江苏省金湖县实验中学八年级数学《特殊的平行四边形、梯形》教案

1、特殊的平行四边形、梯形二. 重点、难点： 1. 学习重点： （1）理解矩形、菱形、正方形的特性。 （2）理解等腰梯形的特性。 2. 学习难点： （1）理解几种特殊平行四边形与普通平行四边形的区别与联系。 （2）理解等腰梯形与平行四边形、等腰三角形之间的关系。【典型例题】一. 矩形： 1. 矩形的概念： 有一个内角是直角的特殊的平行四边形，就是矩形，也就是以前常说的长方形。如图1： 2. 矩形的特性： 矩形是平行四边形，因此平行四边形所有的性质，矩形都有，但矩形是特殊的平行四边形。因此，它还有一些特性。 （1）矩形是轴对称图形，对称轴是通过对边中点的直线，因此可知矩形有两条对称轴。 （2）矩形的

2、四个角都是直角。 实际上，如图1所示，若BAD是直角，由AD/BC知ABC是直角，由AB/DC知ADC是直角。同理可知，DCB是直角，故矩形四个角都是直角。 （3）矩形的对角线相等且互相平分。 矩形是平行四边形，故其对角线互相平分。 在图中，矩形的四个角是直角，如果绕着对角线的交点O旋转，会发现将其旋转COD的度数，AC与BD将会重合，故其长度相等。 例1. 矩形ABCD的两条对角线交于点O，且AOD120°，证明：AC2AB。 证明：在AOD中，AOD120°，故其补角AOB60° 即有OAOB 而AOB60° 故AOB是等边三角形 有OAOBAB 故

3、AC2AO2AB 3. 矩形的识别方法： （1）如果在一个平行四边形中，能找到一个角是直角，则其是矩形。 如图3，先判定四边形ABCD是平行四边形，再判定其中有一个角是直角。 （2）如果在一个平行四边形中，其对角线相等，则此平行四边形是矩形。 如图3，如果在平行四边形ABCD中，有ACBD，则平行四边形ABCD是矩形。 （3）如果在一个四边形中，有三个角是直角，则此四边形是矩形。 如图3，如果在四边形ABCD中，ABC，ADC，CBA，CBA，CDA中有三个角是直角，则四边形ABCD是矩形。 例2. 说明：平行四边形的四个内角的平分线围成的四边形是矩形。 分析：此题应先作图，再写已知，最后说明

4、。 已知：如图4所示，在平行四边形ABCD中，AE、BF、CN、DM分别是DAB、ABC、BCD、CDA的平分线。 说明：四边形HGOK是矩形 解：在平行四边形ABCD中，AB/CD 所以DABADC180° 因为AE、DM是DAB、ADC的平分线 所以1290°，所以AKD90° 所以OKH90° 同理，AOGCHD90° 故四边形HGOK是矩形二. 菱形： 1. 菱形的概念： 四条边都相等的平行四边形就是菱形，如图5所示，四边形ABCD就是菱形。 菱形即是中心对称图形，也是轴对称图形，对称轴为它的对角线所在的直线，共有两条对称轴。 2. 菱

5、形的性质： （1）菱形的对角线互相垂直平分 如图5所示，在菱形ABCD中，AOOC，OBOD，且ACBD。 （2）菱形的两条对角线将其分成四个完全相等的三角形。 如图5所示：在菱形ABCD中，ABO、BCO、CDO、ADO是全等的，故四个小三角形的面积也相等。 例3. 如图6所示，在菱形ABCD中，BAD2B，试说明ABC是等边三角形。 解：因为四边形ABCD是菱形，所以ABBC 又BBAD180° 而BAD2B 故B60° 在等腰ABC中，B60° 故ABC是等边三角形 3. 菱形的识别方法： （1）用定义识别：四条边都相等的四边形是菱形。 如图5，如果在四边形

6、ABCD中，ABBCCDDA，则四边形ABCD是菱形。 （2）对角线识别： 如果平行四边形的对角线互相垂直平分，则四边形ABCD是菱形。 如图5，在平行四边形ABCD中，如果ACBD，则四边形ABCD是菱形。 （3）有一组邻边相等的平行四边形是菱形。 如图5，在平行四边形ABCD中，如果ABAD，或ADDC，或DCCB，或CBAB，则四边形ABCD是菱形。 例4. 如图7，AD是ABC的角平分线，DE/CA交AB于E，DF/BA交AC于F。 求证：四边形AEDF是菱形 证明：在四边形AEDF中， 因DE/AC，故DE/AF 因DF/AB，故DF/AE 所以四边形AEDF是平行四边形 又AD平分

