云南省大理州宾川县第四高级中学高中数学教学论文 n分之θ在第几象限问题的引申

1、云南省大理州宾川县第四高级中学高中数学教学论文 n分之在第几象限问题的引申【内容摘要】由教材问题延伸为已知角为某一区域的角，求（）所在区域的问题，从中挖掘的变化及的变化.从不同角度归纳他的一般解法和理论上的探讨，通过解法的探讨做出相应的课件或模型、算法实现等，从不同角度的理解，从而促进教学及数学问题的理解与解决.【关键词】象限角 旋转 解法拓展 算法 In The Extended Several Quadrant ProblemAbstractWeareworkingoutwhichareathebelongsWiththeextensionfromcontextproblemstothek

2、nownangelwhichbelongstoonearea,therefore,wecandigoutthevariationofbothandn.Summarizingitsgeneralsolutionmethodsinalldirections,inthisway,wewillmakerelativecourseware,modalorarithmeticmethodswiththeaimingtoboostthespeedofcomprehendingandsolvingaboutthemathematicsproblem. Keywords:quadrantangle，rotate

3、，solutiondevelopment，arithmetic1、引言数学是一门研究空间形式和数量关系的科学.新课标提出“人人学有价值的数学，人人都能获得必需的数学，不同的人在数学上得到不同的发展”.2新课标必修4中有一例“已知角是第象限角，那么角 在第几象限”，但作为一名高中数学教师对待问题要从点滴中挖掘，从点滴中自己归纳总结形成自己所特有的教学资源、方法，才能真正能做到“授人以鱼不如授人以渔”.为了研究本论文问题我将从以下4方面探讨：由与n的取值的变化对解法探讨理论上解释、证明拓展课件制作与展示.2、背景2.1基础数学（Pure Mathematics）.又称为理论数学或纯粹数学，是数学的

4、核心部分，包含代数、几何、分析三大分支，分别研究数、形和数形关系.而几何学分支：从是否研究度量的性质、几何度量关系，关注几何对象的位置问题等等，其所研究的空间背景是否弯曲的空间.从公元前7到3世纪以来，从欧几里得(Euclid)的几何原本到球面几何，笛卡尔（Rene Descartes）、费马（Pierre de Fermat）、欧拉（Leonhard Euler）等所产生的解析几何，蒙日（Gaspard Monge）、彭赛列（Jean-Victor Poncelet）等人著作而产生仿射几何、微分几何，到罗巴切夫斯基（Nikolas lvanovich Lobachevsky）、黎曼（Riem

5、ann）所著作而产生的（非欧几何）罗氏几何、黎世几何，再到至今的拓扑学、分形几何等等.3 42.2 三角函数是高中数学的重要内容之一，象限角是任意角的一个属概念5（由于本人的水平有限和高中必修教材所涉猎的几何知识均在欧式几何范畴中探讨）.下面给出一些大家所熟知的概念：角：我们把有公共端点的两条射线组成的图形叫做角，这个公共端点叫做角的顶点，这两条射线叫做角的边.任意角：在平面内，一条射线绕它的端点旋转有两个相反的方向：顺时针方向和逆时针方向.习惯上规定，按照逆时针方向旋转而成的角叫做正角；按照顺时针方向旋转成的角叫做负角；当射线没有旋转时，我们也把它看成一个角，叫做零角.当射线绕其端点按照逆时

6、针方向或按照顺时针方向旋转时，旋转的绝对量可以是任意的.在画图时，常用带箭头的弧来表示旋转的方向和旋转的绝对量.旋转生成的角，又常叫做转角.角的概念经过以上的推广以后，就应该包括正角、负角、零角，也就是可以形成任意大小的角.象限角：在直角坐标系中讨论角，是角的顶点与坐标原点重合，角的始边在轴的正半轴上，角的终边在第几象限，我们就说这个角是第几象限角（或说这个角属于第几象限）.象限角的表示方法：第象限 第象限 第象限 第象限 轴线角：当角的顶点与坐标轴原点重合，角的始边与x轴的非负半轴重合，那么角的终边落在坐标轴上时，称作轴线角（也称象限界角），这时这个角不属于任何象限.终边相同的角的表示方法：

