2020届江苏高考数学(理)总复习讲义：二元一次不等式组与简单的线性规划问题

1、 )必过数材美1. 一元二次不等式( (组)表示的平面区域不等式表示区域Ax+ By + C 0直线 Ax+ By+ C= 0 某一侧的所 有点组成的平面区域不包括边界直线Ax+ By +O0包括边界直线不等式组各个不等式所表示平面区域的公共部分2.线性规划中的基本概念名称意义约束条件由变量 x, y 组成的不等式( (组) )线性约束条件由 x, y 的一次不等式( (或方程)组成的不等式( (组) )目标函数关于 x, y 的函数解析式，如 z 2x+ 3y 等线性目标函数关于 x, y 的一次解析式可行解满足线性约束条件的解(x, y)可行域所有可行解组成的集合最优解使目标函数取得最大值

2、或最小值的可行解线性规划问题在线性约束条件下求线性目标函数的最大值或最小值问题小题体验1. (2018 宿迁期末) )若点 A(1,1), B(2, - 1)位于直线 x + y a= 0 的两侧，贝 U a 的取值范围为_ .解析：点 A(1,1), B(2, 1)位于直线 x+ y a = 0 的两侧，(1+1a)(21a)v0,即 (2a)(1a)v0,则(a 1)(a 2)v0，解得 1 0.答案：x+ y 1 0答案：6必过易措美1 画出平面区域避免失误的重要方法就是首先使二元一次不等式化为0(a 0) 2.线性规划问题中的最优解不一定是唯一的，即可行域内使目标函数取得最值的点不 定

3、只有一个，也可能有无数多个，也可能没有.3.在通过求直线的截距 b 的最值间接求出 z 的最值时，要注意：当 b0 时，截距 b 取最大值时，z 也取最大值；截距z取最小值时，z 也取最小值；当 bv0 时，截距 7 取最大值时,bbz 取最小值；截距学取最小值时，z 取最大值.小题纠偏ywx，1.已知实数 x，y 满足 x+ yw1， 则目标函数 z= 2x y 的最大值为vy- 1，3. (2018 南京高三年级学情调研) )已知实数 x, y 满足条件2Wx3,x+yw8,则 z= 3x 2y的最大值为解析：作出不等式组所表示的可行域如图中阴影部分所示,当 z= 3x 2y 经过点 A(

4、4,3)时，z 取得最大值，所以zmax= 3x4 2X3= 6.ax + by+ c4x=2x=4解析：画出平面区域如图所示，目标函数可变为y= 2x z,将直线 y= 2x 进行平移可得在点(2, 1)处截距最小，所以此时z 最大,最大值为 5.答案：5/ /t f?二；2实数 x, y 满足 fy 0，使 z= ax+ y 取得最大值的最优解有2 个，则 zi= ax+ yl|x+y|w1,+1 的最小值为_ .解析：画出不等式组所表示的可行域如图中阴影部分所示，因为 z= ax+ y取得最大值的最优解有 2 个，所以一 a = 1, a=- 1,所以当 x= 1, y= 0 或 x=0

5、, y=- 1 时，z= ax+ y=- x+ y 有最小值1，所 以 ax+ y+ 1 的最小值是 0.答案：0考点一 二元一次不等式 组表示平面区域基础送分型考点 一一自主练透题组练透x 1 ,1 .已知约束条件 妆+ y 4W0,表示面积为 1 的直角三角形区域，则实数k =kxyw0 x 1,解析：先作出不等式组*对应的平面区域，如图.x+yw4,要使阴影部分为直角三角形，当 k = 0 时，此时三角形的面积为3X3= 9 工 1，所以不成立.当 k = 1 时，由图可知，可构成直角三角区域且面积为1.答案：1x y 0,2.(易错题) )若满足条件 x + y 2w0, 的整点(x,

6、 y)恰有 9 个，其中整点是指横、纵iy a坐标都是整数的点，则整数 a=_.解析：不等式组所表示的平面区域如图中阴影部分，当 a= 0时,只有 4 个整点(1,1), (0,0), (1,0), (2,0);当 a = 1 时,正好增加(1, 1), (0, 1), (1, 1), (2, 1), (3, 1)共 5 个 整点.答案：1x0,3.(2018 州五校联考) )设不等式组x + 2y 4,所表示的平面区域为 D ,则区域 D2x+yw4的面积为解析：如图，画出可行域易得A 4, 4 ,B( (0,2) , C(0,4),答案：4谨记通法确定二元一次不等式( (组)表示的平面区域

