专题分式运算中的常用技巧

1、初中数学专题：分式运算中的常用技巧编稿老师徐文涛一校杨雪二校黄楠审核刘敏知识点考纲要求命题角度备注分式的性质掌握利用分式的基本性质进行约分和通 分分式的运算综合运用1. 利用设k 的方法进行分式化简与计算2. 利用公式进行分式化简与计算3. 利用整体通分的思想对分式进行 化简与计算常考重点 ：1. 掌握设参数法进行分式运算；2. 利用公式变形进行分式运算；3. 掌握整体通分的思想方法。难点 ：会选用恰当的方法解决与分式有关的问题。微课程 1：设 k求值【考点精讲】运用已知条件，求代数式的值是数学学习的重要内容之一。除了常规代入求值法， 还要根据题目的特点，灵活运用恰当的方法和技巧，才能达到预期

2、的目的。如果代数式字母较多，式子较繁，为了使求值简便，有时可增设一些参数，以便沟通数量关系，设k 求值，也叫做设参数法。通常是用含有字母的代数式来表示变量，这个代数式叫作参数式，其中的字母叫做参数。参数法，是许多解题技巧的源泉。【典例精析】例题 1 已知 a b c 0 ，求 3a 2b c 的值。3 4 5a 2b c思路导航：首先设k ，则可得a 3k， b 4k， c 5k，然后将其345代入 3a 2b c ，即可求得答案。a 2b c答案： 解：设k （ k0 ），则a 3k， b 4k， c 5k，3453a 2b c 3 3k 2 4k 5k 6k 3所以a 2b c 3k 2

3、4k 5k 10k5点评： 本题考查了运用设k 值的方法求分式的值，用“设 k 法”表示出 a、b、 c 可以使运算更加简便。例题 2 已知a， b， c 均不为0，且a 2b 3b c 2c a ，求 c 2b 的值。537 2b 3a思路导航：仔细观察c 2b2b 3a约去分式中的未知数。所以， 设 a 2ba、 b、 c 用同一个未知数表示，就可以3b c32c a k， 用 k 来表示a、 b、 c，2c7a k，然后将其代入所求的分式即可。答案： 解：设 a 2b 3b c则 a 2b 5k，3b c 3k，2c a 7k，由得，2b 2c 12k， b c 6k，由，得4b 9k，

4、 bk，分别代入、得，41ak，215ck，4c 2b 2b 3a159kk42例题 3 已知9k2 b3k3k 46ka思路导航：设 b ca然后将三式相加即可求出答案： 解：设 b c aababk 的值，代入即可求值。acbacac(ab)(b c)(c a)。abck，得bcak，acbk，abck；abk，得bcak，acbk，abck；把这 3 个式子相加得2（ a b c）（ca b c) k若abc0，abc，则k1若a b c0 ，则k 2(a b)(b c)(c a) ck ak bk 3kabcabc当k1 时，原式1，当k 2 时，原式8。点评： 用含 k 的代数式表示

5、出a， b， c 的值是解决本题的突破点。设 k求值解题的基本步骤（ 1）设参数k，即选择适当的参数k（参数的个数可取一个或多个）；（ 2）建立含有参数的方程或代数式；（ 3）消去参数，即通过运算消去参数，使问题得到解决。例：已知x y z ，求 x y z的值。ab bc ca解： 设 x y z k ， 于是有 x (a b)k, y (b c)k,z (c a)k ， ab bc ca所以 x y z (a b)k (b c)k (c a)k 0。微课程2：活用公式变形【考点精讲】222完全平方公式的变形(a b) a 2ab b(a b)2 a2 2ab b2活用公式变形平方差公式的变

6、形(a b)(a b) a2 b2完全平方公式和平方差公式是数学中的两个重要的乘法公式，也是同学们解题时常出错的难点。在进行运算时，若能根据公式的结构特征，选择适当的方法，灵活应用公式，可使问题化繁为简，收到事半功倍的效果，同时掌握其变形特点并灵活运用，可以巧妙地解决很多问题。【典例精析】例题 1 已知a2 5a 1 0(a 0)，计算 a414 的值。a思路导航：让等式两边同时除以a，得到a 1 5，然后对a414 进行公式aa变形即可。1答案： 解：因为a0 ，将a2 5a 1 0 两边都除以a整理得：a 1 5，4142112122112所以 a 4 a 2 a 24 2 (a 2 )2

