2020年新课标版高考理数一轮复习：专题十六不等式选讲

1、专题十六不等式选讲挖命题【真题典例】（201911，23, 1吩）iP/Ai=5-lx-wd-U-2l.小-1时.噸不毎式心序側解套；.rQ籾riW I我譚的取悄范围”-“O樓心考点1，割炖值不竿式的磁2二欢幣敦叭鬧晾*1申:质，思踣分析当不節武嗣*n可！Ht为fcHI*U-ZK5. -1. -lo2,抻氓对值祁不蒂式松段中所求得W琳. 2税桶姻前倩三宦不养式得IrwklrT前蜡小悄.會解不零式缺丿知屜的耽恨范FR第答过程$弄集也F机工0数学思想方法B I.舟昊聽0MS方陆忧堂时值评号去忡.转比为好锻胡讪一貌形站令卑想:帯肋i：罔象的貞耳性輛6时值卓乱式.防羸规律I議考内睿:屛览炖值不需式是丰

2、专J9在高 苇申第或点内容以!含有两个紙对值的不 等式为卞工号盲題式:氐辭普葩为卞.3,竹泊:lMh傭备知识1,形如|#Sdf型的不等式主卍有=榊曲江分段讨论底IL阿庇3限翼也2.葩对佝二呦羽带式 室审MLM也奇hl曲HFFl仪itAOftf,耳 铮磴上L世验血.1：= .j-M+IA-r-N 1 LRbiirJ-.ll-i #0f克曲母盛宝I.方法总结齊绝时口杠苇曲的宋“尚I.割对他的匣!W翳一tMMt 签果HI斑聊值讨忍畑K斛的力也柜 解决.2”不尊式恫毗址问魁可转化为*鮮蘭独的J&M%、刑划；出信对H城工“ 峽U玄盘和】疼州殛立*即爪打.疼工【考情探究】考点内容解读5 年考情预测

3、热度考题示例考向关联考点1.绝对值不等式1理解绝对值的几何意义，并能利用含绝对值不等式 的几何意义证明以下不等式：|a+b| 珥 a|+|b|.|a-b| 珥 a-c|+|c-b|.2会利用绝对值的几何意义求解以下类型的不等 式:|ax+b|0 的解集为()A.-B.-C. -D.-答案 A2.不等式|x+3|-|x-1|A.(- 2,+C.- 2,+a)二 2 的解集为()B.(0,+a)D.0,+a)答案 CA.-5,7B.-4,6C.(-a,-5U7,+a)答案 D4.(2018 山东泰安一模,23)已知函数f(x)=|x+m|+|2x-3|(m R).(1)当 m=-3 时，解不等式

4、f(x)9;若存在 x 2,4,使得 f(x) W 成立,求 m 的取值范围.析法、反证法、放缩法2017 课标n,23,10 分2016 课标n,24(n),10分2015 课标n,24,10 分不等式的证明基本不等式3.(2018 河南南阳第一中学第一次月考,2)不等式|x-5|+|x+3| 羽的解集是(D.(-a，+a)A.|x-y|2tB.|x-y|2tD.|x-y|t答案 A2. 已知 a,b R,则使不等式|a+b|0B.a+b0D.ab0答案 D3. 设 a,b 为不等的正数，且 M=(a4+b4)(a2+b2),N=(a3+b3)2,则有(A.M=NB.MND.M 纲答案 C4

5、. (2018 广东中山二模,23)已知函数 f(x)=x+1 + |3-x|,x1.(1)求不等式 f(x)詬的解集；若 f(x)的最小值为 n,正数 a,b 满足 2nab=a+2b,求证:2a+b .当 m=-3 时,f(x)=|x-3|+|2x-3|(m由于 f(x)9,则 |x-3|+|2x-3|9.R),所以解得-1x5.故原不等式的解集为x|-1x5.存在 x 2,4,使得 f（x） W 成立，即存在 x 2,4,使得|x+m|詬-2x,所以存在 x 2,4,使得解得-4 呦电.所以 m 的取值范围为-4 薛 mO.方法总结带有限定区间的含绝对值的不等式有解和恒成立问题（或全部）