7、的方法(1) “直线定界，等式组，则不等式( (组)表示的平面区域为直线与特殊点同侧的那部分区域;殊点异侧的平面区域.(2) 当不等式中带等号时，边界为实线；不带等号时，边界应画为虚线，特殊点常取原占八、考点二求目标函数的最值题点多变型考点一一多角探明锁定考向线性规划问题具有代数和几何的双重形式，多与函数、平面向量、数列、三角、概率、 解析几何等问题交叉渗透.常见的命题角度有：(1)求线性目标函数的最值；求非线性目标函数的最值；(3) 线性规划中的参数问题.题点全练角度一：求线性目标函数的最值x y 0,1.(2018 苏北四市一模) )设实数 x,y 满足 tx+ yw1, 则 3x+ 2y

8、 的最大值为 _LX+2y 1,所以可行域 D特殊点定域”，即先作直线，再取特殊点并代入不等式组若满足不否则就对应与特的面积为解析：作出不等式组所表示的可行域如图中阴影部分所示，令z=3 z3x+ 2y,则 y= 2X+,故当目标函数 z= 3x + 2y 经过点 A(1, 0)时，z巧x+2yl取得最大值，故 Zmax= 3.答案：3x+2yW1,2. (2017 全国卷I)设 x, y 满足约束条件2x + y- 1,/yw0,x+ 2y 1,xyw0所表示的可行域如图中阴影部分所示，由可行域知，当直线=2x 2 过点 A 时，在 y 轴上的截距最大，此时z 最小,所以 Zmin= 5.答

9、案：5角度二：求非线性目标函数的最值x+yw2,3设实数 x, y 满足不等式组y xw2, 则 x2+ y2的取值范围是 _-y 1,解析：如图所示，不等式组表示的平面区域是厶ABC 的内部（含边界）,x2+ y2表示的是此区域内的点（x, y）到原点距离的平方.从图 中可知最短距离为原点到直线BC 的距离，其值为 1;最远的距离为AO,其值为 2,故 x2+ y2的取值范围是1,4.答案：1,4角度三：线性规划中的参数问题2,4.（2018 苏州质检）已知 x, y 满足*x+ yw4,若目标函数 z= 3x + y 的最大值为i2xymw0.2 2(2)距离型：形如 z= (x a) +

10、 (y b).(3)斜率型：形如 z= y.x+ 2y= 1, 2x+ y= 1,解得x=1即 A( 1,1).则 z= 3x 2y 的最小值为10,则 z 的最小值为_解析： 画出不等式组表示的区域， 如图中阴影部分所示， 作 直线 I: 3x+y= 0，平移 I,从而可知经过 C 点时 z 取到最大值,3x+ y= 10, 由x + y= 4,解得 r= 3,ly= 1,所以 2x3 1 m= 0, m= 5.由图知，平移 I 经过 B 点时，z 最小，所以当 x= 2, y= 2x2 5= 1 时，z 最小，為= 3x2 1 = 5.答案：5x+ 2y 4 1是_.x+2y4w0,解析：

11、作出不等式组 x y 1w0,表示的平面区域如图中x 1阴影部分所示，由 1wax+ yw4 恒成立，结合图可知， a 0 且在 A(1,0)处取得最小值，在 B(2,1)处取得最大值，所以 a 1，且 2a + 1w4，故 a的取值范围为 1,2 3.答案：1,2通法在握1. 求目标函数的最值 3 步骤(1) 作图一一画出约束条件所确定的平面区域和目标函数所表示的平行直线系中过原点 的那一条直线；(2) 平移一一将 I 平行移动，以确定最优解的对应点的位置；求值一一解方程组求出对应点坐标( (即最优解) )，代入目标函数，即可求出最值.2. 常见的 3 类目标函数(1) 截距型：形如 z=

