2019年高考数学考纲解读与热点难点突破专题20不等式选讲教学案文含解析

1、1不等式选讲【2019 年咼考考纲解读】 本部分主要考查绝对值不等式的解法.求含绝对值的函数的值域及求含参数的绝对值不等式中参数的取值 范围、不等式的证明等，结合集合的运算、函数的图象和性质、恒成立问题及基本不等式、绝对值不等式的应用成为命题的热点，主要考查基本运算能力与推理论证能力及数形结合思想、分类讨论思想.【重点、难点剖析】1 含有绝对值的不等式的解法(1) |f(x)|a(a0)?f(x)a或f(x) -a；(2) |f(x)|0) ? -af(x)c的不等式，可利用绝对值不等式的几何意义求解.2 .含有绝对值的不等式的性质|a| - |b|1ab|2ab.当且仅当a=b时，等号成立.

2、a+bt定理 2:如果a,b为正数，则 ab,当且仅当a=b时，等号成立.定理 3:如果a,b,c为正数，则a+；+C导ObC,当且仅当a=b=c时，等号成立.ai+a2+ann._定理4:(一般形式的算术一几何平均不等式)如果ai、a2、an为n个正数，则_ aia2an当且仅当ai=a2=an时，等号成立.所以 f x -1 的解集为:x x一1?.(2)由得必 k+l|十-2|d+x,而.F + 工牛|+1+卜卜+岸田冷玄：3且当x时,2(I )在答题卡第(24)题图中画出y二f x的图像;(II)求不等式f (x j1的解集yl*G；-x/；U!b3)U(5?+ac)【答案】(I)见解

3、析(II)一幻【解析】如图所示:x-4x W _1f(x)=3x-2,-lx1,当 x 1 ,解得x5或 x -, 4x1,解得 x5 或 x 52 2综上,x：-或 1：x : 3 或 x 5 , fx 1 ,解集为3【变式探究】解不等式x+ |2x+引2.心上解原不等式可化为，或2,-x-2l3x+弓三2一解得xW - 3或入土一 |综上，原不等式的解集是k W亦刁一审【变式探究】若函数f(x) = |x+ 1| + 2|xa|的最小值为 5，则实数a=_.3解析 由绝对值的性质知f(x)的最小值在x= 1 或x=a时取得，若f( 1) = 2| 1 a| = 5,a= ?或a= 2，经检

4、验均不合适；若f(a) = 5,则|x+ 1| = 5,a= 4 或a= 6，经检验合题意，因此a= 4 或a= 6.答案 4 或61【变式探究】设函数f(x) =x+ - + |xa|(a0).a(1)证明：f(x) 2;若f(3)2.1(2)f(3) = 3 +舌+13 a|.t丄1当a3 时，f(3) =a+ ,【解(1)证明：由a0,有f(x)=+ |xa| xa4a5亠m5 +、/21由f(3)5，得 3a2.1当 0aW3时，f(3) = 6 a+ ,a由f(3)5，得12/5af(x)恒成立，则af(x)max，awf(x)恒成立，则awf(x)min”求字母参数的取值范围.【举

5、一反三】已知关于x的不等式|x+a|Vb的解集为x|2vxV4.(1) 求实数a，b的值；求，at+ 12 +.bt的最大值.解 (1)由 |x+a|vb，得一bavxvba，ba= 2，则*解得a= 3，b= 1.ba=4，(2) 3t+ 12 +t=3 4t+tw(3)2+12(4t)2+(t)2=2 4 t+t= 4，当且仅当即t= 1 时等号成立，故(寸3t+ 12 +)max= 4.6【举一反三】 已知函数f(x) = |x+ 1| 2|xa|，a0.(1)当a= 1 时，求不等式f(x)1 的解集；7若f(x)的图象与x轴围成的三角形面积大于 6，求a的取值范围.解当a= 1 时，