6、绝对值，再进行求解.,先由限定区间去一部分考点二不等式的证明1.若 |x-s|t,|y-s| 原不等式得证炼技法【方法集训】方法1含绝对值不等式的解法1.(2018 安徽合肥第二次教学质量检测,23)已知函数f(x)=|3x+m|.(1)若不等式 f(x)-m 电的解集为-1,3,求实数 m 的值；若 m0，函数 g(x)=f(x)-2|x-1|的图象与 x 轴围成的三角形的面积大于围解析(1)由题意得解得 m9.可化为-9-m 0,60,求 m 的取值范-g(x)= g(x)的图象与 x 轴围成的ABC 的三个顶点的坐标为A(-m-2,0),B SAB(=- |AB| |yC|=-60,解得

7、 m12.实数 m 的取值范围为(12,+ g).2.(2017 广东肇庆第三次统测,23)已知函数 f(x)=|x+1|,g(x)=2|x|+a.(1)若 a=0,解不等式 f(x)司(x);若存在 x R,使得 f(x)词(x)成立，求实数 a 的取值范围.解析 (1)当 a=0 时，由 f(x)用(x),得|x+1|詔 x|,两边平方,并整理得(3x+1)(1-x) 为，解得-纟勻，所以所求不等式的解集为-.解法一：由 f(x)用(x),得 |x+1| 丝|x|+a,即 |x+1|-2|x| 洽 令 F(x)=|x+1|-2|x|,依题意可得 F(x)max洽F(x)=|x+1|-|x|

8、-|x|珥 x+1-x|-|x|=1-|x|1,当且仅当 x=0 时,上述不等式的等号同时成立，所以 F(x)max=1.所以 a 的取值范围是(-g,1.解法二：由 f(x)司(x),得 |x+1| 丝|x|+a,即 |x+1|-2|x| 泡令 F(x)=|x+1|-2|x|,依题意可得 F(x)max%.F(x)=|x+1|-2|x|=-易得 F(x)在(-g,0)上单调递增，在(0,+g)上单调递减，所以当 x=0 时,F(x)取得最大值，最大值为 1.故 a 的取值范围是(-g,1.方法2与绝对值不等式有关的最值问题1.(2018 河南豫南九校 5 月联考,23)已知函数 f(x)=|

9、x+1|+|x-3|.(1)若关于 x 的不等式 f(x)a 有解，求实数 a 的取值范围；若关于 x 的不等式 f(x)f(x)min, f(x)=-绘制函数 f(x)的图象如图所示，观察 函数的图象，可得实数 a 的取值范围是(4,+g).,C-|x+1|+|x-3|5 可得:-x_.故 b=_,a+b=5- _=-.2.(2018 山西高考考前适应性测试,23)已知函数 f(x)=|x-1|-a(a R).(1) 若 f(x)的最小值不小于3,求 a 的最大值；若 g(x)=f(x)+2|x+a|+a 的最小值为 3,求 a 的值.解析因为 f(x)min=f(1)=-a,所以-a 為解

10、得 a-3,即 ama3.(2) g(x)=f(x)+2|x+a|+a=|x-1|+2|x+a|.当 a=-1 时,g(x)=3|x-1|为,0 希，所以 a=-1 不符合题意；当 a-1 时,同理可知 g(x)min=g(-a)=a+1=3,解得 a=2.综上,a=2 或-4.过专题【五年高考】A组统一命题课标卷题组考占一绝对值不等式1.(2018 课标H,23,10 分)设函数 f(x)=5-|x+a|-|x-2|.=5,求解绝对值不等式(2)由题意可得当 a=1 时,求不等式 f(x)为的解集；若 f(x)弓,求 a 的取值范围.解析(1)当 a=1 时，f(x)=-可得 f(x)为的解

11、集为x|-2致W.f(x)1 等价于 |x+a|+|x-2| 绍.而|x+a|+|x-2| 專+2|,且当 x=2 时等号成立.故 f(x) 等价于|a+2|羽.由 |a+2|台可得 a6 或 a 迄所以 a 的取值范围是(-8,-6U2,+a).方法总结解含有两个或两个以上绝对值的不等式，常用零点分段法或数形结合法求解含有两个或两个以上绝对值的函数的最值,常用绝对值三角不等式或数形结合法求解2.(2018 课标川,23,10 分)设函数 f(x)=|2x+1|+|x-1|.(1)画出 y=f(x)的图象；当 x 0,+a)时，f(x) ax+b,求 a+b 的最小值.解析本题考查函数的图象与

