2012年湖北省高考数学试卷文科教师版

1、2012年湖北省高考数学试卷（文科） 一、选择题（共10小题，每小题5分，满分50分） 23x+2=0，xR ，B=x|xx|0x5，x1（5分）（2012?湖北）已知集合AN ，则满足条件A?C?B的集合C的个数为（ ） A1B2C3D4 【分析】先求出集合A，B由A?C?B 可得满足条件的集合C有1，2，1，2，3，1，2，4，1，2，3，4，可求 【解答】解：由题意可得，A=1，2，B=1，2，3，4， A?C?B， 满足条件的集合C有1，2，1，2，3，1，2，4，1，2，3，4共4个， 故选：D 2（5分）（2012?湖北）容量为20的样本数据，分组后的频数如下表 分组 10，20）

2、 20，30） 30，40） 40，50） 50，60） 60，70） 频数 2 3 4 5 4 2 则样本数据落在区间10，40的频率为（ ） A0.35B0.45C0.55D0.65 【分析】先求出样本数据落在区间10，40频数，然后利用频率等于频数除以样本容量求出频率即可 【解答】解：由频率分布表知： 样本在10，40上的频数为2+3+4=9， 故样本在10，40上的频率为920=0.45 故选：B 3（5分）（2012?湖北）函数f（x）=xcos2x在区间0，2上的零点个数为（ ） A2B3C4D5 【分析】考虑到函数y=cos2x的零点一定也是函数f（x）的零点，故在区间0，2上y

3、=cos2x的零点有4个函数y=x的零点有0，故在区间0，2上y=xcos2x的零点有5个 【解答】解：y=cos2x在0，2上有4个零点分别为， 函数y=x的零点有0 函数f（x）=xcos2x在区间0，2上有5个零点分别为0， 故选：D 4（5分）（2012?湖北）命题“存在一个无理数，它的平方是有理数”的否定是（ ） A任意一个有理数，它的平方是有理数 B任意一个无理数，它的平方不是有理数 C存在一个有理数，它的平方是有理数 D存在一个无理数，它的平方不是有理数 【分析】根据特称命题“?xA，p（A）”的否定是“?xA，非p（A）”，结合已知中命题，即可得到答案 【解答】解：命题“存在一

4、个无理数，它的平方是有理数”是特称命题 而特称命题的否定是全称命题， 则命题“存在一个无理数，它的平方是有理数”的否定是任意一个无理数，它的平方不是有理数 故选：B 22y+y）|x1P（1，）的直线，将圆形区域（x，分）5（5（2012?湖北）过点4分两部分，使得这两部分的面积之差最大，则该直线的方程为（ ） Ax+y2=0By1=0Cxy=0Dx+3y4=0 =2，【分析】法一：由扇形的面积公式可知，劣弧所的扇形的面积 要求面积差的最大值，即求的最小值，根据直线与圆相交的性质可知，只要当OPAB时，最小，可求 法二：要使直线将圆形区域分成两部分的面积之差最大，必须使过点P的圆的弦长达到最小

5、，所以需该直线与直线OP垂直即可由此能求出直线的方程 【解答】解法一：设过点P（1，1）的直线与圆分别交于点A，B，且圆被AB所分的两部分的面积分别为S，S且SS 2121 所对的圆心角AOB=，劣弧 S=2 则S， AOBAOB S=42+S（0） AOB2要求面积差的最大值，即求的最小值，根据直线与圆相交的性质可知，只要当OPAB时，最小 此时K=1，直线AB的方程为y1=（x1）即x+y2=0 AB故选A 解法二：要使直线将圆形区域分成两部分的面积之差最大，必须使过点P的圆的弦长达到最小，所以需该直线与直线OP垂直即可 又已知点P（1，1），则K=1， OP故所求直线的斜率为1又所求直线

6、过点P（1，1）， 由点斜式得，所求直线的方程为y1=（x1），即x+y2=0 故选：A ）的图象如图（x，2）上的函数y=f0分）6（5（2012?湖北）已知定义在区间（） ）的图象为（y=f2x所示，则 AB DC ，）2x，进而可求y=f（，2）上的函数y=f（x）的图象可求f（x）【分析】由（0根据一次函数的性质，结合选项可可判断 ， =x）【解答】解：由（0，2）上的函数y=f（x）的图象可知f（ ， xx）=2时，当02x1即1x2f（2 =1x）x当122即0x1时，f（2 ， ，根据一次函数的性质，结合选项可知，选项2=x）y=f（ ， 正确B 故选：B ，如果）+分）7（5（