6、f(x)1 化为 |x+1| 2|x 1| 10.当XW1 时，不等式化为x 40,无解；2当一 1x0,解得3x1时，不等式化为x+ 20,解得 Kx1 的解集为(2)由题设可得,x 1 2a,x 1,f(x) = 3x+1 2a, 1xa.所以函数f(x)的图象与x轴围成的三角形的三个顶点分别为AO，0，B(2a+ 1, 0) ,Q a, a+ 1),22ABC的面积为3(a+ 1)2.22由题设得3(a+ 1) 6,故a2.3所以a的取值范围为(2,+R).题型二不等式的证明【例2】已知函数f(x) = |x 1| +|x 3|.(1)解不等式f(x)Wx+ 1 ；【解析】(1)解f(x

7、)Wx+ 1,即 |x1| +|x 3|Wx+ 1.1当x1 时，不等式可化为 4 2x 1.又x 1.又 1WxW3,.1WxW3;3当x3 时，不等式可化为 2x 43,. 3x0,b0,a+b=c,求证:an+b2b+ 1* .8综上所得，1WxW3或 3 为+1=町 贝寸期应=期一1b=nlf用+丹=4a1 2, b(用一1)：,in-IV ,1,1,44*r + r7=- +-=酬+耳+ 斗一一斗二一R 丄-二匚a+&+1mn附旳用”巾 2 )当且仅当脚=2时，等号成立，二原不等式得证+【感悟提升】(1)作差法是证明不等式的常用方法作差法证明不等式的一般步骤：作差；分解因式;与 0

8、比较；结论.关键是代数式的变形能力.在不等式的证明中，适当“放” “缩”是常用的推证技巧.【变式探究】已知函数f(x) = |3x+ 1| + |3x 1| ,M为不等式f(x)|a+b|.(1)解f(x) = |3x+1| + |3x 1|6.t1丄当x 3时，f(x) = 3x 1 3x+ 1 = 6x,31由6x 1 , 1x3;1由 6x6，解得x1 , 3x1.3综上，f(x)6 的解集M=x| 1x1.证明(ab+ 1) (a+b) =a b+ 2ab+ 1 (a+b+ 2ab)22222八=a bab+1 = (a 1)(b 1).由a,bM得 |a|1 , |b|1 ,a 10

9、,b 10,911当3Wxw3时，f(x) = 3x+ 1 3x+ 1 = 2,33又 23时，f(x) = 3x+ 1 + 3x 1 = 6x,210(a2 1)( b2 1)0 , | ab+ 1| | a+ b|.【变式探究】【2017 课标 II】已知abU+b2。证明:(1)一-；(2)a b 乞 2。【答案】(1)证明略；(2)证明略。【解析】(1)(a+b)(as+ b5) = a6+abs+ a5b + b6*(aJ+ aba4+ b)s 4 + ab(a2-b?)2(2)因为(a + b/ = a3+ ia2b + 3ab7+ b3=2 + 3ab(a + b)3(a + b

10、)23( (a + b)ia + b) = 2 +4所以:，因此 a+bw 2.【变式探究】已知函数(I)求 M;(n)证明：当a,b M时，I + 1卜釧【答案】(I)丄- ； (n)详见解析1当 x时，由f (x)：2得-2x : 2,解得 x -1；M 为不等式f (x)：2的解集.【解析】(I)2xx-?1111当x时，f (x) : 2；221当x_时，由f(x)：2得2x：2,解得x：1.2所以f(x)：2的解集暫 圍-】疋氢cd,则a+bc+d；寸a+目b Jc + 是|ab|v|cd|的充要条件.证明 因为(a+b)3=a+b+ 2ab, (c+d)2=c+d+ 2cd,由题设

11、a+b=c+d,abcd得(a+b)2 (=Jc+d)2.因此：.;a+bJc+d.若 |ab|v|cd| ,32即(a+b) 4abv(c+d) 4cd.因为a+b=c+d,所以abcd.由(1)得a+bc+d.若a+寸bJc+d,则(a+Jb)2(寸c+d)2，即a+b+ 2abc+d+ 2cd.因为a+b=c+d,所以abcd,于是2 2 2 2(ab)=(a+b)4abv(c+d)4cd=(cd).因此 |ab|v|cd|.综上，a+“Jbc+d是|ab|v|cd|的充要条件.【变式探究】已知q和n均为给定的大于 1 的自然数.设集合M=0 , 1, 2,，q 1，集合A=x|x=X1

