx),.,(21nyyynnyxyxyx.,

3、2211例例 在规定 里,对于任意向量不难验证, 也作成一个欧氏空间. nR2021/8/25定义定义).(,22221或范数的长度维向量称为令xnxxxxxxxn向量的长度具有下列性质：向量的长度具有下列性质：.)3(;)2(; 0,0; 0,0)1(yxyxxxxxxx 三三角角不不等等式式齐齐次次性性时时当当时时当当非非负负性性 2 欧几里德空间的基本性质2021/8/26.,1为为单单位位向向量量称称时时当当xx ).0( , 1, 2时时当当从从而而有有不不等等式式向向量量的的内内积积满满足足施施瓦瓦茨茨 yxyxyxyyxxyx2021/8/27定义定义.,arccos ,0, 0

4、的的夹夹角角与与维维向向量量称称为为时时当当yxnyxyxyx ., 0.,0,与任何向量都正交与任何向量都正交则则若若正交正交与与称向量称向量时时当当xxyxyx 2021/8/28约定：单独一个非零向量也叫一个正交组。 欧氏空间 的一组非零向量，如果它们两两正交(内积等于零)，就称之为一个正交组。全由单位向量构成的正交组称为标准正交组。V在 中，3R123(1,0,0),(0,1,0),(0,0,1)与1231111(0,1,0),(,0,),(,0,)2222为标准正交基，而12(1,0,1),(0,2,0)ee是是正交组但不是标准正交组3 标准正交基底定义定义例例2021/8/29定理

5、 正交组必是线性无关组。 iiinjjijnjjjiiaaa,0 ,011证：证：设有 Raaan,21使得 02211nnaaa因为当ij 时 0,ji，所以 但 0,ii，所以 , 2 , 1nai即 n,21线性无关. 2021/8/21012,n Vn设 为维欧氏空间，若基而由标准正交组作成的基称为标准正是正交组，则称之为 的一个正交基。V交基。n维欧氏空间中正交组中向量的个数 n 的标准正交基是存在的但不是唯一的。nR定义定义注意注意Rn2021/8/211标准正交基的性质设 为 的一个正标准正交基，而 12,n V1 122nnxxx12,n 12,n 1 122nnyyy则1(,

6、),(,)niiiiix i) 1(,)niiix y ii) 维欧氏空间 的标准正交基是存在的。nV 为 的一个正标准正交基的充分 的度量矩阵V( ,)ijij 12,n 12,n 必要条件是( ,)ijn nAE 。即122021/8/212 维欧氏空间中任一个正交向量组都能扩充成一组标准正交基. n对于 维欧氏空间中任一组基都可以找到一组标准正交基 ，使得 ,即 n12,n 12,n 1212(,)( ,),1,2,iiLLin 12( ,),1,2,iiLin 定理定理2021/8/2131,2,kn112122111121121112211(,)(,)(,)(,)(,)(,)(,)(

7、,)kkkkkkkkk ,1,2,|iiiin施密特正交化方法施密特正交化方法2021/8/214例例 在欧氏空间 3R中对基 )3 , 0 , 2(),2 , 1 , 0(),1 , 1 , 1 (321施行正交化方法得出 3R的一个标准正交基. 31,31,31|111解解: :第一步，取2021/8/215第二步，先取) 1 , 0 , 1(31,31,313)2 , 1 , 0(,11221111222然后令21, 0 ,21|2222021/8/216第三步，取 65,35,6521,21,212131,31,3135)3 , 0 , 2(,231133222231111333再令6

8、1,62,61|333于是 321,就是 3R的一个规范正交基。 2021/8/217定义定义.),( 1为为正正交交矩矩阵阵那那么么称称即即满满足足阶阶矩矩阵阵如如果果AAAEAAAnTT .)(的的一一个个规规范范正正交交基基向向量量构构成成向向量量空空间间行行个个列列的的正正交交矩矩阵阵RnAn第二节第二节 正交变换正交变换方阵为正交矩阵的充分必要条件是的行方阵为正交矩阵的充分必要条件是的行（列）向量都是单位向量，且两两正交（列）向量都是单位向量，且两两正交AA2021/8/218定义定义若为正交矩阵，则线性变换称为若为正交矩阵，则线性变换称为正交变换正交变换正交变换的特性在于保持线段的

