控制工程基础第2章答案

1、第2章系统的数学模型（习题答案）2.1什么是系统的数学模型？常用的数学模型有哪些？解：数学模型就是根据系统运动过程的物理、化学等规律，所写出的描述系统运动规律、 特性、输出与输入关系的数学表达式。常用的数学模型有微分方程、传递函数、状态空间 模型等。2.2什么是线性系统？其最重要的特性是什么?解：凡是能用线性微分方程描述的系统就是线性系统。线性系统的一个最重要的特性就是 它满足叠加原理。2.3图（题2.3）中三图分别表示了三个机械系统。求出它们各自的微分方程,图中Xi表示输入位移,Xo表示输出位移，假设输出端无负载效应。4<>=*尹t “ jfjf! J3 解：图（a）：由牛顿第二

2、运动定律，在不计重力时，可得整理得dxde dXi将上式进行拉氏变换，并注意到运动由静止开始，即初始条件全部为零，可得于是传递函数为图(b):其上半部弹簧与阻尼器之间，取辅助点A，并设A点位移为X,方向朝下;而在其下半部工。引出点处取为辅助点 B。则由弹簧力与阻尼力平衡的原则，从 A和B两点可以分别列出如下原始方程:消去中间变量X,可得系统微分方程MKN®)诗十Kg夏厂尺却亏对上式取拉氏变换，并记其初始条件为零，得系统传递函数为&0) 如+忌屮忑辰图(c):以茁的引出点作为辅助点，根据力的平衡原则，可列出如下原始方程:移项整理得系统微分方程计g十K沢F计+0E对上式进行拉氏变

3、换，并注意到运动由静止开始，即3CfCO)=x*CO)=0则系统传递函数为电压Uc(t)和位移xc(t)为输出量；k,ki和k2为弹簧弹2.4试建立下图(题图2.4)所示各系统的微分方程并说明这些微分方程之间有什么特点, 其中电压Ur (t)和位移Xr (t)为输入量；性系数；f为阻尼系数。kiUr(t)R2Uc(t)O-Xr(t)klk2III匕xc(t)' rk2(c)题图2.4(d)【解】：(a)方法一：设回路电流为i，根据克希霍夫定律，可写出下列方程组:UrUc丄CRidtUc消去中间变量，整理得RC叫dtUcRC叫dt方法二:Uc(s)RR CsRCsRCs 1RC UcRC

4、坐dt cdt(b)由于无质量，各受力点任何时刻均满足F 0,则有:f(普dxc、,d-)咲f dXc k dTXcf dxrk'df(惴R2R1 R21CsCsR2Cs 1R, R2 Cs 1(R R2)C普UcR2Cdur"dfUr(d)设阻尼器输入位移为Xa，根据牛顿运动定律，可写出该系统运动方程ki(Xr Xc) k2(Xr Xa)dxak2(Xc Xa) fdtk, k2 dxcf dxrf Xckik2dtk2 dt结论：(a)、(b)互为相似系统,(C)、(d)互为相似系统。四个系统均为一阶系统。2.5试求下图(题图2.5)所示各电路的传递函数。c unNTMP

5、0Rz/vu题图2.5【解】:可利用复阻抗的概念及其分压定理直接求传递函数。(a)Uc(s)1(及)/LsRCs 艮Ur(s) R1 ( R>)/Ls CsCsLCR2S(R R)LCs (RRC L)s R1Uc(s)(b)Ur(s)R1/丄GsR22R1&C1C2S (RiG PC2)s 1R1 R2C1 C2S (R1C1 R2C2 R1C2 )s 1C2s(cHUr(s)1/(F2 Ls)Cs1&(及R2 LsLs)RLCs1 2 (RRqC L)s RR(dsUr(s)R1C1S1C2S1(R)/ R GsC2S1(R )/ RC1 sR2C1C2S222R C

6、1C2S(2RC1 RC2)s 12RCis 12.6求图（题图2.6）所示两系统的微分方程。/(a)(b)题图2.6解（1）对图（a）所示系统，由牛顿定律有（2）对图（b）所示系统，由牛顿定律有 朋4试/）=血讷2.7求图（题图2.7）所示机械系统的微分方程。图中M为输入转矩，Cm为圆周阻尼，J为转动惯量。圆周半径为R，设系统输入为M （即M（t）,输出为0 （即），解：分别对圆盘和质块进行动力学分析，列写动力学方程如下:消除中间变量X,即可得到系统动力学方程7717&闻+（/«©41妙）召 + 込4皿 + £/ +（滇W 十4）=血丽 + 品+32.8

7、求图（题图2.8）所示系统的传递函数（f（t）为输入，y2（t）为输出）。解分别对皿1，进行受力分析，列写其动力学方程有f 一一 6 仇-71）=，fiGz-Pj-kyj =加1歹1对上两式分别进行拉氏变换有FO) - G比“)一-骂®=饷泸0)¥lXCO 斤 CO 斶®=叫5%»消除臥对得+ cs + kFCj)十+ mjq + 切浪 + (mfc+ 紅耳 + 6)占2.9若系统传递函数方框图如图(题图2.9)所示,求:(1)函数。以R(s)为输入，当N(s) = 0时，分别以C(s), 丫(S), B(s), E(s)为输出的闭环传递数。以N(s)为

