2019年中考数学压轴题汇编(几何1)解析版

1、2019 年中考数学压轴题汇编（几何1） 解析版1 / 91(2019 年安徽 23 题)23. (14 分)如图，Rt ABC 中，/ ACB = 90, AC= BC , P ABC 内部一点，且/ APB=ZBPC=135 .(1) 求证： PABsPBC ；(2) 求证：FA= 2PC;(3)若点 P 到三角形的边 AB, BC, CA 的距离分别为 h1, h2, h3,求证 h,= h2?h3.(2)由(1)的结论得出电具単，进而得出鳗刁历，即可得出结论；PB PC BCBC(3)先判断出 RtAAEPsRt CDP ,得出二二=：,即 h3= 2h2,再由 PABPBC,DP F

2、 C判断出即可得出结论.【解答】 解：(1)vZACB=90,AB=BC,/ABC=45 =ZPBA+/PBC又/ APB = 135 ,/ PAB+ / PBA = 45/PBC=ZPAB又/APB=ZBPC=135 , PAB PBC(2)PABsPBC二 _!_I-在 Rt ABC 中，AB = AC,2019 年中考数学压轴题汇编（几何1） 解析版2 / 91三；乜二匸 PA = 2PC(3)如图，过点 P 作 PD 丄 BC, PE 丄 AC 交 BC、AC 于点 D , E,- PF = hi, PD = h2, PE = h3,/ CPB+ / APB = 135 +135 =

3、270 /APC= 90 ,/EAP+ZACP=90,又/ACB=ZACP+ZPCD=90/EAP=ZPCD,RtAEPsRtCDP,【点评】此题主要考查了相似三角形的判定和性质，等腰直角三角形的性质，判断出/EAP = / PCD 是解本题的关键.(2019 年北京 27 题)27.( 7 分)已知/ AOB = 30, H 为射线 OA 上一定点，OH =；+1 , P 为射线 OB 上一点，M 为线段 OH 上一动点，连接 PM，满足/ OMP 为钝角，以点 P 为中心，将线段 PM 顺 时针旋转150,得到线段 PN,连接 ON.- h3= 2h2/ FABPBC ,h2ABBC ;

4、;lI -no- Ii : :- k. -i 即：h,= h2?h3.2019 年中考数学压轴题汇编(几何1) 解析版3 / 91(1)依题意补全图 1;(2 )求证：/ OMP=ZOPN ;(3)点 M关于点 H的对称点为 Q,连接 QP.写出一个 OP的值， 使得对于任意的点 M 总有 ON= QP,并证明.(2) 由旋转可得/ MPN = 150 ,故/ OPN = 150 -ZOPM ;由/AOB = 30 和三角形 内角和 180 可得ZOMP = 180- 30 -ZOPM = 150-ZOPM，得证.(3)根据题意画出图形， 以 ON = QP 为已知条件反推 OP 的长度.由(

5、2)的结论ZOMP=ZOPN联想到其补角相等，又因为旋转有 PM = PN,已具备一边一角相等，过点 N 作NC丄 OB于点 C,过点 P作 PD丄 OA于点 D， 即可构造出 PDMNCP ,进而得 PD =NC, DM = CP.此时加上 ON = QP,则易证得厶 OCNQDP，所以 OC= QD .利用ZAOB= 30，设 PD = NC= a，贝 U OP= 2a, OD =: a.再设 DM = CP = x,所以 QD =OC = OP+PC= 2a+x, MQ = DM+QD = 2a+2x.由于点 M、Q 关于点 H 对称，即点 H 为 MQ 中点，故 MHMQ = a+x,

6、DH = MH - DM = a，所以 OH = OD+DH = 二 a+a= ；+1 ,求得 a= 1，故 OP = 2证明过程则把推理过程反过来，以OP = 2 为条件，利用构造全等证得 ON= QP.(2) 设/ OPM =a,线段 PM 绕点 P 顺时针旋转 150得到线段 PNZMPN=150,PM=PNZOPN=ZMPN-ZOPM=150 - avZAOB=30ZOMP=180-ZAOB-ZOPM=180-30- a=150- aZOMP= ZOPN(3) OP = 2 时，总有 ON = QP，证明如下：过点 N 作 NCIOB 于点 C,过点 P 作 PD 丄 OA 于点 D，

7、如图 2/NCP=ZPDM= ZPDQ=90/ AOB= 30 , OP= 2 PD =丄 OP= 12_ODOH =十 12019 年中考数学压轴题汇编（几何1） 解析版4 / 91 DH = OH - OD = 1/OMP= ZOPN 180-/ OMP = 180-/ OPN即/ PMD =/ NPC在厶 PDM 与厶 NCP 中fZPDK=ZNCPZPKD=ZNFCPM二MF PDMNCP (AAS) PD = NC, DM = CP设 DM = CP = x,贝 U OC= OP+PC= 2+x, MH = MD + DH = x+1点 M 关于点 H 的对称点为 Q HQ = MH

8、 = x+1 DQ = DH + HQ = 1+x+1 = 2+x OC = DQ在厶 OCN 与厶 QDP 中r OC=QDZ0CN=ZQDP50?I WC=PE OCN 也厶 QDP ( SAS)【点评】本题考查了根据题意画图，旋转的性质，三角形内角和180,勾股定理，全等三角形的判定和性质， 中心对称的性质第 （3）题的解题思路是以 ON = QP 为条件反推 OP的长度，并结合（2）的结论构造全等三角形；而证明过程则以 OP = 2 为条件构造全 等证明 ON =QP （2019 年北京 28 题）28.（ 7 分）在厶 ABC 中，D，E 分别是 ABC 两边的中点，如果丨上的所有点

