椭圆定义与性质(全)(课堂PPT)

1、如何精确地设计、制作、建造出现实生活中这些椭圆形的如何精确地设计、制作、建造出现实生活中这些椭圆形的物件呢？物件呢？生生活活中中的的椭椭圆圆仙女座星系星系中的椭圆星系中的椭圆“传说中的传说中的”飞碟飞碟思思考考数学实验数学实验 (1)取一条细绳，取一条细绳， (2)把它的两端固定在板把它的两端固定在板上的两个定点上的两个定点F1、F2 (3)用铅笔尖（用铅笔尖（M）把细）把细绳拉紧，在板上慢慢移绳拉紧，在板上慢慢移动看看画出的动看看画出的 图形图形1.1.在椭圆形成的过程中，细绳的两端的位置是固定的还是运动在椭圆形成的过程中，细绳的两端的位置是固定的还是运动的？的？2.2.在画椭圆的过程中，绳

2、子的长度变了没有？说明了什么？在画椭圆的过程中，绳子的长度变了没有？说明了什么？3.3.在画椭圆的过程中，绳子长度与两定点距离大小有怎样的关在画椭圆的过程中，绳子长度与两定点距离大小有怎样的关系？系？请你归纳出椭圆的定义请你归纳出椭圆的定义, ,它应该包含几个要素它应该包含几个要素? ?F2F1M(1)(1)由于绳长固定，所以点由于绳长固定，所以点M M到两到两个定点的距离和是个定值个定点的距离和是个定值（2 2）点）点M M到两个定点的距离和要大到两个定点的距离和要大 于两个定点之间的距离于两个定点之间的距离（一）椭圆的定义（一）椭圆的定义 平面内到两个定点平面内到两个定点F1，F2的距离之

3、和等于常数的距离之和等于常数 （2a） （大于（大于|F1F2 |）的点的轨迹叫椭圆。）的点的轨迹叫椭圆。 定点定点F1、F2叫做椭圆的焦点。叫做椭圆的焦点。 两焦点之间的距离叫做焦距（两焦点之间的距离叫做焦距（2C）。）。椭圆定义的文字表述：椭圆定义的文字表述：椭圆定义的符号表述：椭圆定义的符号表述：aMFMF221(2a2c)MF2F1小结：椭圆的定义需要注意以下几点小结：椭圆的定义需要注意以下几点1.1.平面上平面上-这是大前提这是大前提2.2.动点动点M M到两定点到两定点F F1 1，F F2 2的距离之和是常数的距离之和是常数2a 2a 3.3.常数常数2a2a要大于焦距要大于焦距

4、2C2C思考：思考：1.当当2a2c时时,轨迹是（轨迹是（ ）椭圆椭圆2.当当2a=2c时时,轨迹是一条线段轨迹是一条线段, 是以是以F1、F2为端为端 点的线段点的线段 3.当当2a0)，M与与F1和和F2的距离的和等于正的距离的和等于正常数常数2a (2a2c) ，则，则F1、F2的坐的坐标分别是标分别是( c,0)、(c,0) .xF1F2M0y（问题：下面怎样（问题：下面怎样化化简？）简？）122MFMFa222212(),()MFx cyMFx cyaycxycx2)()(2222 得方程由椭圆的定义得，由椭圆的定义得，限限制条件制条件：代代入坐标入坐标2.椭圆的标准方程的推导222

5、222bayaxb 22ba两边除以两边除以 得得).0(12222babyax设所以即,0,2222cacaca),0(222bbca由椭圆定义可知由椭圆定义可知整理得整理得2222222)()(44)(ycxycxaaycx 222)(ycxacxa 2222222222422yacacxaxaxccxaa 两边再平方，得两边再平方，得)()(22222222caayaxca移项，再平方移项，再平方) 0( 12222babxay总体印象：对称、简洁，总体印象：对称、简洁，“像像”直线方程的截距直线方程的截距式式012222babyax焦点在焦点在y轴：轴：焦点在焦点在x轴：轴：椭圆的标准

6、方程1oFyx2FMaycxycx2)()(2222axcyxcy2)()(222212yoFFMx0 12222babyax 0 12222babxay图图 形形方方 程程焦焦 点点F( (c，0)0)F(0(0，c) )a,b,c之间的关系之间的关系c2 2= =a2 2- -b2 2MF1+MF2=2a (2a2c0)定定 义义12yoFFMx1oFyx2FM两类标准方程的对照表注注: : 共同点：共同点：椭圆的标准方程表示的一定是焦点在坐标轴上，椭圆的标准方程表示的一定是焦点在坐标轴上，中心在坐标原点的椭圆；方程的中心在坐标原点的椭圆；方程的左边是平方和，右边是左边是平方和，右边是1.