9、长度不变正交变换的特性在于保持线段的长度不变.,xxxpxPxyyyPxyTTTT 则则有有为为正正交交变变换换设设PPxy 2021/8/219dcbaU设是 的一个正交变换，关于 的一个规范正交基 的矩阵是2V21,2V那么U 是一个正交矩阵. 于是（2 2） 0, 1, 12222bdaddbca由第一个等式，存在一个角，使a = cos ，c = sinV2空间的正交变换2021/8/220由于cos cos = = cos(cos()， sin sin = = sinsin（）因此可以令a a = = cos cos ，c = sin c = sin 这里 =或 . 同理，由（4）的

10、第二个等式，存在一个角使b b = = coscos，d d = = sinsin将a, b, c, d代入（4）的第三个等式得CosCoscoscos + sin+ sinsinsin = 0 = 0或cos(cos(+ +) = 0) = 02021/8/221最后等式表明， 是 的一个奇数倍. 由此得cossin,sincos 所以cossinsincosU或 cossinsincosU222021/8/222 在前一情形中，是将 的每一向量旋转角的旋转； 2V 这样， 的正交变换或者是一个旋转，或者是关于一条过原点的直线的反射. 2Vxy)2tan(2V坐标的向量. 这时是直线的反射.

11、 在后一情形，将 中以（x, y）为坐标的变量变成以(xcos+ysin, xsinycos) 为2021/8/223;, 2 , 1,),()(111njiaaaaijjknkikijkjnkki 或或交条件交条件元素满足正元素满足正或行或行证明矩阵的各列证明矩阵的各列方法方法.,2EAAATT 验验证证然然后后先先求求出出根根据据正正交交阵阵的的定定义义方方法法一、如何证明所给矩阵为正交矩阵2021/8/224.)/(2,为为正正交交矩矩阵阵证证明明阶阶单单位位矩矩阵阵为为维维列列向向量量是是设设aaaaEAnEnaTT 例例1 1证明证明.,EAAAATT 证证义义验验然然后后根根据据正

12、正交交矩矩阵阵的的定定先先验验证证)/2(aaaaEATTTT aaaaETT)/2( ,A AAT)/2()/2(aaaaEaaaaETTTT AA 2021/8/225.)()( /4)( /2)( /22aaaaaaaaaaaaaaETTTTTTT .2,1是是正正交交矩矩阵阵时时特特别别当当aaEAaaTT , 0为为一一非非零零数数aaaT ),)()(aaaaaaaaTTTT 故故,)/(4)/(4EaaaaaaaaEAATTTTT .是正交矩阵是正交矩阵故故A2021/8/226将线性无关向量组化为正交单位向量组，可将线性无关向量组化为正交单位向量组，可以先正交化，再单位化；也可

13、同时进行正交化与以先正交化，再单位化；也可同时进行正交化与单位化单位化.,1001,0101,0011321向量组向量组求与之等价的正交单位求与之等价的正交单位无关向量组无关向量组是线性是线性已知向量已知向量 例2例2二、将线性无关向量组化为正交单位向量组2021/8/227解一解一先正交化，再单位化先正交化，再单位化;)1(11 取取,)2(12212正正交交与与使使得得令令 k, 0,211121 k,21,1121 k;0121212 故故2021/8/228得得交交正正与与且且令令, , )3(123322113 kk,21,11311 k,31,22222 k.13131313 故故2021/8/229得得单单位位化化将将,)4(321 333 111 222 ;002121 ;0626161 .23)32(1)32(1)32(1 2021/8/230解二解二同时进行正交化与单位化同时进行正交化与单位化并并单单位位化化得得取取,)1(11