7、2012?湖北）定义在（，0）（0，）上的函数f（x保等对于任意给定的等比数列a，f（）为x“仍是等比数列，则称f（a）nn）f+）上的如下函数：（x0比数列函数”现有定义在（，0）（，x2 保等比数列函|x）=lnx|则其中是“x；f（x）=2；f（）= ；f（=x ） （x）的序为（ 的数”f CDBA ，一一加以判断，即可 【分析】根据新定义，结合等比数列性质 得到结论 ，【解答】解：由等比数列性质知 2 ，故正确；（a ）=f 1n+ 2 ，故不正确；a=f ）（ 1n+ 2 = ，故正确； a）=f（ 1n+ 2 ，故不正确；a（）| |a=ln）|（）af（falna=f 122n

8、nnnn+故选：C 8（5分）（2012?湖北）设ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若三边的长为连续的三个正整数，且ABC，3b=20acosA，则sinA：sinB：sinC为（ ） D6：5：4A4：3：2B5：6：7C5：4：3 ，再，由余弦定理可得 cosA=1、a2 【分析】由题意可得三边即a、a ，a=6由此解得，从而可得 =，可得由3b=20acosA， cosA= ，求得结果c：sinC=a：b：可得三边长，根据sinA：sinB ，可设三CBc 【解答】解：由于a，b，三边的长为连续的三个正整数，且Aa2边长分别为 a、a1、 ，=由余弦定理可得 cosA= 又

9、3b=20acosA，可得 cosA= 4，故三边分别为65，故有 =，解得a=6 由正弦定理可得 sinA：sinB：sinC=a：b：c=a：（a1）：（ a2）=6：5：4， 故选：D ”“b，c，R，则“abc=1”是，（95分）（2012?湖北）设a + 的（ ） A充分条件但不是必要条件 B必要条件但不是充分条件 C充分必要条件 D既不充分也不必要的条件 由abc=1，推出 【分析】，代入不等式的左边，证明不等式成立利用 特殊值判断不等式成立，推不出abc=1，得到结果 =，则 解：因为【解答】abc=1，所以 cba =+ ， 1abc=6显然成立，但是时，b=2a=3当，c=1

10、， ”的充分条件但“是所以设a，b，c，R，则“abc=1” + 不是必要条件 故选：A 10（5分）（2012?湖北）如图，在圆心角为直角的扇形OAB中，分别以OA，OB为直径作两个半圆在扇形OAB内随机取一点，则此点取自阴影部分的概率是（ ） DAC B 2OC，把下面的阴影部分平均分成了【分析】求出阴影部分的面积即可，连接部分，然后利用位移割补的方法，分别平移到图中划线部分，那么阴影部分的面积AOB的面积就是图中扇形的面积直角三角形 ，OAB的面积为【解答】解：设扇形的半径为r，则扇形 部分，然后利用位移割补的方法，分2OC，把下面的阴影部分平均分成了连接 ，别平移到图中划线部分，则阴影

11、部分的面积为： 此点取自阴影部分的概率是 故选：C 分请将答案填在答题卡对5分，共357二、填空题：本大题共小题，每小题应题的位置上答错位置，书写不清，模棱两可均不得分 现人42女运动员人，56一支田径运动队有男运动员湖北）2012?（分）5（11用分层抽样的方法抽取若干人，若抽取的男运动员有8人，则抽取的女运动员有 6 人 【分析】设出抽到女运动员的人数，根据分层抽样的特征列出方程可求出抽到女运动员的人数 【解答】解：设抽到女运动员的人数为n则 = 解得n=6 故答案为：6 =a+bi（a，b为实数，i为虚数单位），则a+b=（12（5分）2012?湖北）若 3 ，知 ，故bi=a=【分析】

12、由=+ ，所以 b，由此能求出a+ =【解答】解： = ， = ，=a+bi ， ， ，b=3解得a=0 a+b=3 故答案为：3 ，则）（1，1） =（1，0， =2012?（135分）（湖北）已知向量 ，； 同向的单位向量的坐标表示为2（）与 + （） （）向量 3与向量 夹角的余弦值为 ，同向的单位向量+ 进而可求 + ，|2 + |，而与2 【分析】（I）由已知可求2 再利用坐标表示即可 ，代入|， | |，）设（II 3 与向量 夹角，由已知可求 可求向量的夹角公式cos= ）1（1，0【解答】解：（I） =（1，）， = |2 =+11+（，1）=（3，），=2 + （2，0） ，