7、2x2y不同点：焦点在不同点：焦点在x轴的椭圆轴的椭圆 项分母较大项分母较大. 焦点在焦点在y轴的椭圆轴的椭圆 项分母较大项分母较大. 练习1：判定下列椭圆的焦点在哪个轴，并指 明a2、b2，写出焦点坐标2212516xy+=答：在答：在 X 轴（轴（-3，0）和（）和（3，0）221144169xy+=答：在答：在 y 轴（轴（0，-5）和（）和（0，5）222211xymm+=+答：在答：在y 轴。（轴。（0，-1）和（）和（0，1）判断椭圆标准方程的焦点在哪个轴上的准则：判断椭圆标准方程的焦点在哪个轴上的准则： 焦点在分母大的那个轴上。焦点在分母大的那个轴上。11625)2(22yx11

8、)3(2222mymx11616)1(22yx0225259)4(22yx123)5(22yx11624)6(22kykx1.口答：下列方程哪些表示椭圆？口答：下列方程哪些表示椭圆？22,ba 若是若是,则判定其焦点在何轴？则判定其焦点在何轴？并指明并指明 ，写出焦点坐标，写出焦点坐标.?2222xy1.1xa3a( )xy2.1yb9b( )方程表示焦点在 轴上的椭圆，则 的范围为。方程表示焦点在 轴上的椭圆，则 的范围为。0b3a3练习：练习：1.方程4x2+ky2=1的曲线是焦点在y轴上的椭圆，则k的范围是 . 2.椭圆mx2+ny2=-mn(mnba( 1=by+ax222219252

9、2 yx)0y（ yoBCAx 2a=10, 2c=8 a=5, c=4 b2=a2c2=5242=9所求椭圆的标准方程为所求椭圆的标准方程为: 注意：求出曲线的方程后，要注意检查一下注意：求出曲线的方程后，要注意检查一下 方程的曲线方程的曲线上的点是否都是符合题意。上的点是否都是符合题意。例例2、写出适合下列条件的椭圆的标准方程、写出适合下列条件的椭圆的标准方程 (1) a =4，b=1，焦点在，焦点在 x 轴轴上上； (2) a =4，b=1，焦点在坐标轴上；，焦点在坐标轴上； (3) 两个焦点的坐标是（两个焦点的坐标是（ 0 ，-2）和（）和（ 0 ，2），并且经），并且经 过点过点P（

10、 - -1.5 ，2.5）.解解： 因为椭圆的焦点在因为椭圆的焦点在y轴上，轴上， 设它的标准方程为设它的标准方程为 )0(12222babxay c=2，且 c2= a2 - b2 4= a2 - b2 又又椭圆经过点椭圆经过点2523， 1)()(22232225ba联立联立可求得：可求得：6,1022ba11622 yx椭圆的椭圆的标准方程为标准方程为 161022xy(法一法一)xyF1F2P11622yx11622 yx或(法二法二) 因为椭圆的焦点在因为椭圆的焦点在y轴上，所以设它的轴上，所以设它的标准方程为标准方程为由椭圆的定义知，由椭圆的定义知，.6410,2.10,10210

11、211023)225()23()225()23(22222222cabcaa又所以所求椭圆的标准方程为所以所求椭圆的标准方程为.161022xy)0(12222babxay练习：练习：求适合下列条件的椭圆的标准方程：求适合下列条件的椭圆的标准方程：(2)焦点为焦点为F1(0,3),F2(0,3),且且a=5.22(2) 1251 6yx22(1)16 xy答案：(1)a= ,b=1,焦点在焦点在x x轴上轴上; ;(3)两个焦点分别是两个焦点分别是F1(2,0)、F2(2,0),且过且过P(2,3)点；点； (4)经过点经过点P(2,0)和和Q(0,3).22(3 ) 11 6 1 2xy22

12、(4 ) xy+= 149小结：求椭圆标准方程的步骤：小结：求椭圆标准方程的步骤：定位：定位：确定焦点所在的坐标轴；确定焦点所在的坐标轴；定量：定量：求求a, b的值的值.6例例1 ： 已知一个运油车上的贮油罐横截面的外轮廓线是一已知一个运油车上的贮油罐横截面的外轮廓线是一 个椭圆，个椭圆， 它的焦距为它的焦距为2.4m，外轮廓线上的点到两个焦点距离的和为，外轮廓线上的点到两个焦点距离的和为 3m，求这个椭圆的标准方程，求这个椭圆的标准方程解：解：以两焦点以两焦点F1、F2所在直线为所在直线为x轴，线段轴，线段F1F2的垂直平分线为的垂直平分线为 y 轴，建立如图所示的直角坐标系轴，建立如图所

