初二年级几何证明例题精讲(20200915034323)

1、初中学习资料整理总结初二年级几何证明例题精讲【例11.已知：如图6,厶BCE、 ACD分别是以BE、AD为斜边的直角三角形，且BE = AD ， CDE是等边三角形.求证： ABC是等边三角形.证明：/ BCE=90 / ACD=90在 ECBm ACD中/ BCEW BCAy ACEBE=AD/ ACD2 ACEy ECD/ BCEy ACD/ ACBy ECDEC=CD图6/ ECD=60 CD=EC即 ACB=60 ECBA DCA( HL ) BC=ACV/ ACB=60 ABC是等边三角形【例 21、如图，已知 BC > AB , AD=DC。BD 平分/ ABC。求证：/ A

2、+ / C=180 .证明：在BC上截取BE=BA,连接DE, V BD 平分/ BAC/ ABD = / EBD在 ABD和 EBD中'AB=EB</ ABD = / EBD,BD=BD ABD 也 EBD (SAS)/ A= / BED AD= DEVAD=DC DE=DC得 / DEC=/CV/ BED+ / DEC=180°/ A+ / C=180°1、线段的数量关系：通过添加辅助线构造全等三角形转移线段到一个三角形中证明线段相等。倍长中线【例.31如图，已知在 ABC中，N C=90 : Z B =30 °, AD平分N BAC，交BC于点

3、D.求证：BD =2CD证明：延长DC到E,使得CE=CD,联结AEV/ C=90° AC 丄 CDVCD=CE AD=AEV/ ADE=60 ° AD=A ADE为等边三 AD=DEVDB=DA BD=DEDC第3题 BD=2DCV/ B=30°/ C=90°/ BAC=60 °V AD 平分/ BAC/ BAD=30 ° DB=DA / ADE=60 °【例4.】 如图，D是 MBC的边BC上的点，且CD=AB，ADB BAD , AE是 MBD 的中线。求证：AC=2AE。DF/ ADC= / ABD+ / BDAV/

4、 ABE= / FDE/ ADC= / ADB+ / FDE 即 / ADC = / ADF 在 ADF和 ADC中AD=AD/ ADF = / ADCDF =DC ADF 也 ADC(SAS) AF=AC AC=2AE证明：延长AE到点F使得EF=AE联结F在 ABE和 FDE中 BE =DE电 / AEB= / FED、AE=FE ABE 也 FDE ( SAS) AB=FD / ABE= / FDEVAB=DC FD = DCT ZADB =NBADV/ ADC= / ABD+ / BADDF/ ADB= / ACD+ / CDA V/ ACE= / FDE/ ADB= / ADC+ /

5、 FDE 即 / ADB = / ADF 在 ADF和 ADB中AD=AD/ ADF = / ADBD F =DB ADF 也 ADB(SAS)/ FAD=/ BAD AD 平分/ DAEBAE.【变式练习】、如图， ABC中, BD=DC=ACE是DC的中点，求证：AD平分/ 证明：延长AE到点F使得EF=AE联结在 ACE和 FDE中(CE =DEJ / AEC= / FEDI AE=FE ACE 也 FDE ( SAS) AC=FD / ACE= / FDEVDB=AC DB = DFV/ ADB= / ACD+ / CADV AC=DC / CAD= / CDA【小结】熟悉法一、法三“

6、倍长中线”的辅助线包含的基本图形“八字型”和“倍长中线”两种基本操作方法，倍长中线，或者倍长过中点的一条线段以后的 对于解决含有过中点线段有很好的效果。第3页共11页【变式练习】：且 AC=BF。证明：延长如图所示，AD是 ABC的中线，BE交AC于E,交AD于F,求证：AE=EF。AD至点G，使得DG=AD，联结BD在 ADC和 GDB中 BG= BFAD=GD/ BFG= / BGF/ ADC= / GDBV/ CAD = / BGDBD=DC/ BFG= / CAD ADC GDB (SAS)V/ BFG=/ AFE得 AC= BG / CAD = / BGD/ AFE= / FAEVA

