2021年江苏高考数学二轮练习：高考热点追踪(二)三角函数与平面向量专题强化精练提能

1、专题强化O精练提能1. (2019 南京、盐城高三模拟)在厶 ABC 中，设 a, b, c 分别为角 A, B, C 的对边，若 an3=5 , A=-，cos B =,贝Vc=454n7 / 2a c解析根据题意得，sin B = 5,所以 sin C = sin(A+ B)= sin 4 + B =访，由=sC 得 5 = % ,解得 c= 7. sin410答案71+cos 2a1 血丄 c2.若歸= 1,则tan 2a=解析所以 tan1+COS2a2cos2acosasin 2a =2sinacosa=sina=2 2tana44a=2,所以 tan 2a= =一；1tan2a14

2、3“亠 4答案3. (2019 江苏省高考命题研究专家原创卷(七)已知向量 a = (2 , 1) , b= (3 , 1),若 a+2kb 与 3a b 平行，则 k=解析因为 a = (2, 1), b = (3, 1),所以 a + 2kb= (2 , 1) + 2k(3 , 1)= (2 + 6k, 1 2k),3a b = 3(2 , 1) (3 , 1) = (3 , 4),又 a+ 2kb 与 3a b 平行，所以 4(2+ 6k) 3(1 2k) =0 ,1解得 k 一 1. 1答案611n r r4. (2019 扬州模拟)已知 cosa=1, COS(a+ 3= ,且a,氏

3、 0 , ?,则cOS(a 3的值n解析因为a0 ,所以 2a(0 ,n17因为 cosa=3,所以 cos 2a=2COS2a1= 9,所以 sin 2a= 1cos22a=2,n而a , 30,所以a+(0, n所以 sin(a+ 3) = U1 - cos2(a+ 3= 3,所以 COS(a3=C0S2a (a+ 3=cos 2acos(a+ 3 +sin 2 sin(a+ 34,2、，22 23/X932723答案275. (2019 盐城高三模拟)已知向量 a, b 满足 a= (4, 3), |b|= 1, b的夹角为_x2+ /= 1解析法一：设向量 b= (x, y),则由|b

4、|= 1, |a b|= 可得，(x 4)2+( y+ 3)2= 2155a b 1?4x3y= 2,所以ab=(4,-3) (x,y)=4x-3y=5,cosa,b =丽=2 又a,b0,nn,所以向量 a, b 的夹角为 3.5a b法二：由|a-b|=.21得，(a-b)2=21?a2-2a b+b2=21,所以a b=5,cos =丽1n2 又a, b 0,n,所以向量 a, b 的夹角为n答案36. (2019 南京高三模拟)如图，在梯形 ABCD 中，AB/ CD , AB = 4, AD = 3, CD = 2, AM=2MD .若 AC BM = 3，则 ABAD =1 _ 2

5、 解析由题意可得 AC= AD + DC = AD + AB , BM = AM AB = 3AD AB,则 AC BM =23AD + ?AB - AD AB = 3,则|ADf ?|ABf-3AB AD = 3,即 6 8 3AB AD = 3,解3 得 AB AD = .答案3n7 .函数 f(x) = Asinx+妨 A0,30,则石 的部分图象如图所示，则将n右平移n个单位后，得到的图象对应的函数解析式为|a b|= . 21,则向量 a,y = f(x)的图象向12n,n3=2,由sin2X6+ =nn%f(x) = sin 2x+-,则 f(x)= sin 2x+ 6的图象向右平

6、移 6 个冗答案y= sin 2x 6)在厶 ABC 中，已知 AB = 1, AC = 2,ZA= 60，若点 P满足AP=AB+瓜 C,且 BPCP= 1,则实数 入的值为_1 解析由题意可得 AB AC = 1X2X2 = 1 , AB AP = AB2+；AB AC = 1+ 入AP AC= 1 + 4 入 AP2= AB2+ 2?AB AC+ 於 AC2= 4X+ 2 入+ 1，又 BP CP = 1,则(AP AB) (APAC) = AP2 AP AC AP AB+ AB AC = 1 ,代入化简得 4? 3X1 = 0,解得X= 4 或X=1.1答案4 或 19 .已知 a,

7、b, c 分别为 ABC 三个内角 A, B, C 的对边，a= 2,且(2 + b)(sin A sin B) =(c b)sin6 则厶 ABC 的面积的最大值为 _.解析因为 a = 2, (2 + b)(sin A sin B)= (c b)sin C,根据正弦定理，得(a+ b)(a b)= (cb)c,所以 a2 b2= c2 bc,所以 b2+ c2 a2= bc,根据余弦定理因为 A (0,n,故 A=n因为 b2+ c2 bc= 4,所以 4 = b2+ c2 bc2bc bc= bc(当且仅当 b积的最大值为 3.答案.310. (2019 唐山模拟)在厶 ABC 中，(A