12、绝对值不等式恒成立问题(1)f(x)= y=f(x)的图象如图所示(2)由(1)知,y=f(x)的图象与 y 轴交点的纵坐标为2,且各部分所在直线斜率的最大值为3,故当且仅当 a 绍 且 b 丝 时,f(x)ax+b 在0,+)成立,因此 a+b 的最小值为 5.易错警示对零点分段法”的理解不到位若不等式含有两个或两个以上的绝对值并含有未知数，通常先把每个绝对值内代数式等于零时的未知数的值求出(即零点),然后将这些零点标在数轴上，此时数轴被零点分成了若干段(区间),在每一段区间里，每一个绝对值符号内的代数式的符号确定，此时利用绝对值的定义可以去掉绝对值符号解后反思绝对值不等式问题常见类型及解题

13、策略(1) 直接求解不等式，主要利用绝对值的意义、不等式的性质想办法去掉绝对值符号求解(2) 已知不等式的解集求参数值，利用绝对值三角不等式或函数求相应最值，然后再求参数的取值范围3.(2017 课标I,23,10 分)已知函数 f(x)=-x2+ax+4,g(x)=|x+1|+|x-1|.(1)当 a=1 时，求不等式 f(x)用(x)的解集；若不等式 f(x)司(x)的解集包含-1,1,求 a 的取值范围解析本题考查含绝对值的不等式的解法，考查学生的运算求解能力以及对数形结合思想的应用能力(1)解法一(零点分段法)：当 a=1 时，不等式 f(x)司(x)等价于X2-X+|X+1|+|X-

14、1|-4电 当 x1 时,式化为 x2+x-4 O,从而 1x- 所以 f(x)司(x)的解集为解法二(图象法):由已知可得 g(x)=当 a=1 时，f(x)=-x2+X+4,两个函数的图象如图所示解法一(等价转化法):当 x -1,1时,g(x)=2.所以 f(x)司(x)的解集包含-1,1等价于当 x -1,1时 f(x)迄又 f(x)在-1,1的最小值必为 f(-1)与 f(1)之一，所以 f(-1) 呈 且 f(1)老 得-1 毛1.所以 a 的取值范围为-1,1.解法二(分类讨论法):当 x -1,1时,g(x)=2,所以 f(x)司(x)的解集包含-1,1等价于 x -1,1时

15、f(x)逖 即-x +ax+4 丝，2当 x=0 时，-x +ax+4 呈成立；当 x (0,1时，-x2+ax+4 呈可化为 a 孩-,而 y=x-在(0,1单调递增，最大值为-1,所以 a 二 1;当 x -1,0)时，-x2+ax+42 可化为 a-，而 y=x- -在-1,0)单调递增，最小值为 1,所以 aW.综上,a 的取值范围为-1,1.思路分析(1)利用零点分段法或图象法解含绝对值的不等式；(2)根据题设可去掉绝对值，进而转化为不等式恒成立问题进行求解方法总结含绝对值不等式问题的常见解法：(1)含绝对值的不等式求解问题，常利用零点分段讨论法或数形结合法求解易得图中两条曲线的交点

16、坐标为),所以 f(x)(-1,2)与恒成立相关的求参问题，常构造函数转化为求最值问题4.(2016 课标川,24,10 分)已知函数 f(x)=|2x-a|+a.当 a=2 时，求不等式 f(x)詬的解集；设函数 g(x)=|2x-1|. 当 x R 时，f(x)+g(x)為,求 a 的取值范围.解析 当 a=2 时,f(x)=|2x-2|+2.解不等式|2x-2|+2 詣得-1 $因此 f(x)詬的解集为x|-1 纟3.(5 分)(2)当 x R 时，f(x)+g(x)=|2x-a|+a+|1-2x|彳 2x-a+1-2x|+a=|1-a|+a,当 x=-时等号成立，所以当 x R 时，f

17、(x)+g(x)绍等价于|1-a|+a 為.(7 分)当 a1 时，等价于 a-1+a 為解得 a 迄所以 a 的取值范围是2,+ g).(10分)方法指导(1 )将 a=2 代入不等式，化简后去绝对值求解；要使 f(x)+g(x) 绍恒成立，只需 f(x)+g(x)的最小值為即可，利用|a|+|b|值.考点二不等式的证明331.(2017 课标n,23,10 分)已知 a0,b0,a +b =2.证明:55(1) (a+b)(a +b)台；(2) a+b 电.证明本题考查不等式的证明.(1) (a+b)(a5+b5)=a6+ab5+a5b+b6z3 . 3、23. 34.4、=(a +b )