7、BAC，12 而AB/DF，知1ADF 故2ADF AFD是等腰三角形，AFDF 由识别方法3知，四边形AEDF是菱形。三. 正方形： 正方形是以前早就认识的特殊图形，在正方形中，四条边都相等，四个角都是直角，所以正方形可以看作： 有一角是直角的菱形。 有一组邻边相等的矩形。 它拥有菱形、矩形的一切特性。 正方形既是中心对称图形，又是轴对称图形，它共有四条对称轴。 在正方形中，对角线之间的夹角是90°，对角线与边的夹角是45°。 例5. 如图8，四边形ABCD是正方形，延长BC到点E，使CEAC，连结AE，交CD于F，求AFC的度数。 解：在正方形ABCD中，AC是对角线，

8、故ACB45° 而ACCE，故CAECEA，且CAECEABCA45° 故E22.5° 而AFC是CEF的一个外角 故AFCEFCE22.5°90°112.5°四. 梯形： 1. 定义： 只有一组对边平行的四边形叫梯形，即梯形中有一组对边不平行，两腰相等的梯形是等腰梯形，有一个角是直角的梯形是直角梯形。 实际上，梯形可以看作是由一个平行四边形和一个三角形组合而成。 如图9所示，梯形ABCD可看作由平行四边形ABED和DEC组合而成。 另外，梯形也可看作是过三角形一边上一点作另一边平行而得到的，如图10。在ABC中，DE/BC，可知四边

9、形BCED是梯形。 2. 等腰梯形的性质： （1）等腰梯形同一底边上的两个底角相等。 如图11，在等腰梯形ABCD中，BADADC，ABCBCD。 （2）等腰梯形的两条对角线相等。 在图11中，如果四边形ABCD是等腰梯形，则有ACBD。 例6. 如图12，延长等腰梯形ABCD的两腰BA与CD，相交于点E，试说明EBC和EAD都是等腰三角形。 解：因为四边形ABCD是等腰梯形，所以BC。 在EBC中，有EBEC 因此，EBC是等腰三角形 又ABDC 故EBABECDC 即EAED 故EAD是等腰三角形 例7. 如图13，在等腰梯形ABCD中，AB/DC，CE/DA，已知AB8，DC5，DA6，

10、求CEB的周长。 解：因为AB/DC，CE/DA，故四边形AECD是平行四边形 从而CEDACB6，AEDC5 EBABAE853 于是CEB的周长为CEEBBC63615 例8. 如图14，梯形ABCD中，AD/BC，B50°，C80°，试说明BCADCD。 解：过点A作AE/DC交BC于E 所以，AEBC80° 又B50° 故BAE180°50°80°50° BAEB，AEBE 又AD/BC，故AD/EC 四边形ADCE是平行四边形，ADEC，AEDC 故BCADBCECBEAEDC本课小结 1. 本课主要讲解

11、了矩形、菱形、正方形、梯形的特殊性质及矩形、菱形、正方形的识别方法，在整个过程中主要以基础知识为主，希望同学们掌握这些特殊图形的基础知识。 2. 本课另外还研究了矩形、菱形、正方形及梯形之间的内在联系与区别，请同学们在学习时引起重视。【模拟试题】 1. 矩形ABCD中对角线AC、BD相交于O，过顶点C作BD的平行线与AD的延长线相交于点E，试说明ACE是等腰三角形。 2. 如图，菱形ABCD中，AEBC于E，若BAE20°，试求EAC的度数。 3. 在RtABC中，CF是直角平分线，FDCA于D，FECB于E，四边形CDFE是什么四边形？为什么？ 4. 在梯形ABCD中，AB/CD，

12、ADBC，延长AB至E，使BEDC。 求证：ACCE 5. 从菱形的两条对角线的交点分别向各边作垂线，说明：连结垂足的四边形是矩形。【试题答案】 1. 解：在矩形ABCD中，ACDB，故 即，有ODAOAD 同理，OCBOBC 又AD/CB，ADOOBC 故ADODAO 而EC/DB，故EADO 所以EDAOEAC EAC是等腰三角形 2. 解：因AEBC，而BAE20° 故在三角形BAE中，B70° 又四边形ABCD是菱形，故BABC，BACBCA 又BAE20° 故EAC35° 3. 解：在四边形CDFE中， FDCA，故FDC90° FECB，故FEC90° 又ECD90° 故四边形FECD是矩形 又CF是ECD是角平分线，故 ECF45°，CEF90° 故CFE45° CEF是等腰三角形，ECEF 故四边形EFDC是正方形 4. 证：在四边形BEDC中，BEDC，又BE/DC 故四边形BEDC是平行四边形 有CEBD 而在梯形ABCD中，ADBC，故BDAC 所以CEAC 5. 解：在菱形ABCD中BD、AC是对角线，故AC平分BAD 即EAON