9、都在 ABC 的内部或边上，则称 L 一为 ABC 的中内弧.例如，图 1 中 L 一是 ABC 的一条中内弧.2019 年中考数学压轴题汇编(几何1) 解析版5 / 91E 分别是 AB, AC 的中点，画出ABC 的最长的中内弧丨 I,并直接写出此时的长；(2)在平面直角坐标系中，已知点A ( 0, 2), B (0, 0), C (4t, 0) (t 0),在厶 ABC中，D, E 分别是 AB , AC 的中点.的中内弧 I 所在圆的圆心 P 的纵坐标的取值范围；1若上=丄，求 ABC2若在 ABC 中存在一条中内弧丨.，使得上所在圆的圆心 P 在厶 ABC 的内部或边上, 直接写出

10、t 的取值范围.【分析】(1 )由三角函数值及等腰直角三角形性质可求得为直径的半圆，DE = 2,最长中内弧即以 DE 宀冃的长即以 DE 为直径的圆周长的一半；DE 的中垂线上，(2)根据三角形中内弧定义可知，圆心一定在当 t=时，要注意2圆心 P 在 DE 上方的中垂线上均符合要求， 在 DE 下方时必须 AC 与半径 PE 的夹角/ AEP 满足90W/AEPv135 ;根据题意，t 的最大值即圆心 P 在 AC 上时求得的 t 值.【解答】解：(1)如图 2,以 DE 为直径的半圆弧 丨.，就是 ABC 的最长的中内弧匕， 连接DE, / A= 90AC2V2ginEBC =4, DE

11、 =,AB = AC =怎于,D , E 分别是 AB , AC 的中点,12BC =X4=2,弧卜.=丄X2(2)如图 3,由垂径定理可知，圆心一定在线段 垂直平分线 FP ,作 EG 丄 AC 交 FP 于 G ,当 t=丄时，C (2 , 0) , D (0 , 1) , E (1,设 P ( , m)由三角形中内弧定义可知，圆心线段2/ OA= OC , / AOC = 90./ACO= 45 ,DE / OC/AED= ZACO=45n= n;DE 的垂直平分线上，连接 DE，作 DEi),Fe , 1),DE 上方射线 FP 上均可，.m 1 ,作EG丄AC交直线FP于G,FG=E

12、F-根据三角形中内弧的定义可知，圆心在点G 的下方(含点 G)直线 FP 上时也符合要求;12综上所述,如图 4,/ P 在DEmW或 m1.2设圆心 P 在 AC 上,中垂线上，.P 为 AE 中点，作 PM 丄 OC 于 M ,贝UPM =P(t,-),2019 年中考数学压轴题汇编（几何1） 解析版6 / 912019 年中考数学压轴题汇编(几何1) 解析版7 / 91/ DE / BC/ADE= ZAOB=90-AE=JA昭心冬(妣)山4汽+1，/ PD = PE,/AED= ZPDE/AED+/DAE= ZPDE +/ADP=90,/DAE= ZADPAP= PD = PE =_AE

13、2由三角形中内弧定义知， PDwPM1-AEAE 0【点评】此题是一道圆的综合题，考查了圆的性质，弧长计算，直角三角形性质等，给 出了“三角形中内弧”新定义，要求学生能够正确理解新概念，并应用新概念解题.（2019 年福建 24 题）24. （12 分）如图，四边形ABCD 内接于OO, AB= AC, AC 丄 BD，垂足为 E,点 F 在 BD的延长线上，且 DF = DC,连接 AF、CF.(1 )求证：/ BAC = 2/ CAD ;(2)若 AF = 10, BC= 4 ; 求 tan/BAD 的值.2019 年中考数学压轴题汇编（几何1） 解析版8 / 91【分析】(1 )根据等腰

14、三角形的性质得出/ABC=/ ACB，根据圆心角、弧、弦的关系得到 I八,即可得到/ ABC =/ADB ,根据三角形内角和定理得到/ ABC 二 (180 2-/ BAC)= 90 二/ BAC，/ ADB = 90-/ CAD，从而得到丄/BAC = / CAD，即 可证得结论；(2)易证得 BC = CF =4，即可证得 AC 垂直平分 BF，证得 AB= AF = 10,根据勾股 定理求得AE、CE、BE,根据相交弦定理求得 DE，即可求得 BD，然后根据三角形面积 公式求得 DH，进而求得 AH，解直角三角函数求得 tan/ BAD 的值.【解答】解：(1)vAB = AC,=“，/

15、 ABC = / ACB,/ ABC=/ ADB，/ ABC =丄(180-/ BAC)= 90 -丄/ BAC,2 2/ BD 丄 AC, / ADB = 90 -/ CAD ,丄/ BAC =/ CAD,2 / BAC= 2 / CAD ;(2)解：TDF = DC , / DFC = / DCF , / BDC = 2/ DFC , / BFC =二/ BDC = / BAC = / FBC ,2 2 , CB= CF,又 BD 丄 AC, AC 是线段 BF 的中垂线，AB= AF = 10, AC = 10.又 BC =4.,设 AE = x, CE = 10-x,2019 年中考数