12、+X2q+xnqn1,XiM, i= 1 , 2,n.(1) 当q= 2 ,n= 3 时，用列举法表示集合A;(2) 设s,tA,s=a1+a2q+anqn1,t=b+b?q+bnqn1,其中ai,biM i= 1 , 2,n.证明:1222则(ab)v(cd),13若anbn，贝Ust.2(1)解 当q= 2,n= 3 时，M= 0 , 1,A= x|x=Xi+X2 2+X32,XiM,i= 1, 2, 3.1 , 2, 3, 4, 5, 6, 7._n1n1证明 由s,tA,s=a1+a2q+anq,t= b+b?q+bnq,ai,biM i= 1, 2 ,14可得st= (a1bj+ (

13、a2b2)q+ + (an1bn1)q+(&bn)qw(q 1)+ (q 1)q+n1q=n1(q 1)( 1q)1 qn1q=10.所以，s 100.a b c【命题意图】本题主要考查利用均值不等式证明不等式的成立问题意在考查考生的逻辑推理与论证能力解题过程中要注意标明等号成立的条件，以保证过程的完整性.【证明】（1）证法一：a,b均为正数，由均值不等式，得a2+b22 ab,A+ a2+b2+b卜2ab+babab=4 2.当且仅当a=b=42 时，等号成立.证法二：盛，占均为正数，由均值不等式，得111+ + T2ab+ 三一a- “ab1A.+员+ ；丄+岂“2砂a b）as当且仅当近

14、时,等号成1941a+b+c可得，A= 0 ,n及anbn,n2-(q-1) q1 1ab4ab,=(a+ 4b+ 9c)15=9 + 睾+a+ 型 + 16+4b+ 竺 + 警 + 9b c acab=34 + 24 + 18+ 24 = 100.311当且仅当a= 3b= 9c,且a+ 4b+ 9c= 1 时，等号成立，即当且仅当a= ,b= ,c= 时，原式取101030【感悟提升】不等式证明的基本方法是比较法、综合法、分析法、反证法、放缩法和数学归纳法，其中以 比较法和综合法最为基础，使用综合法证明不等式的关键就是通过适当的变换后使用重要不等式或柯西不 等式，证明过程注意从重要不等式的

15、形式入手达到证明的目的.115【变式探究】已知实 数x,y满足：|x+y| , |2xy|，求证：|y|36181【证明】因为 3|y| =|3y| = |2（x+y） （2xy）| 2|x+y|+ |2xy|，由题设知|x+y| 3, |2xy|215从而3|y|3+6=6，5所以 |y|18.题型三绝对值不等式恒成立（存在）问题 例 3、（2018 年全国 I 卷）已知讪总！.（1）当口时，求不等式迪刮的解集;（2）若匡亜时不等式壓三I成立，求R的取值范围【解析】-2,x - 1,31 x L（2）当匡回时卜馭1| r成立等价于当时匡j|G|成立.=34 +4a36ba81c4bb+a+c

16、+a+c+4a36b34+2b a+口号.16,【答81c一 +a故不等式回也的解集为16若池 0,则当时应-i|hT| ；若戶L际】|V|的解集为f Xd所以匸1|,故pVEL兰2.综上，L的取值范围为L.【变式探究】设函数f(x) = |2x+ 1| + |xa|(a0).当a= 2 时，求不等式f(x)8 的解集；3若？x R,使得f(x)W2 成立，求实数a的取值范围.解当a= 2 时，由f(x)8 ,得|2x+ 1| + |x 2|8 ,13所以 2+aW2，所以aW1.又a0，所以实数a的取值范围是(0, 1.x 2, 即什3x 18或-2x8或x8,得x3 或x ?或x3 或xa