18、 -2a b +ab(a +b)中易因逻辑混乱而失分2.(2015 课标n,24,10 分)设 a,b,c,d 均为正数,且 a+b=c+d,证明:(1)若 abcd,则_+ -_+_;申 b|可求最(2)_+_+ 是 |a-b|cd 得(_+2 2)(+ ).因此_+_+ 一.(2)(i)若 |a-b|c-d|,则(a-b)2(c-d)2,2 2即(a+b) -4abcd.由(1)得 _+ _ _+ _._ Q_ _ Q(ii)若 +,则(+)(+),即 a+b+2 c+d+2 .因为 a+b=c+d,所以 abcd.于是2 2 2 2(a-b) =(a+b) -4ab(c+d) -4cd=

19、(c-d).因此 |a-b|_+ 是|a-b|(+ )即可.(2)两不等式的两边都为非负数，可通过两边平方来证明.易错警示在证明充要条件时，既要证明充分性，也要证明必要性，否则会扣分.B组自主命题省(区、市)卷题组考点一绝对值不等式1. (2015 山东,5,5 分)不等式|x-1|-|x-5|0,b0,且 a+b=-+_.证明:(1)a+b 逖2 2a +a2 与 b +b0,b0,得 ab=1.(1)由基本不等式及 ab=1,有 a+b2=2,即 a+b 丝.假设 a2+a2 与 b2+b2 同时成立,则由 a2+a0 得 0a1;同理,0b1,从而 ab1,这 与 ab=1矛盾.故 a2

20、+a2 与 b2+b1 的解集.11解析(1)f(x)=-(4 分)解法一：由 f(x)的表达式及图象知，当 f(x)=1 时，可得 x=1 或 x=3;当 f(x)=-1 时,可得 x=-或 x=5,(8 分)4.(2015 课标I,24,10 分)已知函数 f(x)=|x+1|-2|x-a|,a0.(1)当 a=1 时，求不等式 f(x)1 的解集；若 f(x)的图象与 x 轴围成的三角形面积大于6,求 a 的取值范围解析 (1)当 a=1 时，f(x)1 化为 |x+1|-2|x-1|-10.当 x0,无解；当-1x0,解得-x0,解得 11 的解集为 -.(5 分)由题设可得，f(x)

21、= 所以函数 f(x)的图象与 x 轴围成的三角形的三个顶点分别为y=f(x)的图象如图所示1、1!r77(6 分)故 f(x)1 的解集为x|1x3;f(x)1 的解集为-或.(10 分)解法二：根的分段函数表达式,有:当 x 1的解集为x|x当-11的解集为当 x-时,|f(x)|1的解集为Ux|x5.综上,|f(x)|1的解集为或A,B(2a+1,0),C(a,a+1), ABC 的面积为-(a+1).由题设得-(a+1)26,故 a2.所以 a 的取值范围为(2,+ g).(10分)解后反思分类讨论解不等式应做到不重不漏；在某个区间上解不等式时一定要注意区间的 限制性5.(2015 江

22、苏,21D,10 分)解不等式 x+|2x+3|迄解析原不等式可化为解得 x 冬 5 或 x 二-.综上,原不等式的解集是6.(2014 课标I,24,10 分)若 a0,b0,且- +-= 一.(1)求 a3+b3的最小值；是否存在 a,b,使得 2a+3b=6?并说明理由.解析(1)由=-+,得 ab 墓，且当 a=b= 时等号成立.33故 a +b 2台 ,且当 a=b=时等号成立.所以 a3+b3的最小值为 4 .由(1)知,2a+3b 墓台 一.由于 46,从而不存在 a,b,使得 2a+3b=6.解题关键利用已知条件及基本不等式得出ab 多是解题的关键考点二不等式的证明2 2 2 21.(2017 江苏,21D,10 分)已知 a,b,c,d 为实数,且 a +b =4,c +d =16,证明:ac+bd 宅.证明本小题主要考查不等式的证明，考查推理论证能力一OO OO O由柯西不等式可得：(ac+bd)气 a +b )(c +d ).因为 a2+b2=4,c2+d2=16,所以(ac+bd)2詬 4,因此 ac+bd 詣.2.（2 016 江苏,21D,10 分）设 a0,|x-1|-,|y-2|-,求证:|2x+y-4|a.证明 因为 |x-1| -,|y-2|0).(1)证明:f(x) 逖若 f(3)0,得 f(x)=- +|x