中考数学与旋转有关的压轴题含答案

1、一、旋转真题与模拟题分类汇编(难题易错题)1.在等边AOB中，将扇形COD按图1摆放，使扇形的半径0C、0。分别与04 08重合，OA = O8=2, OC=OD=1,固定等边AOB不动，让扇形CO。绕点0逆时针旋转，线 段4C、8。也随之变化，设旋转角为a. (0<a<360°)(1)当0CIIA8时，旋转角a=度：发现：(2)线段AC与8。有何数量关系，请仅就图2给出证明.应用：(3)当4 C、。三点共线时，求8。的长.拓展：(4) P是线段48上任意一点，在扇形COD的旋转过程中，请直接写出线段PC的 最大值与最小值.【答案】(1)60或240： (2)AC=BD,

2、理由见解析；(3) 正11或如二L： (4) PC的 22最大值=3, PC的最小值=0-1.【解析】分析：(1)如图1中，易知当点。在线段八。和线段八。的延长线上时，0CII48,此时旋 转角 a=60。或 240°.(2)结论：AC=BD.只要证明A06 80。即可.(3)在图3、图4中，分别求解即可.(4)如图5中，由题意，点C在以。为圆心，1为半径的00上运动，过点。作 0H1A8于H,直线0H交OO于C、U,线段CB的长即为PC的最大值，线段的长即 为PC的最小值.易知PC的最大值=3, PC的最小值详解：(1)如图1中，:A 48c是等边三角形，NAO8=NCOO=60。

3、，.,当点6在线段 AD和线段4。的延长线上时，OCII AB,此时旋转角a=60。或240°.故答案为60或240：(2)结论：AC=BD,理由如下：如图 2 中，,.1 Z COD=N 408=60°, Z COA=N DOB.在4 AOC 和 BOD 中，OA = OB'ZCOA = ZDOB , AOC BOD, ：.AC=BD-,CO = ODA（3）如图3中，当人C、。共线时，作0HJL4C于此在 RSCOH 中，:OLI, N COH=30°, ：.CH=HD=-9 。”=正.在 R3 40H 中， 22AH= yJOA2-OH1 = BD=

4、AC=CH+AH=1+ W .22如图4中，当4、C、。共线时，作OHLAC于比易知 AC=BD=AH - CH=.内.2综上所述：当4 C、D三点共线时，8D的长为史二1或三二1；22（4）如图5中，由题意，点C在以0为圆心，1为半径的。上运动，过点。作 0H_L48于“，直线0H交00于C、U,线段C8的长即为PC的最大值，线段的长即 为PC的最小值.易知PC的最大值二3, PC的最小值=褥-1.点睛：本题考查了圆综合题、旋转变换、等边三角形的性质、全等三角形的判定和性质、 勾股定理、圆上的点到直线的距离的最值问题等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解 决问题，学会添加常用辅助线，构造直角

5、三角形解决问题，利用辅助圆解决最值问题，属 于中考压轴题.2.在平面直角坐标系中，0为原点，点A (3, 0),点8 (0, 4),把ABO绕点A顺时 针旋转，得4&0，点8,。旋转后的对应点为&, O.(1)如图1,当旋转角为90。时，求8&的长；(2)如图2,当旋转角为120。时，求点O'的坐标；(3)在(2)的条件下，边08上的一点P旋转后的对应点为7,当07>+4取得最小值【答案】(1)572 ： (2)0' (2,至)；(3) P1 ( ,.2255【解析】【分析】(1)先求出A8.利用旋转判断出A88堤等腰直角三角形，即可得出结论；(2

6、)先判断出N小0'=60。，利用含30度角的直角三角形的性质求出AH, OH,即可得出 结论；(3)先确定出直线O匕的解析式，进而确定出点P的坐标，再利用含30度角的直角三角 形的性质即可得出结论.【详解】(1);A (3, 0) , B (0, 4) ,，04=3, 08=4,，48=5,由旋转知，BA=BlA.N848'=90°, .,488是等腰直角三角形，.88'=JjA8=5&；(2)如图2,过点0,作O'Hx轴于" 由旋转知，CM=O4=3, N 040,=120。，13 -3JJ9Z H4O'=60°,

7、 Z HO'A=30 ：. AH=-AO'-, OHJ3AH=i , /. OH=OAAH=-, 2222s ( 9 3732 2(3)由旋转知,”=)=,.O,P+AP=O,P+/P.如图3,作A关于y轴的对称点C,连接O'C 交 y 轴于 P，0'P+4P=0'P+CP=0'C,此时，O'P+4P 的值最小.点C与点4关于v轴对称，( -3, 0).：.P （0,O, （2,任），直线O'C的解析式为广正x+些，令x=0, .片）9 2 2555-O,P,=OP=/1 ,作 P'DLO'H 于 D.55Z 8&