16、学压轴题汇编(几何1) 解析版9 / 91由 AB2 AE2= BC2 CE2,得 100 -x2=80-( 10- x)2,解得 x= 6, AE= 6, BE = 8, CE = 4,DE = 3BE 8 BD = BE+DE = 3+8= 11,作 DH 丄 AB，垂足为 H ,丄 AB?DH =丄 BD?AE,2 2BD-AE11X6=33AB101BH=血昭-DH牛甲,【点评】 本题属于圆综合题，考查了圆周角定理，勾股定理，锐角三角函数，圆心角、弧、弦的关系，相交弦定理，等腰三角形的判定和性质等知识，解题的关键是熟练掌握并灵活运用性质定理，属于中考压轴题.（2019 年甘肃兰州 27

17、 题）27. （10 分）通过对下面数学模型的研究学习，解决问题.【模型呈现】如图，在 Rt ABC，/ ACB = 90 ，将斜边 AB 绕点 A 顺时针旋转 90得到 AD，过点 D 作 DE丄 AC 于点 E,可以推理得到 ABCADAE，进而得到 AC = DE , BC = AE.我们把这个数学模型成为“ K 型”推理过程如下： AH= AB -44DH33AH11 tan/ BAD2019 年中考数学压轴题汇编（几何1） 解析版10 / 91如图，在 Rt ABC 内接于OO,ZACB = 90定的角度得到 AD，过点 D 作 DE 丄 AC 于点 E, / DAE =ZABC,

18、DE = 1,连接 DO 交OO(2)连接 FC 交 AB 于点 G,连接 FB .求证：FG2= GO?GB.【分析】(1)因为直角三角形的外心为斜边中点，所以点O 在 AB 上, AB 为OO 直径，故只需证 AD 丄 AB 即可.由/ABC+ / BAC = 90和/ DAE =ZABC 可证得/ DAE +ZBAC=90，而 E、A、C 在同一直线上，用 180。减去 90。即为ZBAD = 90，得证.(2)依题意画出图形，由要证的结论FG2= GO?GB 联想到对应边成比例，所以需证FGOBGF .其中ZFGO =ZBGF 为公共角，即需证ZFOG =ZBFG .ZBFG 为圆周角

19、，所对的弧为弧 BC,故连接 OC 后有ZBFG =ZBOC,问题又转化为证ZFOG =丄ZBOC.把 DO 延长交 BC 于点 H 后，有ZFOG =ZBOH ,故问题转化为证ZBOH =Z2BOC .只要 OH 丄 BC,由等腰三角形三线合一即有ZBOHZBOC，故问题继续转化为证 DH / CE.联系【模型呈现】发现能证厶 DEAACB，得到 AE= BC = 2, AC= DE =1，即能求 AD = AB=QE又因为 O 为 AB 中点，可得到血型，再加上第(1)DE 2 AE题证得ZBAD = 90，可得 DAOAED，所以ZADO =ZEAD , DO / EA，得证.BC= 2

20、，将斜边 AB 绕点 A 顺时针旋转C【模型应用】2019 年中考数学压轴题汇编(几何1) 解析版11 / 91【解答】 证明：(1)T OO 为 Rt ABC 的外接圆2019 年中考数学压轴题汇编（几何1） 解析版12 / 91 O 为斜边 AB 中点，AB 为直径/ACB=90/ABC+/BAC=90/DAE= ZABC/DAE+/BAC=90/BAD=180 -(ZDAE+/BAC)=90 AD 丄 AB AD 是OO 的切线(2)延长 DO 交 BC 于点 H，连接 OCDE 丄 AC 于点 EZDEA=90/ AB 绕点 A 旋转得到 AD AB= AD在厶 DEA 与厶 ACB

21、中fZDEA=ZACB=OeZDAE=ZABCI DA=AB DEA 也厶 ACB (AAS)AE=BC=2,AC=DE=1 O 为 AB 中点AQ_屈二ADDE_2 AE ZDAO= ZAED=90DAO AEDZADO= ZEAD DO/EAZOHB =ZACB = 90,即卩 DH 丄 BC/ OB=OCAO=丄心2019 年中考数学压轴题汇编（几何1） 解析版13 / 91 OH 平分/ BOC，即/ BOH = Xz BOC2/FOG= ZBOH，/BFG=丄/ BOC2/FOG= ZBFG/FGO= ZBGFFGO BGF-:BG GFFG2=GO?GBEaJTI t_Xn.8AV

22、4【点评】本题考查了三角形外心定义，圆的切线判定，旋转的性质，全等三角形的判定 和性质，相似三角形的判定和性质，平行线的判定和性质，垂径定理，等腰三角形三线 合一，圆周角定理其中第（2）题证明 DO / EA 进而得到 DO 垂直 BC 是解题关键.（2019 年甘肃陇南 27 题）27阅读下面的例题及点拨，并解决问题：例题：如图，在等边 ABC 中，M 是 BC 边上一点（不含端点 B, C）, N 是ABC 的外角ZACH 的平分线上一点，且 AM=MN .求证：/AMN=60 点拨：如图，作 ZCBE=60 , BE 与 NC 的延长线相交于点 E，得等边 ABEC，连接 EM .易 证

