数列求和(倒序相加法、错位相减法、裂项相消法、分组求合法等)

1、考点4数列求和(倒序相加法、错位相减法、裂项相消法、分组求合法等)1. ( 2015江苏苏州市高三上调考)已知数列 共有2k项(2惑且kC N* ),数列 的前n项的和为，满足=2 , = ( P 1) +2 (n=1, 2, 3,，2n 1),其中常数p> 1(1) 求证：数列 是等比数列；(2) 若p=,数列 满足()(n=1, 2,2n),求数列 的通项公式(3) 对于(2)中的数列 ，记，求数列 的前2k项的和.【考点】数列的求和；数列的应用.【解】(1)证明：当n=1当2窃时，,即，时，=2p，则,故数列 是等比数列.(2 )由(1),得(n=1,2,，2n),=,(n=1,

2、2,，2n), 即数列bn的通项公式为,(3),设，解得nW 又n为正整数，于是：当数列 的前2k项的和:(n=1, 2,，2n).n<时，；当n沫+1时，,2. ( 2015江苏高考冲刺压轴卷(三)设数列 的前n项和记为，且.(1)求数列的通项公式;(2)设，记数列 的前n项和记为，求证：.【考点】错位相减法求和【解】(1)当n=1时，当n2时，故,(2),其中，当n2时，得,3. ( 2015江苏高考冲刺压轴卷(三)已知数列中，二次函数的对称轴为x=,(1)试证明是等差数列，并求的通项公式;(2)设的前n项和为，试求使得成立的 n的值，并说明理由.【考点】等差数列的通项公式；二次函数

3、的性质；错位相减法求和.【解】(1)二次函数的对称轴为 x=,左右两边同时乘以.得.即（常数）.是以2为首项，2为公差的等差数列,-得：,数列 是单调递增数列.要使成立，即使，整理得n+2> . n=1 , 2, 3.4. （2015江苏省南京市高三考前综合）公差不为零的等差数列 的前n项之和为.且对n 成立.（1）求常数k的值以及数列的通项公式;（2）设数列中的部分项.恰成等比数列.其中=2. ,= 14 .求的值.【考点】等差数列或等比数列中的基本量问题；错位相减法与裂项相消法.【解】（1）法一：条件化为对 n成立.设等差数列公差为d，则.分别令n = 1, 2, 3得:由+一2得，

4、两边平方得，.两边再平方得，.解得d = 2.代入得，由一得，所以=0,或=1.又当=0时，d= 0不合题意.所以=1 . d = 2.法二：设等差数列的首项为，公差为d.代入得k= 1.而当k= 1, = 1, d= 2时，等式对n 成立.所以k= 1,.则，.代入得，即.因为上面等式对一切正整数 n都成立，所以由多项式恒等可得,因为dMQ所以解得，所以常数 k= 1,通项公式.(2)设，则数列为等比数列，且.故等比数列的公比q满足.又0,所以q= 3.所以.又，所以.由此可得.所以.所以法一：令, 则, 两式相减得：,，代入得法二：因为 .所以 .代入得5. (江苏省南京市2015届高三上

5、学期9月调考数学试卷)已知是等差数列，其前n项的和为, 是等比数列，且，-(1) 求数列和的通项公式；(2) 记，求数列的前 n项和.【考点】数列的求和，数列递推式.【解】设等差数列的公差为 d等比数列的公比为 q.由，得=2+3d,由条件，得方程组解得所以.由题意知，.所以,已知为等比数列，其中=1,6. （15淮安市金湖中学高三上学期第一次学情检测数学试卷） 且成等差数列.（1）求数列的通项公式：（2 ）设，求数列的前n项和.【考点】数列的求和；等比数列的通项公式.【解】（1）设在等比数列中，公比为q,，且成等差数列，解得q=,-.(2 ) , ,-，得:等差数列的通项公式为，其前n项和为

6、，则数列的前 10项的和为【答案】75【分析】因为，所以的前10项和为10X3 + = 75.已知函数，且，则等于【答案】100【分析】由题意，得数列，共有十项，且其和为240，则+的值为【答案】130【分析】+= 240- (2 + 2k + 20) = 240-= 240 110= 130.10. （2015 泰州质检）已知数列满足，则【答案】【分析】，又.- = 2.成等比数列；，成等比数列,11.已知数列：，若，那么数列的前 n项和为【答案】【分析】12.13.（2015 扬州测试）在数列中，记为的前n项和，则=【答案】1005【分析】由，可得， 该数列是周期为4的数列，所以（2014

7、 济南模拟）设等差数列的前 n项和为，且,（1）求，；【解】（1）因为，所以,又因为，所以.解得d = 8,所以,，所以.（2015 石家庄模拟）已知是各项均为正数的等比数列，且,（1）求数列的通项公式;设数列的前n项和为，求数列的前 n项和.【解】（1）设等比数列的公比为 q，由已知得,又，解得，-（2）由得,14.二当时，当n= 1时，符合上式,两式相减得,15.数列满足，则的前 60项和为【答案】1830【分析】16在等比数列中，若数列满足，则数列的前n项和=【答案】【分析】 设等比数列的公比为 q,则，解得q= 3.所以, 故, 所以.则数列的前n项和为.n项和，则=17. （2015

8、 南京模拟）数列满足，且，是数列的前【答案】6【分析】 依题意得，则，即数列中的奇数项、偶数项分别相等，则,18. （2015 长沙模拟）已知函数，且，则【答案】100n为奇数，则【分析】 若n为偶数，则，为首项为，公差为的等差数列；若，为首项为，公差为 4的等差数列.所以19. 设，禾U用倒序相加法，可求得的值为【答案】【分析】当时,设S=,倒序相加有2S=,即 S= 5.20.在数列中,，记，若对于任意，A(n) , B(n) , C(n)成等差数列.(1)求数列的通项公式;求数列的前n项和.【解】根据题意A(n) , B(n) , C(n)成等差数列, A(n) + C(n) = 2B(n),整理得，数列是首项为一5,公差为3的等差数列,，记数列的前n项和为.当时，；当时，综上，.21. (2014广州综测)已