8、输入，当R(s) = 0时，分别以C(s)，Y(s)，B(s)，E(s)为输出的闭环传递函比较以上各传递函数的分母，从中可以得出什么结论。题图2.8解(1)以为输入，当Ne)=O时:Lvu)判C(jr)BE题图2.9若以CG)为输出，有40=詔屮咖疝讯閻若以Ye)为输出，有母如的側若以旳为输出，有G奸器h牆鑑若以E)为输出，有吐护謡二丽悬丽(2)以Nfr为输入，当R&)=0时:若以C)为输出,有GQ=呦若以丫为输出,有缸护器=辭鵲若以B9)为输出,有Gy©戶呦一业"若以E)为输出,有打3-刪-FW呦(3)从上可知：对于同一个闭环系统，当输入的取法不同时，前向通道的传

9、递函数不同，反馈回路的传递函数不同，系统的传递函数也不同，但系统的传递函数分母保持不 变，这是因为这一分母反映了系统的固有特性，而与外界无关。2.10求出图(题图2 .10)所示系统的传递函数Xo(S)/Xi(S)。十Gs回题图2.10解方法一：利用公式（231）,可得f園 1 一龟邑GWd/j +岛血広H尢一乞血甘1十他G甘*me兀®方法二：利用方框图简化规则，有图（题2.16.b）X 1 一 G应兽+岛氐G甘Eg 也血甘1十偽GE*2.11求出图（题图2 .11）所示系统的传递函数Xo（S）/Xi（S） 0解根据方框图简化的规则，有图（题2.17.b）bvLa;® 1

10、+ 石©6+石G比一石亦庐1並题图2.112.12图（题图2 .12）所示为一个单轮汽车支撑系统的简化模型。m1代表汽车质量，B代表振动阻尼器，K1为弹簧，m2为轮子的质量，K2为轮胎的弹性，试建立系统的数学模型。JIM)/<0ZZZXZZ题图2.12问题2质点振动系统。这是一个单轮汽车支撑系统的简化模型。nil代表汽车质量，B代表振动阻尼器，为弹簧，为轮子的质量，堆!为轮胎的弹性，建立质点平移系统数学模型。解答: ¥ -J I 丹 Tt/(0"/dxT拉氏变换:= 5sXij) 一 屁 &) /fl Xi(5) Zifo)maF= Ffo) 一 亦

11、悉 M - 总 O) - JCjXa (s) 一 R、&) 一 氐屁 0)Ml,A4Z z- ZZ/Z1）求系统的传递函数活塞的力平衡方程式为Bs+Jfi（题图2.13）所示。其中，弹簧与活塞刚性联接，忽略运动件的惯 Xo为输出位移，k弹簧刚度，c为粘性阻尼系数，求输出与输入 之间的传递函数。(7715= + 用 J X心) 一Es + KO爲 G) = 0一血 + ATjXjj) + 血，+ Bj + CKj + &)乙 “ = F0)3)F(s) miTTis J* + 甘(眄 + 测写2 十 ar土十 KjTna+KFTnJs 十 ff卡十F(s)冏1竹12曰+吕伽1 4

12、+ (医寸码+ KiJriz +JCj mJ衣+瓦之B書+ K心2.13液压阻尼器原理如图 性力，且设Xi为输入位移,解:经拉氏变换后有解得传递函数为kxo (t)kXo(s)G(s)C 善Xi(t)dtcsXi(s)Xo(s)Xo(t)Xo(s)TsTs 1式中，T RC为时间常数。（题图2.14）所示，试求闭环传递函数2.14由运算放大器组成的控制系统模拟电路图如图Uc（S）/Ur（S）C1题图2.14解:一討牆一紳牆一签R肿以）出哄）式（1） （2） （ 3）左右两边分别相乘得如诚 =_鱼耳鱼即%3十逊站心屁%(»2® _ 卫 J 1 EM _ 时所以：鶉-时一 1.

13、简化系统结构图，求系统传递函数（s）/Ui（s）。%®ZuG+L %2-+1+s 叭 时+Ax2.15某位置随动系统原理方块图如图(题图2.15)所示。已 知电位器最 大工作 角度max330°，功率放大级放大系数为K3，要求：(1)分别求出电位器传递系数Ko、第一级和第二级放大器的比例系数Ki 和 K2 ；画出系统结构图；简化结构图，求系统传递函数o(S)/ i(s)；题图2.15位置随动系统原理图解:（2）耳M = e-M 一仇MSW =厲隔氐400取 3 = /f(5)+1, s4 (s)+E, WMCs)=臥 M归他間+呱何=M嗣（司-矶（町耳0）=他务閒系统结构图

14、如下:（3）系统传递函数 心何®1 + KoKKK -叫皿4咼抽刚一心 + HjS + f) 4 略K甘 + 心2.16设直流电动机双闭环调速系统的原理图如图（题图2.16）所示，要求：（1）分别求速度调节器和电流调节器的传递函数；画出系统结构图（设可控电路传递函数为K2/（ 3S 1）；电流互感器和测速发电机的传递函数分别为K4和K5）；题图2.16直流电动机调速系统原理图解：（1）速调_尺1 4古_局；1侮+ 1_儿0十！比w-£/f何卫_r流调St®fiC泸=2 =局+击_殮C泸十1 门J十1 i/w-九陆 W=豆=r _（2）系统结构图如下K.-5*TErcIsx>*Gt £田I R£i *T尸11-瓦m井;Q.1（3）简化结构图，求系统传递函数因为求系统传递函数C&M©，所以令仏=0,系统结构图如下:TiSr-lRCi弓T时1h.RCis>TqS-l-耳将K4后馬到输Ih Q "系统结构图I化简切f卜:K