23、：AABMEBM （ SAS）,可得 AM =EM ,Z仁 Z ；又 AM=MN，贝 EM = MN，可得Z3=Z4； 由Z3+Z1 =Z4+ 75=60 ,进一步可得Z1 = Z2= Z5,又因为 Z2+ 76=120 ,所以 Z5+Z6=120 , 即:ZAMN=60 问题： 如图， 在正方形 A1B1C1D1中， M1是 B1C1边上一点 （不含端点 B1, C1）, N1是正 方形 A1B1C1D1的外角ZD1C1H1的平分线上一点，且 A1M1=M1N1.求证：ZA1M1N1=90 2019 年中考数学压轴题汇编（几何1） 解析版14 / 91【答案】 解：延长 AiBi至 E,使

24、EBi=AiBi，连接 EMiC、 ECi,如图所示：则 EBi=BiCi, ZEBiMi中=90 ZAiBiMi,ZEBiCi是等腰直角三角形，.ZiECi=/BiCiE=45 Ni是正方形 AiBiCiDi的外角/DiCiHi的平分线上一点， Z/liCiNi=90 +45 i35 ZiCiE+/MiCiNi=i80E、Ci、Ni,三点共线， EB,在ZAiBiMi和 AFBiMi中，匕人冋闿=,A1B1M1也AFB1M1(SAS),AiMi=EMi, Zi =Z2,.AiMi=MiNi,EMi= MiNi,/=Z4,Z+ /3=45: Z4+ Z5=45:Z= Z2=Z5,Z+ Z6=9

25、0：/+ Z6=90 ：AMiNi=i80 -90 =90 ：【解析】延长 AiBi至 E,使 EBi=AiBi,连接 EMiC、ECi,贝UEBi=BiCi, ZEBiMi中=90 :ZAiBiMi,得 出AEBiCi是等腰直角三角形，由等腰直角三角形的性质得出 ZBiECi= ZBiCiE=45 ,证出ZBiCiE+ 少iCiNi=i80 :得出 E、Ci、Ni，三点共线，由 SAS 证明AAiBiMiAEBiMi得出 AiMi=EMi,Zi =Z，得出 EMi=MiNi,由等腰三角形的性 质得出Z3=Z4,证出Zi = Z2=Z5，得 出 Z5+ 76=90 ,即可得出结论.此题是四边形

26、综合题目，考查了正方形的性 质、全等三角形的判定与性 质、等腰直角三角形 的判定与性质、等腰三角形的判定与性 质、三角形的外角性质等知识；本题综合性强，熟练掌 握正方形的性质，通过作辅助线构造三角形全等是解本 题的关键.（20i9 年甘肃天水 25 题）25. （i0 分）如图 i,对角线互相垂直的四边形叫做垂美四边形.（i ）概念理解：如图 2,在四边形 ABCD 中，AB= AD , CB= CD，问四边形 ABCD 是垂 美四边形吗？请说明理由；（2 ）性质探究：如图 i,四边形 ABCD 的对角线 AC、BD 交于点 O, AC 丄 BD .试证明：AB2+CD2= AD2+BC2；2

27、019 年中考数学压轴题汇编（几何1） 解析版15 / 91（3）解决问题：如图 3,分别以 Rt ACB 的直角边 AC 和斜边 AB 为边向外作正方形 ACFG【分析】（1）根据垂直平分线的判定定理证明即可；（2）根据垂直的定义和勾股定理解答即可；（3 ）根据垂美四边形的性质、勾股定理、结合（2）的结论计算.【解答】解：（1）四边形 ABCD 是垂美四边形.证明： AB = AD,点 A 在线段 BD 的垂直平分线上，/ CB= CD,点 C 在线段 BD 的垂直平分线上，直线 AC 是线段 BD 的垂直平分线， AC 丄 BD，即四边形 ABCD 是垂美四边形；(2 )猜想结论：垂美四边

28、形的两组对边的平方和相等. 如图 2,已知四边形 ABCD 中，AC 丄 BD，垂足为 E, 求证：AD2+BC2= AB2+CD2证明： AC 丄 BD ,/AED= ZAEB= ZBEC=ZCED=90,由勾股定理得，AD2+ BC2= AE2+DE2+BE2+CE2,AB2+CD2=AE2+BE2+CE2+DE2, AD2+BC2= AB2+CD2；故答案为:AD2+BC2= AB2+CD2.(3)连接 CG、BE,/CAG=ZBAE=90,/CAG+ / BAC =ZBAE+ZBAC，即/ GAB=ZCAE,2019 年中考数学压轴题汇编(几何1) 解析版16 / 91在厶 GAB 和

29、厶 CAE 中，、乙G血乙艇,tAB=AEGABACAE(SAS),ZABG=ZAEC，又ZAEC+ZAME=90,ZABG+ZAME = 90,即卩 CE 丄 BG ,四边形 CGEB 是垂美四边形，由( 2)得,CG2+BE2= CB2+GE2,.AC= 4, AB = 5, BC= 3, CG = 4 . ：, BE = 5 .：, GE2= CG2+BE2- CB2= 73, GE= 一【点评】本题考查的是正方形的性质、全等三角形的判定和性质、垂直的定义、勾股定 理的应用，正确理解垂美四边形的定义、灵活运用勾股定理是解题的关键.(2019 年广东深圳 23 题)23.(9 分)已知在平

30、面直角坐标系中，点A (3, 0), B (- 3, 0) , C (- 3 , 8),以线段BC 为直径作圆，圆心为 E ,直线 AC 交OE 于点 D,连接 OD .(1)求证：直线 OD 是OE 的切线；(2 )点 F 为 x 轴上任意一动点，连接 CF 交OE 于点 G ,连接 BG ;2019 年中考数学压轴题汇编(几何1) 解析版17 / 91应用相似三角形性质和三角函数值表示出:，令CG2(64 -|CF| |CG2)=-(CG2-32)2+322，应用二次函数最值可得到结论.【解答】解：(1)证明：如图 1，连接 DE，: BC 为圆的直径，/ BDC = 90,/ BDA =