13、 同向的单位向量的坐标表示=+与2 夹角3 与向量 （II）设 ，1）0）， =（1， =（1， ， ， | =1= |=2 ，| cos=则 ； ， 故答案为： 满足约束条件y5分）（2012?湖北）若变量x，则目标函数14（ z=2x+3y的最小值是 2 ，y= 先作出不等式组表示的平面区域，由于z=2x+3y，则可得【分析】 则表示直线2x+3yz=0在y轴上的截距，当z最小时，截距最小，结合图形 可求z的最小值 【解答】解：作出不等式组表示的平面区域，如图所示 ，则表示直线2x+3yz=0 y=，+z=2x，+：作直线L2x3y=0由于3y则可得 在y轴上的截距，当z最小时，截距最小

14、结合图形可知，当直线2x+3yz=0平移到点B时，z最小 由可得B（1，0），此时Z=2 2故答案为： 湖北）已知某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积（2012?（5分）15 为12 利用三视图3个圆柱体组成的几何体，由题意三视图可知，【分析】几何体是有的数据，求出几何体的体积即可 的圆柱与一个底1解：由题意可知几何体是有两个底面半径为【解答】2，高为的圆柱组成的几何体，4面半径为1，高为 224=12112V=2所以几何体的条件为+ 故答案为：12 16（5分）（2012?湖北）阅读如图所示的程序框图，运行相应的程序，输出的结果s= 9 时退出循环，的值，得到n=3S【分析】用列举法，

15、通过循环过程直接得出与n即可 ，a=5次判断后循环，n=2，s=4【解答】解：循环前，S=1，a=3，第1 次判断退出循环，第3s=9，a=7第2次判断并循环n=3， S=9输出 9故答案为： 湖北）传说古希腊毕达哥拉斯学派的数学家经常在沙滩上面2012?5分）（17（画点或用小石子表示数他们研究过如图所示的三角形数： 整除的三角形数按从小到，将可被5记为数列a3将三角形数1，6，10，n，可以推测：b大的顺序组成一个新数列 n项； 中的第 5030是数列（）ba n2012 表示）k （用 =（）b 12k ，由此递推式可以得出数列）1=a+a【分析】（）由题设条件及图可得出n（+nn1+

16、a的通项为，a=n（n+1），由此可列举出三角形数1，3，6，10，15，21， nn 28，36，45，55，66，78，91，105，120， ，从而可归纳出可被5整除的三角形数每五个数中出现两个，即每五个数分为一组，则该组的后两个数可被5整除，由此规律即可求出b在数列a中的n2012位置； （II）由（I）中的结论即可得出b（5k1）（5k1+1）= 12k 【解答】解：（I）由题设条件可以归纳出a=a+（n+1），故a=（aa）+（ann1nn1nn+ a）+（aa）+a=n+（n1）+2+1=n（n+1） 12n112 由此知，三角数依次为1，3，6，10，15，21，28，36，4

17、5，55，66，78，91，105，120， 由此知可被5整除的三角形数每五个数中出现两个，即每五个数分为一组，则该组的后两个数可被5整除， 由于b是第2012个可被5整除的数，故它出现在数列a按五个一段分组的n2012第1006组的最后一个数，由此知，b是数列a中的第10065=5030个n2012数 故答案为5030 （II）由于2k1是奇数，由（I）知，第2k1个被5整除的数出现在第k组倒 数第二个，故它是数列a中的第k51=5k1项，所以b（5k1） 12kn （5k1+1）= 故答案为 三、解答题：本大题共5小题，共65分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 22x+cos（x）=

18、sin x+2sinx?cosxx2012?（1812分）（湖北）设函数f（ R）的图象关于直线x=对称，其中，为常数，且（，1） （1）求函数f（x）的最小正周期； ， ，求函数f（）的图象经过点（）若（2y=fx x）的值域 【分析】（1）先利用二倍角公式和两角差的余弦公式将函数f（x）化为y=Asin（x+）+k型函数，再利用函数的对称性和的范围，计算的值，最后利用周期计算公式得函数的最小正周期； （2）先将已知点的坐标代入函数解析式，求得的值，再利用正弦函数的图象和性质即可求得函数f（x）的值域 22 x+ sinx?cosxx）=sinx+2cosf【解答】解：（ sin2x=cos

19、2x+ =2sin（2x）+ 图象关于直线x=对称，2=+k，kz =+，又（，1） 令k=1时，=符合要求 函数f（x）的最小正周期为= （2）f（）=0 2sin（2）+=0 = ）=2sin（xf（x） ，22 故函数f（x）的取值范围为 19（12分）（2012?湖北）某个实心零部件的形状是如图所示的几何体，其下部是底面均是正方形，侧面是全等的等腰梯形的四棱台ABCDABCD，其上1111是一个底面与四棱台的上底面重合，侧面是全等的矩形的四棱柱ABCDABCD 2222（1）证明：直线BD平面ACCA； 2121（2）现需要对该零部件表面进行防腐处理，已知AB=10，AB=20，AA=