7、 (a 2 a 2 2)aa aaaa2(a 1)2222(522)22527a点评： 本题既考查了对完全平方公式的变形，又考查了代数式求值的方法，同时还隐含了整体的数学思想和正确运算的能力。解答本题的关键是将a 1 看a做一个整体代入。例题 2 计算248162例题 2 计算 (x )(x2 )(x4 )(x8 )(x16 ) (x 1)xx x x x思路导航：将原式乘以代数式(x 1) ，同时再除以代数式(x 1 )，即可连xx续利用平方差公式。答案： 解：原式1121418116121(x)(x)(x2)(x4)(x8)(x16)(x1) (x )xx x x x xx点评： 在本题中

8、，原式乘以同一代数式，之后再除以同一代数式还原，就可连续使用平方差公式，分式运算中若恰当使用乘法公式，可使计算简便。1例题 3 已知 a 1 a思路导航：本题将25，求 4 a 2 的值。 aa124 a 2 的分子、分母颠倒过来，即变为求 aa142aa12aa2 112 的值，再利用公式变形求值就简单多了。a答案： 解：15，(a)2 25，即a2a1223，a42 aa2 a2 a2 a112412 23 1 24。 a点评： 利用 x 和 1 互为倒数的关系，沟通已知条件与所求未知式的关系，可x完全平方公式的常见变形：（1） a2b2（ab）22ab，（2） a2b2（ab）22ab，

9、（3） a b）2（ab）24ab，（4） a2b2c2（abc）2 2（abac bc）平方差公式的常见变形：（1）位置变化：（ab）（ba）（ b2a2）；（ 2）符号变化：（a b）（a b）（a2 b2）；（3）系数变化：（3a 2b）（3a 2b）9a24b2；（4）指数变化：（a3b2）（ a3b2）a6b4；（5）项数变化：（a2bc）（a 2bc） a2（2bc）2；（6）连用变化：（ab）（ab）（a2b2）（a2b2）（a2b2）a4b4。微课程3：整体通分分式的加减运算过程中，一般要按照运算法则同级运算从左到右计算。异分母分式加减的运算法则是“异分母的分式相加减， 先通分

10、变为同分母的分式，然后再加减。 ”但对于一些较为特殊的异分母分式加减运用此规则显得麻烦。 因而需根据题型，灵活运用其法则及有关知识进行解答。在分式计算题中，如果出现了部分整式，我们可以把整式看成一个整体进行通分，从而最终达到解决整个问题的目的。【典例精析】3例题 1 计算： xx2x 1x1思路导航：题目中既有分式又有整式，不相统一，我们可以寻求能作为整体的部分， 那么计算起来可以简便一些。对于本题可以将后面的部分看做一个整体进行通分。利用完全平方公式即可解答。3答案： 解：原式xx1(x2 x 1)3xx1(x 1)(x2 x 1) x3 x3 1x1x1 x11。x1点评： 本题是求一个分

11、式与一个多项式的和，若把整个多项式看作分母为2001例题 2 计算：a667a667 a1334a1思路导航：将后三项看做分母是1，变为2001a667 a16671334aa1 ，整理后，答案： 解：原式2001a667a12001a (a667 (a2001 a667a6671)(a667 a1334 a1667 a20011)1334 a111)667a11667 a1点评： 本题考查分式的加减，在计算过程中要注意整体思想的运用，运用分式的通分必须注意整个分子和整个分母。注意到a667,a1334与a2001 之间的关系，利 用换元法，可以将问题转化为我们熟悉的形式。【总结提升】若题目为

12、整式和分式相加减运算，可把整式看做一个整体进行通分计算。解此类题可运用整体思想，把整式看做分母是“1”的一个整体参与计算，可达到简化目的，使计算简便。例如： 计算分式a 24 时， 可将a2 看做一个整体，将其分母看做“ 1”2a进行通分，可使运算过程大大简化。（答题时间：60 分钟）设 k 求值1. 已知 x： 2 y： 3 z： 0.5，则x 3y z的值是(2x y zA. 1B. 7C. 3D. 173ab2. 若实数a、 b、 c、 d 满足 a bbcd ，则ab bc cd da 的值是(aa2 b2 c2 d2A. 1 或 0x2 3x 1 0，则4x1012C. 10D. 1