31、 90 / OA= OBOD = OB= OA/ OBD = / ODB/ EB= EDEBD = / EDB EBD+ / OBD = / EDB+ / ODB 即：/ EBO = / EDO/ CB 丄 x 轴EBO= 90EDO = 90/点 D 在OE 上(2)分两种情况：a) F 位于线段 AB 上，b) F 位于 BA 的延长线上；过 F 作 AC 的根据直角三角形斜边上中线等于斜边一半得DO = BO= AO,/ ODB=ZOBD，得证;垂线，构造相似三角形，应用相似三角形性质可求得点F 坐标;当吮 ACF 专时，求所有F点的坐标聲)*(直接写出)；EDB=ZEBD,即可，可通过

32、半径相等得到/2019 年中考数学压轴题汇编(几何1) 解析版18 / 91直线 OD 为OE 的切线.2019 年中考数学压轴题汇编（几何1） 解析版19 / 91(2) 如图 2,当 F 位于 AB 上时，过 F 作FIN丄 AC 于 N ,TFIN丄 AC./ANF1= ZABC=90ANF ABCANNF】AB _BCAC/ AB= 6, BC = 8, - AF2= 5k = 2OF2= 3+2 = 5即 F2(5, 0)故答案为：F1(丄二，0), F2(5, 0).如图4,TCB 为直径 /CGB=ZCBF=90 CBGsCFB-戈: AC =AB : BC: AC= 6: 8:

33、10 = 3: 4: 5设 AN = 3k,则 NFi= 4k, AFi= 5ktan/ ACF =；=丨| CN10-3k7二1031即 F1(4331如图 3,当 F 位于 BA 的延长线上时，过F2作 F2M 丄 CA 于 M ,AMF2SAABC 设 AM = 3k,则 MF2= 4k, AF2= 5k CM= CN= CA- AN = 10- 3k，解得:2019 年中考数学压轴题汇编（几何1） 解析版20 / 91BC2=CG?CFCF =_，CG/ CG2+BG2=BC2, BG2= BC2 CG2=EC，YG?=(&4-CG2)*CG2C?2BC4CG2642BGCF令

34、 y = CG2(64 CG2)= CG4+64CG2= (CG2 32)2 322 =( CG2 32)2+322当CG2= 32 时，y 最大值=32?此时 CG= 4 :.BG_.=丝=丄U 掃大值如2caB 0AxVA .3 O*7 工郢2019 年中考数学压轴题汇编(几何1) 解析版21 / 91【点评】 本题是一道难度较大，综合性很强的有关圆的代数几何综合题，主要考查了圆的性质，切线的性质和判定定理，直角三角形性质，相似三角形性质和判定，动点问题，二次函数最值问题等，构造相似三角形和应用求二次函数最值方法是解题关键.(2019 年广东 24 题)24.( 9 分)如图 1,在厶 A

35、BC 中，AB = AC,OO 是厶 ABC 的外接圆，过点 C 作/ BCD =ZACB 交OO 于点 D，连接 AD 交 BC 于点 E,延长 DC 至点 F，使 CF = AC,连接 AF .(1) 求证：ED = EC;(2) 求证：AF 是OO 的切线；(3) 如图 2，若点 G 是厶 ACD 的内心，BC?BE = 25,求 BG 的长.【分析】(1 )由 AB=AC 知/ ABC=ZACB，结合/ ACB=ZBCD，/ABC=ZADC 得 / BCD =ZADC，从而得证；(2)连接 OA，由/ CAF =ZCFA 知/ACD =ZCAF + / CFA = 2/ CAF，结合/

36、 ACB =ZBCD 得/ ACD = 2 / ACB，/ CAF =ZACB，据此可知 AF / BC,从而得 OA 丄 AF，从而 得证；2019 年中考数学压轴题汇编(几何1) 解析版22 / 91(3) 证厶 ABEsCBA得 AB2= BC?BE，据此知 AB = 5，连接 AG,得/ BAG =ZBAD + / DAG，/BGA=ZGAC+ / ACB,由点 G 为内心知/ DAG=ZGAC，结合/ BAD +ZDAG=ZGDC +ZACB 得ZBAG=ZBGA，从而得出 BG= AB= 5.【解答】解：(1)vAB = AC,ZABC=ZACB,又TZACB=ZBCD, ZABC

37、=ZADC,ZBCD= ZADC, ED= EC;(2)如图 1，连接 OA,/ AB=AC, OA 丄 BC,/ CA=CF,ZCAF=ZCFA,ZACD= ZCAF +ZCFA=2ZCAF,TZACB=ZBCD,ZACD=2ZACB,ZCAF=ZACB, AF/BC, OA 丄 AF , AF 为OO 的切线；2019 年中考数学压轴题汇编（几何1） 解析版23 / 91(3 )/ ABE=ZCBA，/BAD=ZBCD= ZACB, AB2= BC?BE, BC?BE= 25, AB= 5,如图 2,连接 AG,图2/BAG=ZBAD+ZDAG，/BGA= ZGAC+/ACB,点 G 为内