20、30，AA=131211（单位：厘米），每平方厘米的加工处理费为0.20元，需加工处理费多少元？ ，由线面垂直的判定定理可证直DBBD，AA【分析】（1）依题意易证AC11121；A平面ACC线BD 2121，四SD的表面积（除去下底面的面积）ABC（2）需计算上面四棱柱ABCD12222即可的表面积（除去下底面的面积）SDBCABCD棱台A 21111的侧面是全等的矩形，CDABCDAB【解答】解：（1）四棱柱 2222，AD=AAD，又AB，AAABAA 22，连接BDAA平面ABCD 2，平面ABCDBD? 是正方形，ABCD，又底面AABD 2共面，DBD与BACBD，根据棱台的定义可

21、知， 11平DBBDD平面ABCD=BD，平面D又平面ABCD平面ABCD，且平面BB11111111，DD=B面ABC 111111，DB，ACBD，可得AABDDBDBDBD，于是由AA，ACBD，B1111111212，AC=A又AA 2；AD平面ACCB 2112的底面是正方形，侧面是全等的矩形，CBD）四棱柱ABCDA（2 2222S=S+S 1四棱柱侧面四棱柱下底面 4AB?AA+= 223010=10+4 2）cm=1300（ 上下底面均是正方形，侧面是全等的等腰梯形，ABCDDB又四棱台AC 1111S+=SS 2四棱台侧面四棱柱下底面 +4（AB+= AB）?h 11等腰梯形

22、的高 2 ?10+20）=20+4（ 2）cm，=1120（ 2）cm，+1120=2420（于是该实心零部件的表面积S=S+S=1300 21故所需加工处理费0.2S=0.22420=484元 20（13分）（2012?湖北）已知等差数列a前三项的和为3，前三项的积为8 n（1）求等差数列a的通项公式； n（2）若a，a，a成等比数列，求数列|a|的前n项和 n123 ，【分析】（I）设等差数列的公差为d，由题意可得， 解方程可求a，d，进而可求通项 1（II）由（I）的通项可求满足条件a，a，a成等比的通项为a=3n7，则|a|=|3nn321n， ，根据等差数列的求和公式可求=7| ，

23、【解答】解：（I）设等差数列的公差为d，则a=a+d，a=a+2d 1312 由题意可得， 或解得 由等差数列的通项公式可得，a=23（n1）=3n+5或a=4+3（n1）=3nnn7 （II）当a=3n+5时，a，a，a分别为1，4，2不成等比 1n32当a=3n7时，a，a，a分别为1，2，4成等比数列，满足条件 12n3， =3n7|a故|=| n， 设数列|a|的前n项和为S nn当n=1时，S=4，当n=2时，S=5 21当n3时，S=|a|+|a|+|a|=5+（337）+（347）+（3n7） n1n2 =5+=，当n=2时，满足此式 ， 综上可得 ， 22=1上的任意一点，l是

24、过点AA是单位圆x与+yx21（14分）（2012?湖北）设轴垂直的直线，D是直线l与x轴的交点，点M在直线l上，且满足丨DM丨=m丨DA丨（m0，且m1）当点A在圆上运动时，记点M的轨迹为曲线C （I）求曲线C的方程，判断曲线C为何种圆锥曲线，并求焦点坐标； （）过原点且斜率为k的直线交曲线C于P、Q两点，其中P在第一象限，它在y轴上的射影为点N，直线QN交曲线C于另一点H，是否存在m，使得对任意的k0，都有PQPH？若存在，求m的值；若不存在，请说明理由 【分析】（I）设M（x，y），A（x，y），根据丨DM丨=m丨DA丨，确定坐标之00 根的方程；在圆上运动即得所求曲线Cy|，利用点A间

25、的关系x=x，|y|=|00 ，分类讨论，可确定焦点坐标；+）1）（1，据m（0， ，0），N（y），则Q（x，y，x?（0，1），设P（x，y）H（x，（）1112112 ，从而可得可得上，可得H两点在椭圆Cy），利用P， 1 利用Q，N，H三点共线，及PQPH，即可求得 结论 【解答】解：（I）如图1，设M（x，y），A（x，y） 00丨DM丨=m丨DA丨，x=x，|y|=m|y| 00 y|=|，x=x|y 00 点A在圆上运动， ， 的方程为代入即得所求曲线C m（0，1）（1，+）， ， ）（ ，轴上的椭圆，曲线m01时，C是焦点在x两焦点坐标分别为 ， ，） ， （两焦点坐标分别为轴上的椭圆，y是焦点在C曲线时，1m， （）如图2、3，?x（0，1），设P（x，y），H（x，y），则Q（x，112121y），N（0，y）， 11 上，P，H两点在椭圆C 可得 ，k=kQ