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文档简介

1、对含绝对值不等式的一个猜想的证明及应用 马乾凯、雷添淇 ( 沈阳大学 沈阳市数学会， 辽宁 沈阳 110044 )猜想：设函数（）.若时，无最大值；若时，,无最小值；若时，. （ 当，、 ）证明：(方法一）（）.当n=1时，猜想显然成立.现考虑时的情况：（I）若时，不妨假设（）当时，当时， 当时， 当时，当时， 在上单调递减，在上单调递增.为R上的连续函数在闭区间上存在最大值和最小值. 闭区间且在上均为直线段在上均有最值，且最值均在端点处取得.又且是R上的连续函数，因此，可画出在R上的图象草图由图象可知：无最大值；（II）若时，不妨假设（）令 由（I）可知，； 无最大值.无最小值； .（III

2、）若时，不妨假设（）当时， 当时， 当时， 当时，当时， 为R上的连续函数在闭区间上存在最大值和最小值.闭区间且在上均为直线段在上均有最值，且最值均在端点处取得.因此，可画出在R上的图象草图由图象可知：；.综上（I）、（II）、（III），时猜想的成立.因此，猜想成立，证毕.（方法二：数学归纳法）当n=1时，显然成立. 当n=2时，函数A. 若时不妨假设（1） 当时 （2） 当时 （3） 当时 在上单调递减，在上单调递增.又为R上的连续函数 在闭区间上存在最大值和最小值. 当 即在上为直线段在上的最值在端点处取得.又且是R上的连续函数，因此，可画出函数在R上的图象草图如下：或由图象可知：；无最

3、大值. B. 若时不妨假设 函数 令 即此时为A情况. 由A可知 ； 无最大值. 无最小值；.C. 若时， 不妨假设 函数 （1）当时 （2）当时 （3）当时 为R上的连续函数 在闭区间上存在最大值和最小值.又在上为直线段 在上的最值在端点处取得. 因此，可画出在R上的图象草图如下：或由图象可知：；.综上A、B、C，当时，猜想的结论成立.假设当（）时，猜想的结论成立.则当时，不妨假设（）此时函数把数列按从小到大重新排列得到新数列 ， ，（）则其中，且当时.令根据假设可知：若时， 令 ； 无最大值.令（I）若，则，无最大值.当>时，由前面证明n=2时可知，当=时，故，综合，时，.（II）若，则；，故.当时，由可知且；.当=时，由可知则.综合，时，；.（III）若，（不合题意）综上（I）、（II）、（III），当时，函数的最小值.又时，；无最大值.若，无最大值.故，当时，；无最大值.若时不妨假设（）此时函数令 ； 无最大值.无最小值； .若时不妨假设（）当时 当时 当时当时当时为R上的连续函数在闭区间上存在最大值和最小值.闭区间且在上均为直线段在上均有最值，且最值均在端点处取得.因此，可画出在R上的图象草图由图象可知：；.即当时，猜想的结论成立.综上所述，猜想成立.应用:例：设，试讨

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