8、#39;0Z=N 80=90°, Z AOtH=30 ：. Z OP'O'=30°,L 9P0=6 0Q=历,6厅 DH=OlH - 0lD= - 5.吟,，八义等）.【点睛】本题是几何变换综合题，考查了旋转的性质，等腰直角三角形的性质，含30度角的直角三 角形的性质，构造出直角三角形是解答本题的关键.3.如图1,在R3ADE中，Z DAE=90°, C是边AE上任意一点（点C与点A、E不重 合），以AC为一直角边在RS ADE的外部作RtdABC, Z BAC=90%连接BE、CD.（1）在图1中,若AC=AB, AE=AD,现将图1中的RS A

9、DE绕着点A顺时针旋转锐角a, 得到图2,那么线段BE. CD之间有怎样的关系，写出结论，并说明理由：（2）在图1中，若CA=3, AB=5, AE=10, AD=6,将图1中的由 ADE绕着点A顺时针旋 转锐角a，得到图3,连接BD、CE.求证： ABE ACD；计算：BD2+CE2的值.【答案】（1）BE=CD. BE±CD,理由见角：（2）证明见解析：BD2+CE2=170.【解析】【分析】(1)结论：BE=CD, BE±CD：只要证明 84EW CAD,即可解决问题；(2)根据两边成比例夹角相等即可证明ABE- ACD.由得到NAEB=NCOA.再根据等量代换得到N

10、 OGE=90。，即。G_L8E,根据勾股定理 得到BD2+CE2=CB2+ED2,即可根据勾股定理计算.【详解】(1)结论：BE=CD, BE±CD.理由：设8E与4c的交点为点F, BE与CD的交点、为点、G,如图2.S M图2口 Z CAB=A EAD=90 ：. Z 64。=/ BAE.AB = AC在仆 CAD 不必 BAE 中，/BAE = ACAD , /. CAD BAE, ：. CD=BE,AE = ADZ ACD:N ABE.Z BFA=Z CFG, Z BFA+N A8F=90°, /. Z CFG+Z ACD=90 ：. Z CGF=90 ：. BE

11、±CD.(2)设左与CD于点F, 8E与DC的延长线交于点G,如图3.Z CABB=4 EAD=90：.Z CAD二4 BAE.EAE ADC4=3, 48=5, AD=6f AE=109 ：.=2, /. ABE- ACD- AB AC: a ABE- 4 ACD. ：. Z AEB=A CDA. 4AFD=N EFG, N AFD+N CDA=90°,N EFG+N AEB=90°, /. Z DGE=900GJL8E, /. Z AGD=A BGD=90% /. CE2=CG2EG2. BD2=BG2WG ：. BD2CE2=CG2EG2+BG2WG2.CG

12、2+8G2=CB2f EGZWG2=ED ：. BD2+CE2=CB2+£D2=Cy42MB2MD2MD2=170.E【点睛】本题是几何综合变换综合题，主要考查了图形的旋转变换、全等三角形的判定与性质、相 似三角形的判定与性质、勾股定理的综合运用，运用类比，在变化中发现规律是解决问题 的关键.4 .已知：一次函数 =一：冗+4的图象与X釉、y轴的交点分别为A、B,以B为旋转中 心，将 BOA逆时针旋转，得 BCD （其中。与C、A与D是对应的顶点）.（1）求AB的长：（2）当N BAD=45°时，求D点的坐标：（3）当点C在线段AB上时，求直线BD的关系式.7y =-五工+

13、 4【答案】（1）5： （2） D （4, 7）或（-4, 1） ； （3）24【解析】 试题分析：（1）先分别求得一次函数p = -：x + 4的图象与x轴、y轴的交点坐标，再根 据勾股定理求解即可：（2）根据旋转的性质结合 BOA的特征求解即可；（3）先根据点C在线段AB上判断出点D的坐标，再根据待定系数法列方程组求解即可.4（1）在y = -7无+ 4时，当工=0时，y = 4,当y = 0时，x = 3AB = 5 ；（2）由题意得D （4, 7）或（4 1）；17（2）由题意得D点坐标为（4,）0设直线bd的关系式为:图象过点 B (0, 4) , D (4,)7247y 二一/+

14、4/.直线BD的关系式为 24.考点：动点的综合题点评：此类问题综合性强，难度较大，在中考中比较常见，一般作为压轴题，题目比较典 型.5 .(1)观察猜想如图，在 ABC中，Z BAC=90°, AB=AC,点D是BC的中点.以点D为顶点作正方形 DEFG,使点A, C分别在DG和DE上，连接AE, BG,则线段BG和AE的数量关系是 拓展探究将正方形DEFG绕点D逆时针方向旋转一定角度后(旋转角度大于0。，小于或等于360°),如图2,则中的结论是否仍然成立？如果成立，请予以证明；如果不成立，请 说明理由.解决问题若BC=DE=2,在的旋转过程中，当AE为最大值时，直接写