12、ax+ by.求这类目标函数的最值常将函数z= ax+ by 转化为直线的斜截式：y= 7x+Z 通过求b b直线的截距z的最值间接求出 z 的最值.b提醒注意转化的等价性及几何意义.而片表示区域内一点（x,y）与点D（1,1）连线的斜率,演练冲关2x+ y 2,1 已知点 P（x, y）的坐标满足 x 3y0,2.（2018 连云港质检）已知实数 x, y 满足 x 3y iw0,xw1.若 z= kx y 的最小值为5,则实数 k=_.解析：不等式组对应的平面区域是以点（1,2）, （1,0）和（一 2, 1）为顶点的三角形及其内部，当 z 取得最小值时，直线 y= kx z 在 y 轴上

13、的截距最大，当 kw1 时，目标函数直线经 过点（1,2）时，zmin= k 2= 5, k = 3 适合；当 k 1 时，目标函数直线经过点（一 2, 1） 时，zmin=2k+ 1 = 5, k= 3 适合，故 k= 3.答案：32x+y2w0,3. (2018 无锡质检 股实数 x, y 满足 3x y+ 10,iX2y1w0.则y-的最小值是_x 1解析：如图所示，画出不等式组所表示的可行域,答案：2考点三线性规划的实际应用重点保分型考点一一师生共研典例引领某工厂制作仿古的桌子和椅子，需要木工和漆工两道工序已知生产一把椅子需要木工 4 个工作时，漆工 2 个工作时；生产一张桌子需要木工

14、 8 个工作时，漆工 1 个工作时.生 产一把椅子的利润为 1 500 元，生产一张桌子的利润为2 000 元该厂每个月木工最多完成8 000 个工作时，漆工最多完成1 300 个工作时.根据以上条件，该厂安排生产每个月所能获得的最大利润为_ 万元.解析：设该厂每个月生产 x 把椅子，y 张桌子，利润为 z 元，4x+8yw8 000,则得约束条件 * 2x+ yW1 300,z= 1 500 x+ 2 000y.x, y N,作出不等式组所表示的平面区域如图中阴影部分所示，画出直线 3x+ 4y= 0，平移该直x + 2y= 2 000,x = 200,线，可知当该直线经过点P 时，z 取得

15、最大值.由|7得/即 P(200,|2x+ y= 1 300 ,|y= 900,900)，所以 zmax= 1 500X200 + 2 000X900 = 2 100 000.故每个月所获得的最大利润为210 万元.答案：210由题悟法1. 解线性规划应用题 3 步骤(1) 转化一一设元，写出约束条件和目标函数，从而将实际问题转化为线性规划问题；(2) 求解 解这个纯数学的线性规划问题；(3) 作答一一将数学问题的答案还原为实际问题的答案.2.求解线性规划应用题的 3 个注意点(1) 明确问题中的所有约束条件，并根据题意判断约束条件是否能够取到等号.(2) 注意结合实际问题的实际意义，判断所设

16、未知数 x, y 的取值范围，特别注意分析 x,y 是否是整数、是否是非负数等.所以当x=1，y=4时，巴有最小值为i2.(3) 正确地写出目标函数，一般地，目标函数是等式的形式.即时应用某旅行社租用 A, B 两种型号的客车安排 900 名客人旅行，A, B 两种车辆的载客量分 别为 36人和 60 人，租金分别为 1 600 元/辆和 2 400 元/辆，旅行社要求租车总数不超过 21 辆，且 B 型车不多于 A 型车 7 辆，求租金最少多少元？解：设旅行社租用 A 型客车 x 辆，B 型客车 y 辆，租金为 z,x+yw21,yxw7,则线性约束条件为36x + 60y 900, x,

17、y N.目标函数为 z= 1 600 x+ 2 400y.画出可行域如图中阴影部分所示,可知目标函数过点 N(5,12)时，有最小值 zmin= 36 800(元) ).故租金最少为 36 800 元.则 BC = 5 ( 3) = 8,点 A 到直线 x = 3 的距离 d= 3 ( 1) = 4,一抓基础，多练小题做到眼疾手快x y+ 2 0,1. (2018 阴期中) )不等式组*x+ y0,iXW3所表示的平面区域的面积是 _解析：作出不等式组表示的平面区域如图中厶ABC 所示.即A( x = 3,x= 3,由 i得 0,则目标函数 z= x y0,的最小值为_.解析：作出不等式组所表