13、示的直角坐标系xOy，则这个椭圆的标准，则这个椭圆的标准方程可设为方程可设为222210 xyabab 根据题意有根据题意有23a ，22.4c 1.5a ，1.2c 即即222221.51.20.81bac因此，这个椭圆的标准方程为因此，这个椭圆的标准方程为2212.250.81xy xyOF1F2求椭圆标准方程的方法求椭圆标准方程的方法一种方法：一种方法：二类方程二类方程: 12222byax0 12222babxay解：解：例例1 ：将圆将圆x x2 2+y+y2 2 = 4 = 4上的点的横坐标保持不变，上的点的横坐标保持不变，纵坐标变为原来的一半，求所的曲线的方程，纵坐标变为原来的一

14、半，求所的曲线的方程，并说明它是什么曲线？并说明它是什么曲线？yxo设所的曲线上任一点的坐标为（x，y）,圆 上的对应点的坐标为（x，y），由题意可得：22yx yyxx2/22yx因为所以4422yx即1422 yx1 1）将圆按照某个方向均匀地压缩）将圆按照某个方向均匀地压缩（拉长），可以得到椭圆（拉长），可以得到椭圆。2 2）利用中间变量求点的轨迹方程）利用中间变量求点的轨迹方程的方法是解析几何中常用的方法；的方法是解析几何中常用的方法；练习练习(1)到到F1(-2,0)、F2(2,0)的距离之和为的距离之和为6的点的轨迹。的点的轨迹。(2)到到F1(0,-2)、F2(0,2)的距离之和

15、为的距离之和为4的点的轨迹。的点的轨迹。(3)到到F1(-2,0)、F2(0,2)的距离之和为的距离之和为3的点的轨迹。的点的轨迹。解解 (1)因因|MF1|+|MF2|=6|F1F2|=4，故点，故点M的轨迹为椭圆。的轨迹为椭圆。(2)因因|MF1|+|MF2|=4=|F1F2|=4，故点，故点M的轨迹不是椭的轨迹不是椭圆圆(是线段是线段F1F2)。，故点M的轨迹为椭圆，故点M的轨迹为椭圆2 22 2| |F FF F| |3 3| |MFMF| | |MFMF| |因因2 21 12 21 1 (3)116422yx222212(2 / 3)xy12)3/2(2222yx1 1、已知一个圆

16、的圆心为坐标原点，半径为、已知一个圆的圆心为坐标原点，半径为2 2，从这，从这个圆上个圆上任意一点任意一点P向向x轴作垂线段轴作垂线段PP，延长，延长PP至至M,使使PM=2 PP，求点，求点M的轨迹。的轨迹。2 2、已知一个圆的圆心为坐标原点，半径为、已知一个圆的圆心为坐标原点，半径为2 2，从这个，从这个圆上圆上任意一点任意一点P向向x轴作垂线段轴作垂线段PP。求线段。求线段PP上使上使PM=2MP的点的点M的轨迹。的轨迹。3 3、已知一个圆的圆心为坐标原点，半径为、已知一个圆的圆心为坐标原点，半径为2 2，从这个，从这个圆上圆上任意一点任意一点P向向y轴作垂线段轴作垂线段PP。求求PP上

17、上PP=-3PM的点的点M的轨迹。的轨迹。练习练习 例例2 已知圆已知圆A：(x3)2y2100，圆，圆A内一内一定点定点B(3，0)，圆，圆P过过B点且与圆点且与圆A内切，求圆心内切，求圆心P的轨迹方程的轨迹方程2解解：设：设PBr圆圆P与圆与圆A内切，圆内切，圆A的半径为的半径为10两圆的圆心距两圆的圆心距PA10r，即即PAPB10(大于大于AB)点点P的轨迹是以的轨迹是以A、B两点为焦点的椭圆两点为焦点的椭圆2a10，2cAB6，a5，c3b2a2c225916即点即点P的轨迹方程为的轨迹方程为 1222516xy171622yx4、三角形三角形ABC的三边的三边a、b、c 成等差数列，成等差数列，A、C的坐标分别为（的坐标分别为（-1，0），（），（1，0），），求顶点求顶点B的轨迹。的轨迹。)0( 13422yyx5、一动圆过点一动圆过点B（-3，0），），64)3( :22yxC内切，求该动圆圆心内切，求该动圆圆心M 的轨迹方程。的轨迹方程。而且与圆而且与圆3-3xyMABC221201212715430 ,yxPFFFPFFPF、已知点 是椭圆上的一点， 、 是