15、出AF的值.【答案】(1)BG=AE.(2)成立.连接AD. ABC是等腰三直角角形，NBAC=90。，点D是BC的中点.，NADB=90°,且 BD=AD.: Z BDG = Z ADB-Z ADG = 90°-Z ADG = Z ADE, DG = DE.:, & BDG统 & ADE, /. BG=AE7分(3)由(2)知，BG=AE,故当BG最大时，AE也最大.正方形DEFG绕点D逆时针方向旋转270。时，BG最大，如图.若 BC = DE = 2,则 AD = 1, EF = 2.在 RtA AEF 中，AF2 = AE2 + EF2=(AD +

16、DE)2 + EF2=(1 + 2)24-22 = 13.af=JJ【解析】解：(1) BG=AE.(2)成立.如图，连接AD., a ABC是等腰三直角角形，Z BAC=90。，点D是BC的中点./. Z ADB=90°,且 BD=AD.Z BDG = Z ADB-Z ADG = 90°-N ADG = Z ADE, DG = DE.:, & BDG合 4 ADE, /. BG=AE.(3)由(2)知，BG=AE,故当BG最大时，AE也最大.Z+X+X+K因为正方形DEFG在绕点D旋转的过程中，G点运动的图形是以点D为圆心，DG为半径的 圆，故当正方形DEFG旋转

17、到G点位于BC的延长线上(即正方形DEFG绕点D逆时针方向 旋转270。)时，BG最大，如图.若 BC = DE = 2,则 AD = 1, EF = 2.在 RtA AEF 中，AF2 = AE2 + EF2=(AD + DE)2 + EF2=(14-2)2+22=13.,AF = JJ.即在正方形DEFG旋转过程中，当AE为最大值时，AF=JJ.6.我们定义:如果一个三角形一条边上的高等于这条边，那么这个三角形叫做"等高底"三角形，这条边叫做这个三角形的"等底”。（1）概念理解：如图1,在AA3C中,AC = 6 ,8C = 3.NACB = 30。,试判断A

18、A3C是否是“等高底"三角形，请说明理由.（2）问题探究：如图2, A43c是“等高底三角形,BC是"等底"，作AA3C关于3c所在直线的对称图形得AC到A42C,连结A4'交直线8c于点。.若点8是4 = 3-&z2 = l + 2i的重心，求的值. BC（3）应用拓展：如图3,已知/25与之间的距离为2."等高底 AA3C的“等底在直线4上，点A在 直线12上,有一边的长是BC的6倍.将MBC绕点C按顺时针方向旋转45°得到A4'?C, AfC所在直线交"于点。,求CD的值.【答案】（1）证明见解析：（2）

19、4 = （3）CO的值为,2四,2BC 23 【解析】分析：（1）过点A作AAL直线CB于点D,可以得到4）=8C=3,即可得到结论：（2）根据凶8c是“等高底"三角形，8c是"等底"，得至lj4O=8C,再由M8c与M8C关于 直线8c对称，得到N4）C=90°,由重心的性质，得至lj 8c=280.设8D=x,则4D=8C=2x, CD=3x，由勾股定理得4C=gx,即可得到结论；（3）分两种情况讨论即可：当A8=J58c时，再分两种情况讨论：当AC=近8c时，再分两种情况讨论即可.详解：（1）是.理由如下：如图1，过点A作AOJ_直线CB于点D,.

20、A4DC为直角三角形，ZDC=90°.丁 NACB=300, 46, Z. AD=-AC=3f 2：.4。=8c=3,即A48c是“等高底三角形.D BC(2)如图2,AA8C是"等高底"三角形,8c是“等底”，.4>8C,A4Z8C 与 A48c 关于直线 8c 对称，/. AADC=90°.丁点8是A44C的重心,BC=2BD.设 8D=x,贝lj AD=BC=2x, ：. CD=3x ,由勾股定理得AC=gx,AC _ >/Ux _ V13 BC 2x 2A1 IH2(3)当48二或8c时，I .如图3,作AEJJi于点& DF