38、心， ZDAG= ZGAC,又TZBAD+ZDAG =ZGDC+ZACB,ZBAG=ZBGA, BG = AB= 5.【点评】本题是圆的综合问题，解题的关键是掌握圆心角定理、切线的判定与性质、相 似三角形的判定与性质等知识点.（2019 年广东广州 24 题）24.（14 分）如图，等边 ABC 中，AB= 6，点 D 在 BC 上, BD = 4,点 E 为边 AC 上一动 点（不与点 C 重合）， CDE 关于 DE 的轴对称图形 FDE .（1）当点 F 在 AC 上时，求证：DF / AB;（2）设厶 ACD 的面积为$, ABF 的面积为 S2,记 S= S - S2, S 是否存在

39、最大值？若 存在，求AB_BE-BC AB2019 年中考数学压轴题汇编（几何1） 解析版24 / 91出 S 的最大值；若不存在，请说明理由；（3 ）当 B, F, E 三点共线时.求 AE 的长.2019 年中考数学压轴题汇编（几何1） 解析版25 / 91【分析】（1）由折叠的性质和等边三角形的性质可得/（2）过点 D 作 DM 丄 AB 交 AB 于点 M ,由题意可得点 F 在以 D 为圆心，DF 为半径的圆 上，由 ACD 的面积为 S 的值是定值，则当点 F 在 DM 上时，SAABF最小时，S 最大；（3） 过点 D 作 DG 丄 EF 于点 G,过点 E 作 EH 丄 CD

40、于点 H，由勾股定理可求 BG 的长, 通过证明厶 BGDsABHE，可求 EC 的长，即可求 AE 的长.【解答】解：（1）vAABC 是等边三角形./A=ZB=ZC=60由折叠可知：DF = DC ,且点 F 在 AC 上/DFC= ZC=60 DF / AB;(2)存在，过点 D 作 DM 丄 AB 交 AB 于点 M ,AB= BC = 6, BD = 4, CD = 2 DF = 2,点 F 在以 D 为圆心，DF 为半径的圆上,当点 F 在 DM 上时,SAABF最小,/ BD = 4, DM 丄 AB，/ ABC = 60 MD = 2:DFC=ZA，可证 DF / AB;B20

41、19 年中考数学压轴题汇编(几何1) 解析版26 / 91SAABF的最小值= 丄X6X（2；- 2）= 6 .6二 S最大值=火 3&-（3 - 6）= 3+6(3)如图，过点 D 作 DG 丄 EF 于点 G ,过点 E 作 EH 丄 CD 于点 H ,CDE 关于 DE 的轴对称图形 FDEDF=DC=2，/EFD= /C=60/ GD 丄 EF，/ EFD = 60.FG=1,DG =|p；FG=.:; BD2=BG2+DG2,16=3+（BF+1）2,.BF =13 - 1 BG=一 ；/ EH 丄 BC,ZC=60 CH =-丄，EH =；HC =EC22/GBD= ZEB

42、H，/BGD= ZBHE=90DG EHBG BHEC= .:- 1AE=AC-EC=7-13【点评】本题是三角形综合题，考查了等边三角形的性质，折叠的性质，勾股定理，相似三角形的判定和性质，添加恰当的辅助线构造相似三角形是本题的关键.(2019 年广西池州 25 题)2019 年中考数学压轴题汇编(几何1) 解析版27 / 9125.( 10 分)如图，五边形 ABCDE 内接于OO, CF 与OO 相切于点 C,交 AB 延长线于点F.(1 )若 AE = DC, / E=ZBCD，求证：DE = BC;【分析】(1 )由圆心角、弧、弦之间的关系得出，_|，由圆周角定理得出/ ADE =

43、/DBC，证明 ADEDBC，即可得出结论；(2)连接 CO 并延长交 AB 于 G,作 OH 丄 AB 于 H，则/ OHG = / OHB = 90，由切线 的性质得出/ FCG = 90，得出 CFG、 OGH 是等腰直角三角形， 得出 CF = CG，OG =V2OH，由等边三角形的性质得出/ OBH = 30，由直角三角形的性质得出 OH =2-OB=1，OG =.:,即可得出答案.【解答】(1)证明：TAE = DC，“ 丨，/ADE = / DBC，ZADE=ZD&C在厶 ADE 和厶 DBC 中，Z也二三BCD，LAE=DC ADEDBC (AAS)， DE= BC;(

44、2 )解：连接 CO 并延长交 AB 于 G，作 OH 丄 AB 于 H，如图所示：则/ OHG = / OHB = 90，CF 与OO 相切于点 C，/FCG = 90， / F = 45， CFG、 OGH 是等腰直角三角形, CF = CG, OG =OH ,2019 年中考数学压轴题汇编(几何1) 解析版28 / 91AB= BD = DA , ABD 是等边三角形，/ ABD = 60 ,/ OBH=30,OH丄 OB=1,二 OG =匕 - CF=CG=OC + OG= 2+=/:.【点评】 本题考查了切线的性质，圆周角定理，圆心角、弧、弦之间的关系，全等三角形的判定与性质、等腰直

45、角三角形的判定与性质、直角三角形的性质；熟练掌握切线的 性质和圆周角定理是解题的关键.(2019 年广西贺州 25 题)25. (10 分)如图，BD 是OO 的直径，弦 BC 与 OA 相交于点 E, AF 与OO 相切于点 A, 交 DB 的延长线于点 F，/ F = 30,/ BAC= 120 , BC = 8.(1)求/ ADB 的度数;(2 )求 AC 的长度.【分析】(1)由切线的性质得出 AF 丄 OA,由圆周角定理好已知条件得出/F = / DBC ,2019 年中考数学压轴题汇编(几何1) 解析版29 / 91证出 AF / BC,得出 OA 丄 BC,求出/ BOA= 90