8、B 3AC)丄 CB,则角 A 的最大值为解析因为(AB 3AC)丄 CB,所以(AB 3AC) CB = 0, (AB 3AC) (AB AC)= 0, AB21, |则扌得扌+0=n解得片n所以单位后得到的图象对应的函数解析式为n nny=sin2x6+6=sin 2x6.8. (2019 苏锡常镇四市高三调研b2+ c2 a21,得cos A=2bc= 2=c= 2 时取等号),所以ABC 的面积c 1逅 亚 Swc= 2bcsinA =7bc4=3,442当且仅当 a = c= 2 时取等号，所以线段 BD 长的最小值为.3法二：因为 D 为 AC 边的中点，所以可设 AD = CD

9、= d,BD2+ d2 c2BD2+ d2 a2由 cosZADB + cosZCDB = 0,得+= 0,2d BD2d BDa2+ c2即 BD2=2 d2= 8 ac d2,又 b2= a2+ c2 2accos B, B = 60 所以 b2= (a+ c)2 3ac = 16 3ac,3即 4d2= 16 3ac,所以 d2= 4 4ac,211 a 亠 c故BD2=4 4ac4 x = 3,当且仅当 a= c= 2 时取等号，所以线段 BD 长的最小值为.3.13. (2019 南京、盐城模拟)在平面直角坐标系 xOy 中，设锐角a的始边与 x 轴的非负半轴重合，终边与单位圆交于P

10、(X1, y1),将射线 OP 绕坐标原点 O 按逆时针方向旋转n后与单位圆交于点 Q(X2, y2).记 f(a= y1+ y2.a+ c1 则BD2=(BA+BC)2=(1) 求函数 f(a 的值域；(2) 设厶 ABC 的角 A, B, C 所对的边分别为 a, b, c,若 f(C) = .2，且 a = ；2, c= 1，求 b.所以 f(a=sina+cosa=迈 sina+4,n严严 r、pn n3n因为a0,2,所以a+44,故 f( a) (1 , 2.因为 f(C)= 2sinn+ C = .2, 又 C (0,n)n所以 C=,在厶 ABC 中，由余弦定理得 c2= a2

11、+ b2 2abcos C, 即 1 = 2 + b2 2.;222b,解得 b= 1.14. (2019 江苏省四星级学校 4 月联考)金镶玉奖牌是中国文化与体育精神完美结合的载体.现有一矩形玉片 BCEF , CE 为 36 毫米，BC 为 32 毫米，G 为 EF 的中点.现要开糟镶嵌金丝，将其加工为镶金工艺品， 如图，金丝部分为优弧 PQ 和线段 MP , NQ, MN ,其中优弧 PQ 所在圆的圆心为 0,圆 0 与矩形的边 FB, BC, CE 分别相切于点 A, H , D . M , N 在线段 EF上(M 在 N 的左侧),MP , NQ 分别与圆 0 相切点 P , Q,且

12、 FM = NE.若优弧 PQ 部分镶嵌的金丝每毫米造价为 3a 元(a0),线段 MP, NQ , MN 部分镶嵌的金丝每毫米造价为2a 元.记锐角/ POG = a 镶嵌金丝总造价为 W 元.MG N/ AV时丿HC(1)试表示出关于a的函数 W(oc),并写出 cosa的范围;当 M, N 位于什么位置时，镶嵌金丝的总造价最低？解(1)由题意,得 yi= sina,y2= sinna+2 =cosa,解如图，过点 P 作 0G 的垂线,垂足为 R,过点 M 作 PR 的垂线，垂足为 S,由圆 0与矩形的边 FB, BC, CE 相切，得圆 0 半径为 16.易得 PR=16sina,0R

13、=16cosa,MS=GR=OGOR=CECD16cosa=361616cosa=2016cosa,切点为 P,所以 OP 丄 MP,易得/ MPS=ZPOG =a,MS 2016cosatana=tana G 三点重合时，汙 OG 为直角三角形，sina7272cosa33cosax2a=96a( 一a+ ;x2a=48a(2n2a+ ;),sinasina考虑临界状态，当 M , N,由(1)知，(%)33cosa48a一2+mJ48a 2sin2a+33cosasin2a一 2+2cos2a+33cos48asin2a2a2cosa3cosa+1-=48asin2a(2cosa1)(cosa1)=48a-2, asin2an(a,),7t其中 0,4cosa =,5因为 MP 与圆 O 相切,所以MSMP=NQ=sMSa2016cosasinPS=所以 MG = SR= PR PS= 16sina2016cosa1620cosatana其中ZGPO=nOG=20,OP=16,cosa=OG=16 451令 W a=0,得 COS a= 2 或 COSa=1（舍）,4n又 COSa0, 5 且 a 为锐角,所以a=3，n所以当 a a, 3 时，w(a0 , W(a单调递增.所以当a=3 时，总造价 W(a取得最小值，为 Wn=