7、C=BF AE =AF、借助角平分线造全等【例5】如图，已知在 ABC中, / B=60°， ABC的角平分线AD,CE相交于点0,第3页共11页求证：0E=0D证明：在AC上截取AF=AE ,联结OF在 ABC中,/ B+/ BAD/ ACB=180'AE=AF在 AOEm AOFV/ B =60 °/ BAD/ ACB=120AO =Io/ EAO/ FAOV AD 平分/ BAC AOEA AOF( ASA在 CO丙 COF中/ BAC= 2Z OAC/ AOE/ AOE OE=OF/ DCO / FCOV CE 平分/ ACBV/ AOE=60 °

8、CO=CO/ ACB= 2/ ACO/ AOE+/ AOE/FOC=180/ DOC/FOC 2 / OAC+2 ACO=120/ FOC=6O:. CODA COF( ASA/ OAC/ ACO=60V/ AOE=/ COD OD =OFV / AOE= / OAC/ ACO / COD=60V OE=OFAOE=6OAD OE=OD【例61.如图， ABC中，/ BAC=90度，AB=AC , BD是/ ABC的平分线,BD的延长线垂直于过C点的直线于E,直线CE交BA的延长线于F.求证:BD=2CE.证明：延长BA，CE交于点F,在 BEF和 BEC中,V/ 1 = / 2，BE=BE，

9、/ BEF=/ BEC=90， BEF A BEC, EF=EC，从而 CF=2CE。 又/ 1 + / F=/ 3+/ F=90° ,故/ 1 = / 3。【例7】正方形ABCDK E为BC上的一点，F为CD上的一点，BE+DF=E,【小结1解题后的思考：_x0001_于角平行线的问题，常用两种辅助线;求/ EAF的度数.在 A ABD和 A ACF中，v / 1 = / 3, AB=AC , / BAD= / CAF=9°, A ABD A ACF,二 BD=CF，二 BD=2CE。/ GAEM FAE/ DAF+M BAF=90/ GAB =/ FAD/ GAF =

10、90° / EAF = 45 °I la2IIIi|延长EB到点G 使得BG =BE 先证明 ADF也 ABE可得至U AF =AG / DAF = / GAB EF =BE +DF EF = BE+BG =GE:. GAE 也 FAE则N CBD的大【例8】.将一张正方形纸片按如图的方式折叠，BC,BD为折痕, 小为 90°(1)中结论/ ECB/ AHB=90/ ECB/ CHF=90例 91.如口图，已知/ ABC= / DBE=90 °, DB=BE , AB=BC . (1)求证：AD=CE ,AD丄CE 若 DBE绕点B旋转到 ABC外部，其

11、他条件不变，则是否仍成立？请证明 提示：/ ABC/ DBE =90° / ABC-/ DBC/ DBE - / DBC/ HFC=90即/ ABD/ CBE ABD 也 CBEAD=CE/ BAD/ ECB / BAD/ AHB=90【例101 .如图在Rt ABC中,AB=AC, / BAC=90 ° ,O为BC中点.写出O点到 ABC三个顶点A、B、C的距离关系(不要求证明)线段AB、AC上移动,在移动过程中保持AN=BM,请判 明你的结论.联结OA则 OA(» OABDTE为等腰直角三角形第5页共11页 OA=OB=OC ANO也 BMO(/ NOAM O

12、BM可得 ON=OM / NOA=/ MOB可得到/ NOM= / AOB=9O °例 11】如图，已知心ABC为等边三角形，D、E、F分别在边BC、CA、AB上，且iDEF也是等边三角形.(1)除已知相等的边以外，请你猜想还有哪些相 等线段，并证明你的猜想是正确的;(2)你所证明相等的线段，可以通过怎样的变化相互得到？写出变化过程.AE=BF =CD AF=BD =CEABC等边三角形 ADEF也是等边三角形得到/ EFD=60 / ABC=60V/ AFD玄 FBD+Z FDB/ AFD/ AFE+/ EFD / AFE=/ BDF同理： AEF CDE、截长补短【例12】、如图