17、,因为1x+a+1，小xf(x)或awf(x)的形式.转化最值：f(x)a恒成立？f(x)mina；f(x)a恒成立？f(x)maxa有解？f(x)maa；f(x)a有解 ?f(x)mina无解?f(x)maxa；f(x)a.(3)求最值：利用基本不等式或绝对值不等式求最值.得结论.【变式探究】已知函数f(x) =|2x+b|+|2x-b|.(1) 若b= 1，解不等式f(x)4 ；若不等式f(a)|b+ 1|对任意的实数a恒成立，求b的取值范围.解 (1)当b= 1 时，f(x) = |2x+ 1| + |2x- 1|4 ,x1-4x41 1亠-2x2，?x4所以不等式的解集为(一a,1)U

18、(1 ,+).(2)f(a) = |2a+b| +12a-b| = |2a+b| + |b-2a| |(2a+b) + (b-2a)| = |2b| ,当且仅当(2a+b)(b-2a)0时，f(a)min= |2b| ,所以 |2b|b+ 1|，所以(2b)2(b+ 1)2,即(3b+ 1)(b- 1)0 ,所以 b 的取值范围为 i a,3U(1,+a).题型四不等式的综合应用例 4、(2018 年全国川卷)选修 45:不等式选讲设函数二以+I+ %-1| .(1)画出的图像；(2 )当忙5 曲，求的最小值.1xw-2,【答案】418101【答案】（1）见解析(2) 5【解n疋:的图像如图所

19、示.yjk（2）由（1）知，的图像与轴交点的纵坐标 为，且各部分所在直线斜率的最大值为，故当且仅当且 时，烫,去徑 2 总在成立，因此护池的最小值为 5。【举一反三】（2018 年江苏卷）选修 45:不等式选讲若x,y,z为实数，且x+2y+2z=6,求的最小值.f(x)(1)119x y z当且仅当Ig(x)的解集；(2)若不等式f(x)g(x)的解集包含-1,1，求a的取值范围 叶土亜【答案】(1)-； (2M-1,1.【解析】(1 )当a=1时，不等式7等价于.当X ” -1时，式化为- - .，无解； 当-1乞X乞1时，式化为一.-，从而-1乞X乞1；x 1时，式化为呎上兰巾，从而的解

20、集为(2)当1-1,1 时，g x =2.所以 的解集包含11,1,等价于当x壬1,1】时f(x)K2.又f x在1-1,11的最小值必为f -1与f 1之一，所以f -1 - 2且f 1-2，得-1乞a乞1.所以 a 的取值范围为1-1,11.【变式探究】已知a,b都是实数，a 0,f(x) = |x 1| + |x 2|.(1)若f(x)2，求实数x的取值范围；若|a+b| + |ab| |a|f(x)对满足条件的所有a,b都成立，求实数x的取值范围.【命题意图】本题主要考查绝对值不等式的解法，及带绝对值符号的最值问题.【解析】证明：由柯西不等式，得?Xl:+22+ 2 (x + 2y +

21、所以2032x,xw1,【解析】(1)f(x) = 1, 12.Xw1,由f(x)2，得什3 2x2解得x2.所求实数x的取值范围为(2)由 |a+b| + |ab| |a|f(x)且a* 0,得或 f2,2x32,21|a+b| + |ab|a|f(x) 又|a+b|+|ab|a+b+ab|A|a|a|f(x)w2.15 f (x)2 的解为x215f(x)W2的解为 2wxw271 5所求实数x的取值范围为 2 2【感悟提升】不等式f(a)Ag(x)恒成立时，要看是对哪一个变量恒成立如果对于?a R 恒成立,的最小值大于等于g(x)，再解关于x的不等式求x的取值范围；如果对于？x R 不等式恒成立，则 的最大值小于等于f(a)，再解关于a的不等式求a的取值范围.f(a)g(x)【举一反三】已知函数f(x) = |x+a| + |2x 1|(a R) (1) 当a=