46、- 30 = 60，由圆周角定理即可得出结果；(2) 由垂径定理得出 BE = CE =BC = 4，得出 AB = AC,证明 AOB 是等边三角形,得出 AB = OB,由直角三角形的性质得出 OE =OB , BE=：-;OE = 4，求出 OE=丨 ,2rn即可得出 AC= AB = OB= 2OE =.【解答】解：(1)vAF 与OO 相切于点 A, AF 丄 OA,/ BD 是OO 的直径，/BAD = 90 ,/BAC= 120 ,/DAC = 30,/DBC= ZDAC=30,/F = 30,/F= ZDBC, AF / BC, OA 丄 BC,/BOA= 90 - 30= 6

47、0,/ADB = ZAOB = 30;(2)TOA 丄 BC, AB= AC,vZAOB=60 ,OA=OB, AOB 是等边三角形， AB= OB, - BE= CE=BC = 4,2019 年中考数学压轴题汇编(几何1) 解析版30 / 91vZOBE=30 ,AC= AB= OB = 2OE =二.3【点评】 本题考查了切线的性质、圆周角定理、等边三角形的判定与性质、垂径定理、直角三角形的性质等知识；熟练掌握切线的性质和圆周角定理，证出OA 丄 BC 是解题的关键.(2019 年广西柳州 25 题)25. (10 分)如图，AB 是OO 的直径，弦 CD 丄 AB 于点 E,点 F 是O

48、O 上一点，且=,连接 FB , FD, FD 交 AB 于点 N.(1 )若 AE = 1, CD = 6,求OO 的半径；(2) 求证： BNF 为等腰三角形；(3)连接 FC 并延长，交 BA 的延长线于点 P,过点 D 作OO 的切线，交 BA 的延长线 于点 M .求证：ON?OP = OE?OM .【解答】解：(1)如图 1,连接 BC, AC, AD,/ CD 丄 AB, AB 是直径2019 年中考数学压轴题汇编(几何1) 解析版31 / 91/ACD =ZABC，且/ AEC=ZCEBAE _CE BE=9 AB= AE+BE= 10O O 的半径为 5(2 )=/ACD =

49、ZADC =ZCDF，且 DE = DE，/ AED =ZNED = 90 ADENDE (ASA)/DAN= ZDNA,AE=EN/DAB= ZDFB,ZAND= ZFNB/FNB=ZDFB BN= BF, BNF 是等腰三角形(3)如图 2，连接 AC, CE , CO, DO , MD 丄 DO ,/MDO=ZDEO = 90。，/ DOE =ZDOEMDO DEO工丄- iOD2=OE?OM2019 年中考数学压轴题汇编（几何1） 解析版32 / 91/ AE= EN , CD 丄 AO/ANC=ZCAN,/CAP=ZCNO,2019 年中考数学压轴题汇编（几何1） 解析版33 / 9

50、1-：I/AOC=ZABF/ CO / BF/PCO=ZPFB四边形 ACFB 是圆内接四边形/PAC=ZPFB/PAC=ZPFB =ZPCO =ZCNO，且/ POC=ZCOE CNOPCO亠二二.1-3 CO2= PO?NO,ON?OP = OE?OM .（2019 年广西北部湾等 25 题）25. （10 分）如图 1,在正方形 ABCD 中，点 E 是 AB 边上的一个动点（点 E 与点 A, B 不 重合），连接 CE,过点 B 作 BF 丄 CE 于点 G,交 AD 于点 F.（1）求证： ABFBCE;（2）如图 2，当点 E 运动到 AB 中点时，连接 DG,求证：DC = D

51、G ;（3） 如图 3，在（2）的条件下，过点 C 作 CM 丄 DG 于点 H，分别交 AD, BF 于点 M , N，求雾的值.NHDCJCDC【分析】（1）先判断出/ GCB+ZCBG = 90,再由四边形 ABCD 是正方形，得出/ CBE=90=/ A, BC = AB,即可得出结论；(2)设 AB = CD = BC= 2a,先求出 EA= EB进而得出2019 年中考数学压轴题汇编（几何1） 解析版34 / 91BG = =a, CG 今 a，再判断出 CQDBGC (AAS),进而判断出 GQ = CQ ,2019 年中考数学压轴题汇编(几何1) 解析版35 / 91即可得出结

52、论；(3)先求出 CH =Ea，再求出 DH =Aa,再判断出厶 CHD DHM，求出 HM =2 a,5510再用勾股定理求出 GH =a,最后判断出 QGHGCH ,得出 HN = T=二 a,即可園CG 5得出结论.【解答】(1)证明：TBF 丄 CE,/CGB= 90,/ GCB+ / CBG= 90,四边形 ABCD 是正方形，/CBE=90 =ZA,BC=AB,/FBA+ZCBG=90,/GCB=ZFBA, ABFBCE (ASA);(2)证明：如图 2,过点 D 作 DH 丄 CE 于 H,设 AB = CD = BC = 2a,点 E 是 AB 的中点,在 Rt CEB 中，根