18、示的平面区域( (如图中阴影部分所示) )，作出直线 y= x,则当目标函数 y= x z 过点 C(1,4)时，Zmin= 3.T-2s-y+2=0弋/4”LO 2Ai+y-5-0答案：3x+yw4,3. (2019 泰州中学高三学情调研) )已知点 P(x, y)满足彳 yx,则 z=y的最大值为Lx 1,解析：作出满足约束条件的平面区域如图中阴影部分所示.z= 丫表示x过平面区域的点( (x, y)与(0,0)的直线的斜率，由图知当直线过点A 时斜率x = i,最大，由 0,4. (2019 四川德阳月考) )设变量 x, y 满足+ y 30,则目标函数 z= 2x+ 3y 的Qx y

19、 3 0,解析：由约束条件*x+ y 3 0,作出可行域如图中阴影部分，Exy3w0 x y+ 1 = 0,x= 4,2N由解得则 B(4,5)，将目标函数 z= 2x+ 3y 变形为 y= ；x+；.2x y 3 = 0y= 5,33由图可知，当直线 y= ；x+；过 B 时，直线在 y 轴上的截距最大，此时z 取最大值，为 2X4+3X5=23.答案：235. （2018 昆山期中）若点（a,1）在直线 y=- 2x + 2 的下方，则实数 a 的取值范围是解析：因为直线 y= 2x+ 2 下方的点的坐标满足不等式yv 2x + 2,1又点（a,1）在直线 y= 2x + 2 的下方，所以

20、 1v2a + 2,解得 av-.答案：汽1xy+ 5 0,6. （2018 昆明七校调研）已知实数 x, y 满足 仪 0.解析：依题意，在坐标平面内画出不等式组表示的平面区域及直线 x+ 3y= 0,如图，平移直线 y= x,当直线经过点（4, 4）时，3在 y 轴上的截距达到最小，此时z= x + 3y 取得最小值 4+ 3x（ 4）=&答案：8二保咼考，全练题型做到咼考达标ywx1,1. （2018 苏州期末）已知实数 x, y 满足 x 4,解析：作出不等式组所表示的可行域如图中阴影部分所示,作出直线 2x y= 0，平移直线 2x y= 0，当直线过点 A 时，z= 2x y 取得

21、最大值,r联立 |x3，得 A(3,1)，所以 Zmax= 5.x+ y= 4,答案：5x-2W0,2. (2019 宿迁调研) )已知点 P(x, y)在不等式组 iy- 1 0动，贝 H Qx2+ y2的最小值为 _解析：作出不等式组所表示的可行域如图中阴影部分所 示.，x2+ y2的几何意义是可行域内的点与坐标原点0 的距离，由图知，点 0(0,0)到直线 x + 2y-2= 0 的距离是x2+ y2的最小值，其最小值为昙=罕x+ 3y 4,3. (2018 徐州二模) )若不等式组 i3x + yw4,所表示的平面区域被直线y= kx+ 分为3X0面积相等的两部分，则 k 的值是_解析

22、：作出不等式组所表示的可行域如图中厶ABC所示，解得 A(1,1),易得 B(0,4), C 0,3，又直线 y= kx + 3 过点 C 且把 ABC 的面积平分，所以直线y = kx+ 4 过 AB 的中点 k=答案：7x a,4. (2018 湖南东部六校联考) )实数 x, y 满足 yx,(av1)，且 z= 2x+ y 的最大值以+yw2是最小值的 4 倍，贝 U a =_ ,y解析：如图所示，平移直线2x+ y= 0,可知在点 A(a, a)处 zx-a取最小值，即 Zmin= 3a，在点 B(1,1)处 z 取最大值，即 Zmax= 3,所1 %hJ 、x+y=22cv+y-0

