厚积薄发-高考数学四十一讲---第十九讲不等式的应用问题

1、第十九讲 不等式的应用问题一、引言本讲主要学习绝对值不等式及高次、分式不等式的解法，应用不等式求最值，不等式证明的主要方法，能够利用平均值不等式、柯西不等式求一些特定函数的极值；了解数学归纳法的原理及其使用范围，会用数学归纳法证明一些简单问题本讲考纲要求：熟练运用不等式的知识综合解决函数、方程中的有关问题；通过不等式的基本知识、基本方法在代数、三角函数、数列、立体几何、解析几何等各部分知识中的应用，深化数学知识间的融汇贯通，从而提高分析问题解决问题的能力本讲命题方向为：1结合指数、对数、三角函数考查函数的性质，解不等式的试题常以填空题、解答题形式出现；2以当前经济、社会、生活为背景与不等式综合

2、的应用题仍是高考的热点，主要考查考生阅读以及分析、解决问题的能力；3在函数、不等式、数列、解析几何、导数等知识网络的交汇点命题，特别注意与函数、导数综合命题这一变化趋势二、考点梳理1绝对值的几何意义：是指数轴上点到原点的距离；是指数轴上两点间的距离2含绝对值的不等式的性质：，当时，左边等号成立；当时，右边等号成立，当时，左边等号成立；当时，右边等号成立进而可得：3绝对值不等式的解法：（1）解含绝对值的不等式的基本思想是去掉绝对值符号，将其等价转化为一元一次（二次）不等式（组）进行求解； （2）去掉绝对值的主要方法有： 公式法：，或定义法：，零点分段法；平方法：不等式两边都是非负时，两边同时平方

3、 4分式不等式的解法：， ， 5常用的证明不等式的方法（1）比较法（2）综合法 （3）分析法（4）反证法（5）放缩法 （6）换元法（7）构造法6柯西不等式（1）代数形式：设均为实数，则，其中当且仅当时等号成立（2）推广形式：设均为实数，则：，其中当且仅当时等号成立（3）几何意义：设，为平面上以原点O为起点的两个非零向量，它们的终点分别为A（），B（），那么它们的数量积为，而，所以柯西不等式的几何意义就是：，其中当且仅当两个向量方向相同或相反（即两个向量共线）时等号成立（4）向量形式：设，为平面上的两个向量，则，其中当且仅当两个向量方向相同或相反（即两个向量共线）时等号成立7数学归纳法数学归纳法

4、适用于有关自然数n的命题具体来讲，数学归纳法常用来证明恒等式，不等式，数的整除性，几何中计数问题，数列的通项与和等(1)数学归纳法的基本形式：设是关于自然数n的命题，若 成立(奠基); 假设成立()，可以推出成立(归纳)，则 对一切大于等于的自然数都成立(2)数学归纳法的应用具体常用数学归纳法证明：恒等式，不等式，数的整除性，几何中计算问题，数列的通项与和等三、典型例题选讲题型1：高次不等式、分式不等式、绝对值不等式的解法及其应用例1 解不等式：(1) ； （2）；（1）解法一：原不等式等价于原不等式解集为解法二：把方程 的三个根-5,-4,2顺次标在数轴上,然后从右上开始画线顺次经过三个根(

5、奇穿偶不穿)，其解集如下图的阴影部分（2）解：原不等式可化为把方程的三个根顺次标在数轴上然后从右上开始画线顺次经过三个根，其解集如下图的阴影部分原不等式解集为归纳小结：用“穿根法”解不等式时应注意：各一次项中的系数必为正；对于偶次或奇次重根可转化为不含重根的不等式，也可直接用“穿根法”，但注意“奇穿偶不穿”例2 解下列分式不等式：（1）；（2）解：（1）原不等式等价于 用“穿根法”其解集如下图的阴影部分：原不等式解集为（2）原不等式等价于 用“穿根法” 原不等式解集为归纳小结：当分式不等式化为时，要注意它的等价变形要注意找零点去绝对值符号最好画数轴，零点分段，然后从左向右逐段讨论，这样做条理分

6、明、不重不漏例3 解不等式分析：解此题的关键是去绝对值符号，而去绝对值符号有两种方法：一是根据绝对值的意义；二是根据绝对值的性质：或，因此本题有如下两种解法解法一：原不等式即或故原不等式的解集为解法二：原不等式等价于即故原不等式的解集为归纳小结：解含绝对值的不等式，关键是要把它化为不含绝对值的不等式，然后把不等式等价转化为不等式组，变成求不等式组的解例4 求使不等式有解的的取值范围解法一：设，则有作出函数f(x)的图象,得：要使不等式成立，只需a>1，故a的取值范围为a>1解法二：设数x，3，4在数轴上对应的点分别为P，A，B，如下图，由绝对值的几何定义，原不等式|PA|+|PB|

7、a的意义是P到A、B的距离之和小于a因为|AB|=1，故数轴上任一点到A、B距离之和大于（等于）1即 ，故当时,故a的取值范围为a>1归纳小结：本题考查绝对值不等式的恒成立问题，解法一用 “零点分段法” 去掉绝对值符号，转化为一个分段函数，再用函数的图象求解解法二用绝对值的几何定义出发,寻找不等式的几何意义求解两种方法各有特点,都是解决此类问题的常用方法例5 解不等式(1)；(2)解：(1)原不等式可化为：,整理，得解之，得不等式的解集为x|-3<x<2(2)原不等式两边同除以 得,设,则,解得,即或原不等式的解集为x|归纳小结：解指数不等式的关键是转化为代数不等式在解的过程