53、据面积相等，得 BG?CE= CB?EB,2V5 CG = / DCE+ / BCE =90。，/ CBF+ / BCE= 90,/DCE= ZCBF,/ CD=BC,/CQD=ZCGB=90,CQDBGC (AAS),25CQ = BG =- a,52馅GQ=CG-CQ=1a=CQ,a,EA=EB=a,2019 年中考数学压轴题汇编(几何1) 解析版36 / 91/ DQ=DQ，/CQD= ZGQD=90,DGQCDQ(SAS), CD=GD;(3) 解：如图 3,过点 D 作 DH 丄 CE 于 H ,SACDG=?DQ = -CH ?DG ,= aEG5在 Rt CHD 中，CD = 2

54、a, DH =a,/ MDH +/ HDC = 90,/ HCD + / HDC = 90 , / MDH =/ HCD , CHDsADHM,.DH DH 3a,HCG+ / CGH = 90 , / QGH = / HCG , QGHsAGCH,HNHGHGgHNHG? = 2| CG 5MN =HM - HN =1MNNH 2CH/ MGH +/ CGH = 90,/,CH =a,2019 年中考数学压轴题汇编（几何1） 解析版37 / 91月E占圉3【点评】此题是相似形综合题，主要考查了全等三角形的判定和性质，相似三角形的判 定和性质，勾股定理，判断出厶 DGQCDQ 是解本题的关键.

55、（2019 年广西梧州 25 题）25. （10 分）如图，在矩形 ABCD 中，AB = 4, BC= 3, AF 平分/ DAC ,分别交 DC , BC 的延长线于点 E, F;连接 DF，过点 A 作 AH / DF，分别交 BD, BF 于点 G , H .（1 ）求 DE 的长;(2)求证：/ 1 =ZDFC .【分析】(1 )由 AD / CF, AF 平分/ DAC，可得/ FAC=ZAFC，得出 AC= CF = 5,可证出 ADE FCE，则，可求出 DE 长；CF CE（2 ）由厶 ADGHBG，可求出 DG,则匹 A,可得 EG/ BC,则/ 1 =ZAHC，根DC D

56、B据 DF / AH，可得/ AHC=ZDFC，结论得证.2019 年中考数学压轴题汇编（几何1） 解析版38 / 91【解答】(1)解：矩形 ABCD 中，AD / CF,/DAF= ZACF,/ AF 平分/ DAC ,/DAF= ZCAF,/FAC=ZAFC, AC= CF,/ AB= 4, BC = 3,也=麻陕+阮J/ + 4 牛5，- CF = 5,/ AD / CF , ADEFCE ,汕 ZE ,CF CE设 DE = X,则三二一，54-JI解得 x=32;(2)TAD/FH,AF/DH,四边形 ADFH 是平行四边形,AD = FH = 3, CH = 2, BH = 5,

57、/ AD / BH ,2019 年中考数学压轴题汇编(几何1) 解析版39 / 91 EG / BC,/1= ZAHC,又 DF / AH ,/AHC= ZDFC,/1= ZDFC.【点评】本题考查了矩形的相关证明与计算，熟练掌握矩形的性质、平行四边形的判定 与性质与相似三角形的性质与判定是解题的关键.(2019 年广西梧州 25 题)25.(10 分)如图，在正方形 ABCD 中，分别过顶点 B, D 作 BE / DF 交对角线 AC 所在直 线于 E,F 点，并分别延长 EB, FD 到点 H, G,使 BH = DG,连接 EG, FH .(1) 求证：四边形 EHFG 是平行四边形；

58、(2)已知：AB = 2 :, EB= 4, tan/GEH = 2 二 求四边形 EHFG 的周长.【分析】(1)证明 ABEBACDF (AAS),得 BE = DF，根据一组对边平行且相等的四 边形是平行四边形可得结论；(2)如图，连接 BD,交 EF 于 O,计算 EO 和 BO 的长，得/ OEB= 30,根据三角函 数可得 HM 的长，从而得 EM 和 EH 的长，利用勾股定理计算 FH 的长，最后根据四边的 和计算结论.【解答】解：(1)v四边形 ABCD 是正方形， AB= CD , AB / CD,/ DCA =/ BAC,/ DF / BE,/ CFD = / BEA,/

59、BAC=/ BEA+/ ABE , / DCA =/ CFD + / CDF ,/ ABE =/ CDF ,在厶 ABE 和厶 CDF 中，2019 年中考数学压轴题汇编（几何1） 解析版40 / 91rZABE=ZCBFZ陋B二ZCFD，I AB=CDABECDF (AAS), BE= DF ,/ BH = DG, BE+BH = DF + DG,即 EH = GF ,/ EH / GF ,四边形 EHFG 是平行四边形；(2)如图，连接 BD，交 EF 于 O,BD 丄 AC,/AOB= 90 ,- AB= 2 .：.：,OA= OB= 2,Rt BOE 中，EB= 4,/ OEB= 30

60、 ,EO= 2 二/ OD=OB, /EOB= ZDOF,/ DF / EB,/ DFC = / BEA, DOFBOE (AAS),OF = OE= 2 .二EF = 4 :,DP四边形 ABCD 是正方形，2019 年中考数学压轴题汇编（几何1） 解析版41 / 91FM = 2語亿 EM = 6,过 F 作 FM 丄 EH 于 M，交 EH 的延长线于 M ,/ EG / FH ,/FHM=ZGEH,/ tan/ GEH = tan/ FHM =1 =2屆,HMHM HM = 1,EH=EMHM=6-1= 5,FH=祚於+冊匸（2 頂）2 + 1 匚皿，四边形 EHFG 的周长=2EH+2FH = 2X5+2