解一元二次方程教案

1、课题解一元二次方程重点难点教学内容知识点一：一元二次方程的定义只含有一个未知数且未知数的最高次数为两次的整数方程叫做一元二次方程式：ax 2+bx+c=0（a丰0），其中ax2, bx, c分别称为二次项、一次项、常数项;.其一般形a, b分别称为重点：一元二次方程的定义难点：一元二次方程的解法二次项系数、一次项系数.例1下列方程属于一元二次方程的是?(l)3x+4=l(2)6x-5y=7;6? -70x +825 = 0；(7)x(x + 5) = 150；例 2.把方程 5x(x+3)=3(x-1)+8化成一般形式.并写出它的二次项系数、 一次项系数及常数项.归纳总结元二次方程判别步骤:1

2、、观察方程是否为整式2、找出未知数个数 3、将方程转化为一般形式 4、计算未知数最高次项次数课堂练习1.在下列方程中，一元二次方程的个数是（）(1) 3x2+7=0, (2) ax2+bx+c=0, (3) (x+2)(x-3)=x2-1,(4) x2-( <2+1)x+ J2=o, (5) 3x2- 4 +6=0 XA.1个B.2C.3D.42.关于x的一元二次方程 3x2=5x-2的二次项系数,一次项和常数项,下列说法正确的是（）A.3,-5,-2B.3,-5x,2C.3,5x,-2D.3,-5,23.方程(m+2)A.m=± 2xl叫+3mx+1=0是关于x的一元二次方程

3、，则（）B.m=2C.m=-2D.m4.若方程kx2+x=3x2+1是一元二次方程5.方程4x2=3x- J2 + 1的二次项是知识点二：解一元二次方程,则k的取值范围是一次项是常数项是解一元二次方程方法:1.直接开方法；2.因式分解法；3.配方法;解一元一次方程的一般步骤:1.2.3.4.5.4.公式法去分母（方程两边同乘各分母的最小公倍数）去括号（按去括号法则和分配律）移项（把含有未知数的项移到方程一边，其他项都移到方程的另一边,合并（把方程化成ax = b （a丰0）形式）系数化为1（在方程两边都除以未知数的系数a，得到方程的解解一元二次方程:方法1.直接开平方法移项要变号X =-) a

4、X2 =a（a30）贝y X = ±Ja，即± Ja是一元二次方程 x2=a的解（一元二次方程的解也叫做一元二次方程的根）这种解一元二次方程的方法叫做直接开平方法.即：一般地，如果一个数的平方等于a(a>0)，那么这样的数有两个，它们是互为相反数.例1.解方程x 2-4=O .解：先移项，得x2=4.即 Xi=2, X2=-2 .这种解一元二次方程的方法叫做直接开平方法.例2. 解方程(X+3)=2.归纳总结1 .本节主要学习了简单的一元二次方程的解法一一直接开平方法.2 .直接法适用于 ax2+c=0(a >0, c< 0)型的一元二次方程.巩固练习1.

5、方程x2-0.36=0的解是A.0.6B.-0.6 C.2.解方程:4x 2+8=O的解为A.x i=2 x 2=-2C.x i=4 x 2=-43.方程(x+1) 2-2=O的根是B.D.A. X1 =1 + 血,X2 =1 -应Xj = V2,x2此方程无实根B.C. Xj =-1-运,X2 i +逅 D.4.对于方程(ax+b) 2=c下列叙述正确的是D. ± 0.6Xi=1+V2,x2 = -1+V2Xi = -1 +Q,X2 = -1-0A.不论c为何值，方程均有实数根B.方程的根是C.当 o 0时，方程可化为：ax + b = jC'或ax + b = -JCD.

6、当 c=0 时,x5 .求下列各式中的2(1) x =225;6.解下列方程： 5x - 40=0X 2-169=0 ; (3)36x 2=49; (4)4x 2-25=0 .3(2x+4) 2-16=0方法2.配方法(X+1)-9=0 9(x-3)2-49=0形如x2-A=0的方程，可变形为x2=A(A> 0)，再根据平方根的意义，用直接开平方法求解.那 么，能否将形如 ax2+bx+c=0(a > 0)的一类方程，化为上述形式求解呢？研究方程x2+6x+7=0的解法:将方程视为：x +2 x 3=-7 , 即 x +2 x 3+3=3 -7 ,a (x+3)=2,解之得X +

7、3 = ±f2,即釦= -3 + 75,= -3-/2.这种解一元二次方程的方法叫做配方法. 这种方法的特点是：先把方程的常数项移到方程 的右边，再把左边配成一个完全平方式， 如果右边是非负数， 就可以进一步通过直接开平方法 来求出它的解.例1解方程x2-4x-3=0 .例2解方程2x2+3=7x .归纳总结应用配方法解一元二次方程ax2+bx+c=0(a丰0)的要点是:(1)化二次项系数为1;(2)移项，使方程左边为二次项和一次项，右边为常数;(3)方程两边各加上一次项系数一半的平方，使左边配成一个完全平方式巩固练习1.方程x2-a 2=(x-a) 2(a丰0)的根是A.a B.0