23、所表示的平面区域内运答案:2 ,55x+ 3y= 4,3x + y= 4,2，所以1 以 12a = 3,即 a= 一.41答案：145. （2019 南通模拟）甲、乙两种食物的维生素含量如表:维生素 A（单位/kg）维生素 B（单位/kg）甲35乙42分别取这两种食物若干并混合，且使混合物中维生素A, B 的含量分别不低于100,120单位，则混合物质量的最小值为kg.解析：由题意，设混合物中甲为 x kg,乙为 y kg,混合物为 z= x+ y,3x+ 4y 100,则得约束条件5x+ 2y 120,作出其平面区域如图所示,K 0, y 0,平移直线x+ y= 0,可知当直线经过点A 时

24、，z 取得最小值.由*X 3i+4y=lOOfi+2y=l2i03x + 4y= 100,5x + 2y= 120,解得 x= 20, y= 10,即 A(20,10)，所以 Zmin= x+ y= 30.答案：306已知实数 x,x+ y 3,y 满足约束条件彳 yw3,则 z= 5 (x2+ y2)的最大值为iXw3,解析：作出满足约束条件表示的可行域如图中阴影部分所示，求目标函数 z= 5 （x2+ y2）的最大值，即求.x2+ y2的最小值由几何意 义知就是求可行域内的点P（x, y）到原点距离的最小值易知点O 到直线 x+ y 3 = 0 的距离最短，为 节，所以 zmax= 512

25、.y3tL31厂工=37. （2019 靖江模拟）x, y 满足约束条件x+y2w0,x2y20,z= yax 取得最大值的最优解不唯一，则实数 a 的值为解析：作出不等式组所表示的可行域如图中阴影部分所示，将=y ax 化为 y= ax+ z, z 相当于直线 y= ax+ z 的纵截距，由题意可得，当y=ax+ z 与 2x y+ 2= 0 或与 x + y 2= 0 平行时符合题意, 故a = 2 或一 1.答案：2 或1x+y1w0,xy1w0,iXa0,成立，则实数 a 的取值范围是所以 Umin= 3 2X2= 7,Umax=12X(6)=11.z=煮=x5，求z的最大值和最小值，

26、即是求可行域内的点连线斜率 k 的最大值和最小值.设点M 的坐标为（5,0）,由（1）知点 B 的坐标为（一 1, 6），点 C 的坐标为（一 3,2）,8. （2018 启东中学测试）已知变量 x, y 满足约束条件yx 2解析：作出不等式组所表示的可行域如图中阴影部分所示,yx 表示区域内的点（x, y）与定点 A（2,0）连线的斜率 k,由图易知 BC 与 y轴重合时,1 1|k|wkAC= 2，此时 a = 0,当 BC 向右移动时，|k|wkAc 0.（1）求 u= x 2y 的最大值和最小值;求z=总的最大值和最小值.解：作出不等式组所表示的可行域如图中阴影部分所示.(1)由7x5

27、y23=0，得点 B 的坐标为( (1, 6),4x + y+ 10= 0 x + 7y 11= 0,1得点 C 的坐标为( (一 3,2),4x+ y+ 10= 0平移直线 u= x 2y 可知，直线过 C 点时，z 取最小值，过B 点时,z 取最大值.(x, y)与点(5,0)-1y4jc+y+10-02 0所以kmax=kMC=3.5 =1, =k= 60=3 kmin=kMB= 5=Q,所以 x+5 勺最大值是1最小值是1.xy+20,10. (2019 苏北四市调研) )已知 x, y 满足约束条件x+ y 40,2xy5W0,(1)(1)z= x+ 2y 4 的最大值；(2)(2)

28、z= x3+ y4 10y+ 25 的最小值;(3)z=2y+5的取值范围.x+ 1解：作出不等式组所表示的可行域如图中阴影部分所示,并求出顶点坐标分别为A(3,1), B(1,3), C(7, 9).(1)作出直线 x+ 2y= 0,平移该直线，当直线经过点C 时,Z 取得最大值，Zmax=7+ 2X94=21(2)z= x2+ y2 10y+ 25= x2+ (y 5)2表示可行域内任一点(x, y)到定点 M(0, 5)的距离的平方，由图知点 M 到直线 x y+ 2= 0 的距离的平方为所求小值，所以加=|7212=9.y+2 、一=2 2的几何意义是可行域内的动点x+ 1-y+2=0/y/f0 /备 g求:z 的最P(x, y)与定点 D 1, 1连线斜率的2 倍.37故 z 的取值范围是3,7A2三上台