8、中要特别注意未知数的取值范围及指数函数的单调性第（2）小题中先用到了“换元法”转化为二次不等式后再用指数函数的单调性求出解集例6 解不等式(1)；(2)解：（1）原不等式等价于原不等式的解集为x|-2<x<-1或4<x<7（2）原不等式等价于或解之得：4<x5原不等式的解集为x|4<x5归纳小结： 在解对数不等式时，除要注意根据底数结合对数函数单调性进行等价转化外，还要注意使对数有意义的未知数的取值范围、对数的运算法则和换底公式的应用题型2：证明不等式例7 求证分析：此题的难度在于，所求证不等式的左端有多项和且难以合并，右边只有一项注意到这是一个严格不等式，

9、为了左边的合并需要考查左边的式子是否有规律，这只需从下手考查即可证明：，归纳小结：此题证明过程并不复杂，但思路难寻本题所采用的方法也是解不等式时常用的一种方法，即放缩法这类题目灵活多样，需要巧妙变形，问题才能化隐为显，这里变形的这一步极为关键不能放缩不够或放缩过头，财时放缩后便于求和例8 用数学归纳法证明，分析：要证等式的左边共项，右边共项，与相比左边增二项，右边增一项，而且左、右两边的首项不同因此，由“”到“”时要注意项的合并证明：（1）当时，左边=，右边，命题成立（2）假设当时命题成立，即那么当时，左边 上式表明，当时命题也成立由（1）和（2）知，命题对一切自然数均成立归纳小结：用数学归纳

10、法证明与自然数有关的一些等式命题，关键在于“先看项”，弄清等式两边的构成规律，等式的两边各有多少项，项的多少与的取值是否有关，由到时，等式两边会增加多少项题型3：不等式的应用例9 若 求的最小值，并求最小值点解：由柯西不等式得归纳小结：柯西不等式是基本而重要的不等式，是推证其他许多不等式的基础，有着广泛的应用此题应用的是柯西不等式的代数形式，为了符合公式的结构，用了一个“”的凑形技巧常用的还有两个推论：其中；其中题型4：不等式的应用例10 （1）（2009海南理）已知函数（）作出函数y=f(x)的图象；（）解不等式解：（）图象如 （）不等式即,由得由函数f(x)图象可知，原不等式的解集为（2）

11、（2009宁夏理）如下图，O为数轴的原点，A,B,M为数轴上三点，C为线段OM上的动点，设x表示C与原点的距离，y 表示C到A距离4倍与C到B距离的6倍的和（）将y表示成x的函数；（）要使y的值不超过70，x 应该在什么范围内取值？解:（）（）依题意,x满足解不等式组，其解集为9，23，所以归纳小结：本题考查数学建模思想和绝对值不等式的解法,要注意绝对值的定义的使用例11 （2008广东文）某单位用2160万元购得一块空地，计划在该地块上建造一栋至少10层、每层2000平方米的楼房经测算，如果将楼房建为(10)层，则每平方米的平均建筑费用为560+48（单位：元）为了使楼房每平方米的平均综合费

12、用最少，该楼房应建为多少层？（注：平均综合费用平均建筑费用+平均购地费用，平均购地费用）解：设楼房每平方米的平均综合费为f（）元，则，,令,得当时，；当时，因此，当时，f（x）取最小值答：为了楼房每平方米的平均综合费最少，该楼房应建为15层归纳小结：通过实际情景建立函数关系式并与导数知识交汇命题成为高考的亮点，解题的关键是建立函数模型，通过函数的性质特别是单调性建立不等关系求得结果在学习时应加强这方面训练，提高应用意识，总结不等式的应用规律，才能提高解决问题的能力例12 （2008山东理）等比数列的前n项和为，已知对任意的点均在函数的图象上（）求r的值；（）当b=2时，记证明：对任意的nN*，

13、不等式成立解（）因为对任意的,点，均在函数且均为常数）的图象上所以得,当时,当时，,又因为为等比数列,所以,公比为,（）当b=2时，,则,所以下面用数学归纳法证明不等式成立当时,左边=,右边=,因为,所以不等式成立假设当时不等式成立,即成立则当时,左边所以当时,不等式也成立由、可得不等式恒成立归纳小结：本题主要考查了等比数列的定义,通项公式,以及已知求的基本题型,并运用数学归纳法证明与自然数有关的命题,以及放缩法证明不等式四、本专题总结1在复习不等式的解法时，加强等价转化思想的训练与复习解不等式的过程是一个等价转化的过程，通过等价转化可简化不等式（组），以快速、准确求解加强函数与方程思想在不等式中的应用训练不等式、函数、方程三者密不可分，相互联系、互相转化如求参数的取值范围问题，函数与方程思想是解决这类问题的重要方法在不等式的证明中，加强化归思想的复习，证不等式的过程是一个把已知条件向要证结论的一个转化过程，既可考查学生的基础知识，又可考查学生分析问题和解决问题