8、2.已知关于x的方程A.1B.-3C.1DO2 2(m+3)x +x+m+2m-3=0 根为C.1或-30,另一根不为0,则m的值D.以上均不对3.若x2-mx+ 是一个完全平方式4A.1B.-1C.D.以上均不对4.方程x2=5的解是 是方程(x-1)2=5的解是方程(3x-1) 2=5的解15. x2 X +=(x-)2方法3.求根公式法 X2 + X +=(x+ )2思考：用配方法解一般形式的一元二次方程，应如何配方来进行求解?用配方法解一元二次方程ax2+bx+c=0(a丰0)的步骤:解：aM 0，两边冋除以a，得把常数项移到方程右边，并两边各加上一次项系数的一半的平方，得八*任)&a

9、mp;日滞 b Jb' -4ac 恨+石=±2a-b 卡 - 4ac据此挹出'/ 4a'>0 (a 0),当-4ac>0S,b :t Jb' -4a亡X =2a-b - Jt? -4此2ab_=b 力c叫做一元二次方程+ bx + c = 02a(a HO)的求根公式.用此公式解一元二次方程的方法叫做公式法应用求根公式解一元二次方程的关键在于:(1)将方程化为一般形式 ax2+bx+c=0(a丰0);(2)将各项的系数a, b, c代入求根公式.例1解方程x2-3x+2=0.例2解方程2x2+7x=4.归纳总结1 .本节课我们推导出了一元二

10、次方程ax2+bx+c=0(a丰0)的求根公式，即-b± ； 4自“ -4ac>0).也a要重点注意到应用公式的大前提，即b2-4ac >0.2 应注意把方程化为一般形式后，再用公式法求解.X =巩固练习1.若代数式4x2-2x-5与2x2+1的值互为相反数,则x的值为322A.1 或B.1 或C.-1 或一 D.12332.对于一元二次方程ax2+bx+c=0,下列叙述正确的是A.方程总有两个实数根B.只有当b2-4ac > 0时,才有两实根C.当b-4ac<0时,方程只有一个实根D.当b2-4ac=0时，方程无实根3.已知三角形两边长分别是A.4 B. 4

11、24.如果分式X? -2X-3X -31和2,第三边的长为2x2-5x+3=0的根，则这个三角形的周长是C.4的值为A.3 或-1B.3C.-15.把 J2 + J3x =(/3 + x)2化成6.若分式X -2的值为0,则X2 -X -2亠.1十或42D.不存在0,则X值为D.1或-32ax +bx+c=0(a 丰 0)的形式后，贝U a= ,b=,c=X=7. 已知x=-1是关于X的一元二次方程 ax2+bx+c=0的根，则b -a a2 2 2 . 8. 若a+b +2a-4b+5=0,则关于x的方程ax -bx+5=0的根是9.解关于 X 的方程 X -m(3x-2m+n)-n =0.

12、方法4.因式分解法复习提问1 .方程2 .方程3.方程x2=4的解是多少?x2=4还有其他解法吗?x2=4还可用公式法解.公式法要比开平方法繁冗.本课，我们将介绍一种较为简捷的解一元二次方程的方法 因式分解法.仍以方程x2=4为例.移项，得x -4=0 ,2对x-4分解因式，得(x+2)(x-2)=0我们知道：盘*査=0或E=0. x+2=0 , x-2=0 .即 x i=-2 , X2=2.由上述过程我们知道： 当方程的一边能够分解成两个一次因式而另一边等于 之.这种方法叫做因式分解法.例1解下列方程:2(1)x -3x-10=0 ;(2)(x+3)(x-1)=5例1(1)应用十字相乘法分解

13、因式;例1(2)将方程整理成一般形式，然后再分解因式解之.例2解下列方程:(1)3x(x+2)=5(x+2)2(3X+1)-5=0 .例(1)移项后提取公因式，形成(x+2)(3x-5)=0 后求解;讲本例时，要突岀讲化方程为；O+ 1)2-G2=0.再利用平方差公式因式分解后求解.归纳总结对上述三例的解法可做如下总结：因式分解法解一元二次方程的步骤是1.将方程化为一般形式;2 .把方程左边的二次三项式分解成两个一次式的积;3 .使每个一次因式等于 0,得到两个一元一次方程;4 .解所得的两个一元一次方程，得到原方程的两个根.0时，即可解(用初一学过的分解方法)巩固练习1.解下列方程:(1)3

14、x 2-16x+5=0(2)3(2x2-1)=7x .2.用因式分解法解下列方程2(1).(2x-1)+3(1-2x)=0(2).(1-3x)2=16(2x+3) 22.X +6x-7=0家庭作业1.对方程(1)(2x-1)=5,(2)x -x-1=0,(3)A.分解因式法、公式法、分解因式法C.公式法、配方法、公式法2 .方程 2x(x-3)=5(x-3) 的根为A. X =5B.x=3 C.2x（x-屈）=y/3-x选择合适的解法是D.B.5Xi =-X23.若x2-5 I x I +4=0,则所有x值的和是直接开平方法、公式法、分解因式法直接开平方法、配方法、公式法A. 1B.4C.04.若方程 x +ax-2a=0的一根为A.1,-2B.-1,2C.1,22 25 .已知 3xy-xy-2=0，则x与D.11,则a的取值和方程的另一根分别是D.-1,-2y之积等于6.关于x的一元二次方程（m+2）x +x-m -5m-6=0有一根为0,贝U m=7 .方程(x-1)(x-2)=0 的两根为xi,x 2，且xi>X2,则X1-2X 2的值是&方程x2= I X I的解是9.选用适当的方法解下列方程2 2(1).(3-x) +x =9(3).(3x-1)2=4(1-x)(2).(2x-1)2