21、,4c于点£.”等高底"凶8c的"等底”为8C, /i/2,人与，2之间的距离为2, AB= 72 BC,/. BC=AE=2. AB=2 6，：.BE=2,即 EC=4, . AC= 25/5 .T MBC绕点C按顺时针方向旋转45。得到AZV Bl G AZ CDF=45°.设 DF=CF=x .一DF AE 1 nn： k/k, ：. Z >4CE=Z DAF9 ：. =一,即 AF=2x. AF CE 222.,.AC=3x=25 可得 x=6,/.CD=戊"二 M .n.如图4,此时A48c是等腰直角三角形， MBC绕点C按顺时

22、针方向旋转45。得到M' B' C, . MCD是等腰直角三角形， ,CD=应AC=2日/1Z za c 1M4.当心718c时，I.如图5,此时ABC是等腰直角三角形.V M8C绕点C按顺时针方向旋转45。得到A/V8C ACJJi, /. CD=AB=BC=2.处B C 1IB5II.如图 6,作 AEJJt 于点& 贝lj4E=8C, ：.AC=y/2BC=y/2AE, ：. Z ACE=n5MBC绕点c按顺时针方向旋转45。得到M B-C时, 点A在直线/】上，.AGI/2,即直线AC与/2无交点.综上所述：CD的值为:屈，2人，2.点睛：本题是几何变换-旋转综

23、合题.考查了重心的性质，勾股定理，旋转的性质以及阅读 理解能力.解题的关键是对新概念”等高底三角形的理解.7.在正方形ABCD中，对角线AC与BD交于点0：在R3PMN中，Z MPN = 90°.（1）如图1，若点P与点0重合且PMJ_AD、PN_LAB,分别交AD、AB于点E、F,请直 接写出PE与PF的数量关系：（2）将图1中的RtA PMN绕点0顺时针旋转角度a （0°<a<45°）.如图2,在旋转过程中（1）中的结论依然成立吗？若成立，请证明；若不成立，请说明理由；如图2,在旋转过程中，.当ND0M = 15。时，连接EF,若正方形的边长为2,

24、请直接写出 线段EF的长：如图3,旋转后，若RS PMN的顶点P在线段0B上移动(不与点0、B重合)，当 BD = 3BP时，猜想此时PE与PF的数量关系，并给出证明：当BD二m,BP时，请直接写出 PE与PF的数量关系.图2图32、/6【答案】(1)PE=PF： (2)成立，理由参见解析：3 :PE=2PF,理由参见解 析:PE= (m-1) PF.【解析】试题分析：(1)可利用角平分线性质定理得到PE=PF： (2)成立，可用角边角定理判 定A0FWAD0E,从而得到PE=PF；要想求出EF的长，关键要求出0E的长，由 N D0M=15。可得N AEO=45 + 15=60。，作0H_LA

25、D于H,若正方形的边长为2,则0H=l, 1 7320可算出EHk/3=H,EOF是等腰直角三角形，EF即可求出；构建相似三角形，过P点作PHJ_AB, PK_LAD,垂足为H、K,则四边形AHPK为矩形， PHB和 PKD都是等腰直角三角形，是相似的，BD = 3BP, .可算出HP:PK的值，然后通过 FHP- PKE得到PE与PF的关系.由前面的思路可得出当BD=m-BP时，BD:PD= (m- 1) : 1. PE:PF= (m-1) ： 1,从而确定PE与PF的数量关系.试题解析：(1) .,四边形ABCD是正方形，NOAF=NOAE=45。，又髭PM_LAD、PNXAB. /. P

26、E=PF； (2)成立，PE仍等于PF, 四边形ABCD是正方形，N OAF=N ODE=45E OA=OD,又r N AOF 和N DOE 都是N AOE 的余角，Z AOF=Z DOE, /. AO住 DOE (ASA) , /. OE=OF,即 PE=PF；作 OH_LAD 于 H, 由N D0M=15。可得N AEO=45 + 15=60&, Z HOE=30°,若正方形的边长为2,则OH=1,在RS HEO中，可算出EHi/l 3 , . oe= 3，7 EOF是等腰直角三角形，2、尸2代EF=JOE=3x 3 = 3 ；构建相似三角形，过P点作PHJ_AB, PK

27、_LAD,垂足为H、K,则四边形 AHPK 为矩形，N PHB二N PKD=90°N PBH=N PDK=45°,PH BPPH BP/. PHB- A PKD, /. PK DP，: BD=3BP, /.户K。尸=2 ,Z HPF+Z FPK=90°Z KPE+Z FPK=90% N HPF=N KPE, X'.- Z PHF=Z PKE=90%PF PH：. PH 4 PKE, PE PK = 2 9 RP PE="2PF" ：当 BD二m-BP 时，BD:PD= （m-1）：1, PHF- PKE, PE:PF=BD:PD= （m-1） ： 1, PE= （m-1） -PF.考点：1.正方形性质：2.三角形相似的判定；3.旋转性质；4.探索线段的数量