对数平均数不等式链的几何证明及变式探究

1、设b> a> 0 ,则 b> a+>2b- a > In b- In a'Tab-21 1a b> a，其中a b被称为“对数In a In b对数平均数不等式链的几何证明及变式探究中学数学教育专家安振平在剖析2013年陕西高考数学压轴题时指出，其理论背景是:精选范本，供参考!平均数”.基于此，笔者进安振平老师通过构造函数，借助导数，证明了上述对数平均数不等式链，难度较大 行了深入的探讨，给出对数平均数不等式链的几何证明，形象直观，易于理解1对数平均数不等式链的几何证明AP II BC U TU II KV，1如图，先画反比例函数 f（X ） = （

2、X >0 ）的图象，再画其他的辅助线，其中 X.设函数f （X）在点f 1MN 11 CD llx 轴，A(a , 0 ), P (a,S矩形ABNM，因为Sa边梯形ABQP > S梯形kF?,走处的切线分别与直线(b- a).AP,BQ交于点E,F，则根据左图可知:ABFEb 12a+ b所以 J -dx= In b- In a >X因为2曲边梯形AUTPJ -dx= In Tab- In a 二Q X1 12(lnb- In a) = 2边梯形abqp，S梯形AUTP = 2l+iw后-a)=7 需扛ABCD，b- a 而根据右图可知：S曲边梯形auTP v S梯形aut

3、 p ,所以In b- I nav .Jab另外，根据S矩形ABQX < S曲边梯形ABQP <S弟形ABQP <S矩形abyp，可得:(b- a) v Inb- Inav + - j(b- b2?® b a)<(b- aa).综上，结合重要不等式可知:1(b- a)v4vInb- b'' a+ bInav b-a屁<1骣2?吿+1 jb- a)v1(b-a)，即 b>U b- a >2 In b- In aTab >2>11+ -aba(b> a>0).2对数平均数不等式链的变式探究 近年来，以对数平

4、均数不等式链为落点的压轴试题层出不穷，如年新课标I、 2014年陕西卷、2014福建预赛、2014年绵阳一、三诊、2015合肥最后一卷等等，因此关注 对数平均数不等式链的变式探究是十分必要的.2010年湖北卷、2012年天津、2013为了行文叙述的方便，将对数平均数不等式链中的不等式，记为式；将In b- In ab- a > In b- In aJOb，记为式；将b>ln b-b- a>In a，记为式变式探究1:取a = Xi,b = X2，则由知:X1 +x22X2-X1>In X2 Tn x1于是，可编制如下试题：已知X2 >Xi >0，求证：lnx

5、2-lnx.>2(X2X1)X1 +X2变式探究2 :取a=x,b=X2，则由知:X2 -X1In X2 Tn x1>7x1xr.于是，可编制如下试题：已知X2 AXj >0，变式探究3:取a =捲山=X2，则由知:2>-.于是，可编制如下试题：已In X2 Tnx1 丄 + 丄X1 X2X2>X2-X1X X求证：In X2 T门<.VX1X222X2 -X12x1x2知 X2 > X1 > 0，求证：1 一互 < I n X2 T n % <X2变式探究4：取 a =X1 +1,b =X2 +1，则由知：（X1+1）+（X2+1）

6、a 区+“为十.于是，可 "In（X2 +1） -1 n（捲 +1）编制如下试题:对任意Xi, X2 （ h），且 Xi 工 X2 ,X2 XiXi +X2求证：In（X2 +1）-Indj +1） V 厂 +1.变式探究5：取a=Xi +1,b =X2 +1，则由知:朋：肌时丙.于是，可编制如下试题:对任意Xi, X2 匸（1,，且 Xi H X2 ,X2 - X1求证： > Jx1X X<l- X1 .In（X2+1）I n（X1 +1） J变式探究6:取 a+1,b =X2 +1，则由知:一（X2+1） （X1+1）2X<H1 > > In（X2+

7、1）I n +1）1 + 1人+1 X2+1是，可编制如下试题：对任意X1,X2 忘(一1,母)，且 X1 H X2，求证:X2 X12（X1+1）（X2+1）X2 +1 >=:>In（X2 +1）I 门（为 +1）为 +X2 +2变式探究7：取a =为-1,b =X2 -1，则由知:（x1 1）rx2-1）> 化U （X1-1）.于是, In（X21） I n（X1 1）编制如下试题:对任意X1, X2 （1,邑），且 X1 HX2，求证:.41.In（X2 -1） I门（为-1）2变式探究=X1 -1,b =X2 1，则由知:（X2 -"-（花 一1）In（X2

8、 -1） jndj T）> J（X1 -1）（X2 -1）.于是，编制如下试题:对任意X1,X2 巳1,+），且 X1 KX2，求证:X2 X1In（X2 T）Tn（为 T）> Jx,X2 - % - X2 +1 .变式探究9：取 a = X11,b = X2-1，则由知：X2_1 A （X2 -“-（捲-1）In（X2 -1） In（X1 -1）+为 一1X2 -1可编制如下试题：对任意 X1,X(1)，且X1 H X2，求证:X2 十化-1）“-1）In（ X2 -1） Tn（ Xi -1）>2（X1-1）（X2-1）Xj + X2 -2X1变式探究 10：取a=eX1,

9、b=e'严，则由知：+eX22A兰三.于是，可编制如下试题：对任意X2 -X1Xj, X2 壬 R，且 X2 >x1，求证:X2X1X2e -e 1> X1X2ee"2变式探究11：取a =eXl,bXX1= eX2，则由知：eeX2 .于是，可编制如下试题：对任意Xi,X2 迂 R，且 X2 >Xi，求证:(X2-Xi 丫尹2变式探究12 ：取a = ex , bX2 -Xi<(eJ”eX2eX2 -e"1>X2 X12> 一2一 .于是，可编制如下试题：对 丄+1Xie eX22eXi 恢eX2 _eX1任意 X2 R，且 XX1，求证：eX2>KE-X22eX11-严 1e* + eX X2 -X-i V总之，对数平均数不等式链的运用是近几年数学竞赛、名校模拟数学试题、高考数学真题的理论背景,正如陕西师范大学罗增儒教授所言：我们可以通过有限的典型考题的学习，去领悟那种解无限道题的数