13、2B. 1 或 0 C. 1 或 2D. 1 或 1x yzxyz4. 若0 ，则 。357x5. 若2a 3b 4c，且abc0 ，则 a b 的值是 。c 2ba 2a2 3ab 2b26. 若，求 22 的值。b 72a2 ab 3b27. 已知 x,y,z满足 235 ，求 5x y 的值。x y z z x y 2z8. 已知 a b c a b c a b c，求 (a b)(a c)(b c)的值。 cbaabc活用公式变形1. 化简(aA. 42. 已知 ma?a)2a2B. 411 3，那么m4 a 2 的结果是（aC. 2a1m? 1 的结果是（ mD.2aA. 73. 设

14、 3x 2y xy39A.25B. 5C. 7D.2 ，则22 (3x 2y)2 (x 3y)2 (4xB.y)2 39 25(2x2y)2C. 39D.39204. 已知 x2 4x 1 0，求2 x42 xx1a15. 已知：a22 6( 0< a<1)，则33aaa6. 先化简，后求值：(aa2 1)4(aa 42) a2a2a aa 21，其中a204820487. 计算：已知x 12 ，求 x 2013 x 2013 2 的值。xxx整体通分a2 11. 当a 3 时，则a 2a 1 的值为()a1A. 3B. 4C. 5D. 62. 已知 1 1 1 ，则 ab 的值是

15、()ab3 abA. 3 B. 1C. 3D. 13333. 计算 3 a 3的结果为()a122a2 2a 6a2 4a 2A.B.1aa12a 4a 4aC.D.a11a4. 若a ，则2a2(a 1)2(a11)2abbab 1a115. 已知 1 1ab1)3 x8. 先化简，再求值：x12m nmnnm (x2 x 1)m 2nnm2)2x 2x2x 12 (x 1)x 1x1(x y 4xy )(xxyy 4xy ) ，其中x 3， y2。xy设 k 求值1. B 解析：设x：2y：3z： 0.5a，则可以得出：x2a，y3a，z0.5a，x 3yz中，得原式2a9a 0.5a10

16、.5a 7。2x yz4a3a 0.5a1.5a2. D 解析：设a b c d k，则b2ac，c2bd，d2acb2，a2bdbcdac2，由a k 得，abk，由 k 得，dakbk2，由c k 得，cdkbk3，bad k 得， k，即：k4 1， k ±1。当 k 1 时，原式1；当k1cbk31。x21，k，3. A 解析：解：设4 x 2x4 3x2则 x 32 (x )kxx2Qx 3x 1 0，x 1 3，xx1232 1 10 ，k110故选 A3k 5k 7k5。3k4. 5 解析：由题意，设x 3k， y 5k， z 7k，原式5. 2 解析：设2a3b4c1

17、2k（k0），则a6k，b4k，c3k，所以，原式2。三、解答题6. 解：设 a 2k ，则 b 7k原式 (a 2b)(a b)(2a 3b)(a b)1，k5k, y 6k,z 3k2357. 解：设 2 A 解析：解：Q 3x 2y 2，xy3x 2y 2x 2y ，x 4y，2222原式2222 2(16y y)2 (8y 2y)2(152 102)y2 125 25x yz zx则 x 2k,y z 3k,x z8. 解：设abc ab则aacbccb (k 1)c，(k 1)b，(k 1)a 。abck，axb c)0，(k 1)(a b c)，4.115解析：解：2Q x 4x

18、10,x 0 ，由有2(a所以 (a b c)(k 1)故有 k 1 或 a b c 0 。c) 2c 2b 2a8。abc当 k 1 时， (a b)(a c)(b abc当 a b c 0 时， (a b)(a c)(b c) ( c)( a)( b) 1。 abcabc活用公式变形1. A 解析：原式(a 2)(a 2)4。112112. D 解析：(m1 ) 2 (m )原式(12y 2y)2 (4y 3y)2(142 1)y2195 39 m (m1 )24945，mmmmm? 1 5 。m1111则4xx2 1x2 15. 2 解析：解：a4 1aa(x 1)2 142 1x(a2 1)(a2 1)a2a(a2 1) a。151a且由 0