13、，MBC中，AB=2AC AD平分N BAC，且AD=BD求证：CDIACC【例 13】如图，AC/ BD, EA,EB分别平分/ CAB,/ DBACD过点 E,求证;AB = AC+BD【例16】已知:/ 1 = / 2, CD=DE , EF/AB，求证：EF=AC第11页共11页上，并且AP, BQ分别是N BAC，ZABC的角平分线。求证：BQ+AQ=AB+BP证明：如图（1）,过O作OD/ BC交AB于D,/ ADOh ABC=180 60° 40° =80°,又/ AQOMC+/ QBC=80，/ ADOh AQO又/ DAOh QAO OA=AO

14、ADOA AQOOD=O, AD=AQ又TOD/ BP,h PBOh DOB又Th PBOh DBO h DBOh DOBBD=OD又Th BPAh C+h P AC=70 ,/ BOPh OBAh BAO=70 , h BOPhBPO BP=OBAB+B P=AD+DB+B P=AQ+OQ+BO=AQ+BQ【例15】.如图，在 ABC中，/ ABC=60 ° , AD、CE分别平分/ BAC、/ ACB , 求证：AC=AE+CD .方法同【例5】G,联结CG 也GDCFE = CG延长FD至点 先证明 FDE 得 /EFD = /CGD,EF/AB/ EFD =/ 1/CGD=/

15、1/ 1 = / 2, / 2=/ CGD AC= CG FE = CG EF=AC【例17】如图,SBC为等边三角形，点M,N分别在BC,AC上，且BM = CN ,AM与BN交于Q点。也 BCN (SAS) / BAM的度数。先证明 ABM可得/ CBN =/ AQN= / ABQ+ / BAQ/ BAM= / CBN / AQN= / ABQ+ / CBN 即 / AQN= / ABC = 60°(4)过图形上某一点作特定的平行线，构造全等三角形，利用的思维模式是全 等变换中的“平移”或“翻转折叠”【例18】：如图,A ABC中, AB=AC E是AB上一点,F是AC延长线上一

16、点,连 EF 交 BC于 D,若 EB=CF 求证：DE=DF证明：过E作EG/AC交BC于 G, 则/ EGB/ ACB又 AB=AC；/ B=/ ACB/ B=/ EGB / EGD/ DCF EB=EG=CF/ EDB/ CDF DGE3 A DCF DE=DF.【例19】已知：如图，在四边形ABCD中，AD / BC, BC = DC , CF平分/ BCD ,(2) ADDF/ AB , BF的延长线交DC于点E.求证：（BFC DFC;=DE.联结BD证明： CF平分/ BCD/ ADB= / CDB/ BCF=/ DCF DF / AB在 BCF和 DCF中(BC=CD/ ABD

17、= / BDFBF=DF</ BCF=/ DCF/ FDB= / FBD、CF=CF BCF 也 DCF (SAS) BF=DF(2) AD / BC/ ADB = / CBD BC = DC(ASA)/ CBD= / CDB/ ABD= / FBD 在 ABD和 EBD中/ ABD= / EBDBD=BD/ ADB= / EDB ABD 也 AD = DE EBD【课堂练习】1.如图，已知 AE 平分/ BAC, BE 上 AE 于 E, ED / AC，/ BAE=36。，那 么/ BED= 126°延长AE交AC于F2 .如图：BE 丄 AC , CF 丄 AB , BM

18、=AC , CN=AB。求证：(1) AM=AN ; (2) AM 丄 AN。【试卷上面的已讲】综合题：已知在 ABC中，N ABC =45，高AD所在的直线与高BE所在的直线交于点F，过点F作FG / BC，交直线AB于点G ,联结CF . （1）当 ABC是锐角三角形时（如图a所示），求证：AD=FG+CD ；（2）当NBAC是钝角时（如图b所示），写出线段AD、CD、FG三者之间的数量关系，不必写出证明过程,直接写结论；当BE=FE, BD=4时，求FG的长.第27（ a）题11页第27 (b )题可知 FDC和 AFG都为等腰直角三角形图（b）中 ABD 和 FD=DC AF =FG AFG都为等腰直角三角形 AD=AF+FD BDF第15页共11页 AD=FG+DCDC = FDFD=AF+ADCD=FD【总结】常见辅助线的作法有以下几种:1)遇到等腰三角形，可作底边上的高，利用“三线合一”的性质解题,思维模式是全等变换中的“对折”.2)遇到三角形的中线，倍长中线，使延长线段与原中线长相等，构造全等三角形，利用