人教版必修五含参不等式和恒成立问题(含答案)

1、含参不等式专题元二次不等式含参问题含参不等式的解法：由于解含参数不等式的主要目的是求未知数的取值集合，而不是求参数的范围，因此在分析含参数不等式时，把参数看成是常数，确定不等式的类型，按相应类型不等式的解题方法进行转化"旦在求解过程中要审视参数对不等式类型、同解变形、解的结构等是否有不确定性影响，若有不确定性则进行分类讨论，否则不予讨论。解含参数的一元二次不等式，通常情况下，均需分类讨论，对含参一元二次不等式常用的分类方法有三种：(1)按X2项的系数a的符号分类5即aO,a=O,a:0；(2)按判别式A的符号分类，即0,0,:0；(3)按方程ax2bxe=0的根X,X2的大小来分类，

2、即X：X2,Xi=x2；例题1：解X的不等式：(1)X2ax40o(2)2ax2+a+1aO(aR)例题2:解关于x的不等式：(l)axyaDx0.(2)kx2(k-1)x0(kR)(2)一八2_2侬 R)x + 2例题3：解不等式(l)x2-(a二)xT:0(a=0).a二、一元二次不等式恒成立问题a> 0它的解集为R的条件为1、不等式对任意实数恒成立,就是不等式的解集为R,对于一元二次不等式ax2+bx+c>0,；ax2 bx c 03<0;ax2+bx+c<0的解集为R的条件为LA<0a>0ax2+bx+cA0的解集为R的条件为a<0A<0

3、的解集为R的条件为JA<0方法一：转化为函数的最值(或值域)(1)f(x)_m对任意x都成立2、对于一般恒成立问题：二f(X)min-m；(2)f(X)_m对任意X都成立f(X)max。简单计作：“大的大于最大的，小的小于最小的”。方法二：数形结合，如果不等式中涉及的函数、代数式对应的图象、图形较易画出时，可通过图象、图形的位置关系建立不等式求得参数范围.方法三：分离参数，把要求的参变量分离出来，单独放在不等式的一侧，将另一侧看成新函数，于是将问题转化成新函数的最值问题；(1)对于I取值范围内的任一个数都有恒成立，则；(2)对于取值范围内的任一个数都有；恒成立，则-'匚二例题1：

4、若y=回廿夕七)的定义域为R,求b范围°例题2:已知关于x的不等式(a-2)xya-2)x,1_0恒成立，试求a的取值范围.例题3：已知f(x)=x2-axT,求使不等式f(x):0对任意x1,2恒成立的a的取值范围。【巩固训练】1'解不等式x25ax6a202、解关于x的不等式x2-(aT)x-a03、解关于X的不等式:ax2-2(aT)x-4.04、不等式x2xp1p2X对x(1,：:)恒成立，求P的范围。5、已知函数f(x)=axi；4x-x2,x(0,4时f(xp:0恒成立,求实数a的取值范含参不等式专题答案例题1：解:当a：；厂4,4即.一：0，Jxxfx工a、；当

5、a4或a：-4即：0,此时两根分别为-a-a2-16X22，显然刘-X2,-不等式的X'解集为当a启0，解集为R；当a兰-1，解集为0解集R；当a=4即4=0,解集Xiaa-16a'16或*22；当-1<av0，解集-，a1,V-2a'V-2a元二次不等式含参问题例题2：解：（1）当ac。时，解集为当Ocacl时，解集为xlcxcax1VX<11.a（2）当k=O，解集是（：。；：解集是（-：/%（0,：）;当k0，k1；当a=0时,解集为xx1）；±当a=1时，解集为二当a1时，解集为当。：k空1，解集是（小。）一。WL工”，当解集是。k,0）。

6、k例题3：解：（1）当a：.1或0：aJ,：1a,当a=1或a-1时，可得其解集为；当x|-excar。a,22（2）当a：1时，x卜2：x_）；当<-21；四a-2'2；当&2时，xx：2,x时，原不等式的解集为,ixa:1X:-1：a：。或a1时，解集为/.1:m=1时，；当1va：2时，x|一YZVa-22彳a=2时，xx:-元二次不等式恒成立问题例题1：解：；y=lg(x?5x-b)的定义域为R,即X25x-b0恒成立.一元二次不等式x2-5x-b.O的解集为R.例题2：解：由题意知：当a-2=0，即a=2时，不等式化为1_0，它恒成立，满足条件当a-2=0，即a

7、=2时，原题等价于综上：例题3：解法1：数形结合结合函数f(x)的草图可知f(X):0,x-1,2时恒成立二5=2一。得a§。所以a的取值范围是言寸)f(2)=5-2a：02解法2:转化为最值研究当空拦即a乞3时,f(x)在1,2上的最大值2255f(x)max=f(2)=5-2a：(X得a，所以3A3°22当-3即a3时，f(x)在1,2上的最大值f(X)max=f=2-a：。，得a2，所以22a-3。综上：a的取值范围是(2=)。2注：1.此处是对参数a进行分类讨论，每一类中求得的a的范围均合题意,故对每一类中所神肛a的范围求并集。2.f(x):m,xI恒成立二f(x)

8、max:m(m为常数)；f(X)m,xI恒成立二f(x)minm(m为常数)解法3:分离参数1、1X2-ax1:0,x1,2二aX,x1,2。设g(x)二x,ag(x)max,XX当X.【阳时g(x)max=g(2)=5，所以a的取值范围是(2:)。22注：1.运用此法最终仍归结为求函数g(x)的最值，但由于将参数a与变量x分离，因此在求最值时避免了分类讨论，使问题相对简化。2.本题若将“x-1,2”改为“X.(1,2)可类似上述三种方法完成。【巩固训练】1、解：因式分解，得：(X3a)(x2a)0,方程(x-3a)(x2a)=0的两根为_3a,_2a当-3a2a即a0时，解集为：xIx-3a

9、或x：-2a；当-3a=2a即a=0时，解集为：xIR且x=0;当-3a：2a即a0时，解集为：xIx-2a或-3a.综上，a:0时，解集为：xIx-3a或x：-2a;a=0时，解集为：xIxR且x=0;a0时，解集为：xIx-2a或xv-3a.3、解：/ax2-2(a1)x4.0/.(ax-2)(x-2)0二当a=0时，x：2；a=0时，原不等式变为(ax2)(x2).0; a：0时，2：x<2;a 0：a<1时，x：2,或x2；aa1时，x或x2.a注意：该分类讨论就分类讨论！4、解：原不等式可转化为x2(p2)x1-p0对x(1/：)T亘成立。当:(p2)2-4(1-p):0时,即-8p.O时，对一切X。：)，f(x)0恒成立；当么=(P2)2.4(1-p)_0时A>0«f>0，解得pAO；综上，P的范围为pE8,火田)。(你还有其他P+2d<1