7、终边相同的角：所有与角终边相同的角，连同角在内可以用式子来表示，或者用，kZ 或者用 ，kZ来表示.任一与角终边相同的角，都可以表示成角与整数个周角的和.13、解法探讨：从特殊到一般已知角所在象限，确定分角，倍角的象限.3.1 当=0时，角为终边一个平面上任意的一个角（如表示为的2等分的角，表示为的3等分的角而0从字面上可以理解为将无线小的等分，从数学极限角度上可以理解为在终边平面上任意的一个角），无论是象限角还是轴线角，=0时，角均不属于那个象限，而倍角则只能在轴的正半轴上.3.2 当为研究本论文，下面以高中数学必修4习题1.1第5题为变式作一个新例：例1：已知角是第象限角，那么角 、 、

8、、分别为第几象限角.象限的区间角换算法6-8图 2-1解：（1）对这个不等式两边同时除以2，得. 当=0时，它为第象限角；当=1时，它为第象限角；当=2时，它为第象限角；如此将全部取完，就可以得到的角集：综上所述为第、象限角（如图2-1）.图 2-2（2）对这个不等式两边同时除以3，得.当=0时，它为第象限角；当=1时，它为第象限角；当=2时，它为第象限角；将所有，就可以得到的角集：综上所述为第、象限角（如图2-2）.等分单位圆法（分圆法）9-12步骤：图 2-3a、画单位圆，并将各象限的圆弧n等分，在画出相应角的终边.b、从轴正半轴起，依逆时针在扇形内标上象限号：、（n遍）.c、在与同象限号

9、的扇形内标上“*”号.d、结论：“*”号所在象限即所在象限.应用到（2）问得：已知角是第象限角，那么角为第、象限角（如图2-3）. 映射、求根法：利用复数共性映射中保角变换，把已知角与单位圆联系构成了的角形域通过复数下幂函数映射到的一个或多个角形域；同时也可以利用把所在区域的等分的问题转化为求方程的根的问题.（3）已知角为第象限角，那么在第几象限.解：由题意可设或者， 或者在第象限，则对于方程的根，可以转换为的4个4次方根把单位圆下所对的弧4等分（上述两种设法中的）.根据复数的定义和棣莫佛（De Moiver）公式可得：或者即或者其中上述方程的根（）且主根的幅角在第象限，于是其他几个根的幅角为

10、 ，即当时为，则分别在第、象限.综上所述当角为第象限角，则在第、象限.13旋转法14上述问题我们通过数形结合可以得出解决这一类问题的更一般的方法：已知角为某一象象限角，求（）所在象限的问题.除了有上述解法外，我个人觉得还可以用下面方法求解，而且可以快速画出草图，得出结论.为了介绍方法我们这里举例取为第象限角，取3.步骤：a、找出角的终边在或的取值范围（选取是为了计算画图方便）.如为第象限角即，则取当时的，其范围在.（这里我们可以任意取，取0只是为了计算、画图方便）b、对该范围上下界的值分别除以需要等分的值，得到两个角分别为，则分别画出角的终边所夹的区域即为角所在象限的一个区域记为“*”.如：得

11、到两个角分别为，可得角终边在（）的区域在第象限.c、求旋转量，将“*”区域按旋转量，依次整体旋转一周，可得所有角在直角坐标系下的区域分布图像（这里旋转方向可顺时针也可逆时针旋转，为按照习惯为正顺时针旋转）.如，将“*”区域按旋转量整体旋转，依次旋转一周得.d、下结论.如图2-4可得，角在第、象限.图 2-4（4）已知角是第象限角，那么角分别为第几象限角图 2-5利用我自己的方法试一试（旋转法）：角是第象限角，则终边在或的取值范围为（），角的第一个区域角，旋转量，依旋转量旋转一周可得，角分别为第、象限角或者为即以为终边的轴线角.（证明可以用象限的区间角换算法得出角集）（如图2-5）.3. 3 当

12、为负整数事实上为负整数我们可以构建这样的问题：图 2-6例2：已知角是第象限角，那么角 、 、 、分别为第几象限角.解：（1）角是第象限角，则角终边在或的取值范围为（），角即的第一个区域角，旋转量（逆时针旋转），依旋转量旋转一周可得，角分别为第、象限角.（如图2-6）图 2-7（2）角是第象限角，则角终边在或的取值范围为（），角即的第一个区域角，旋转量（旋转量正负随意，不严格控制），依旋转量旋转一周可得，角分别为第、象限角.（如图2-7）同理可得（3）在第、象限；（4）在第、象限，或为与终边相同的轴线角.3.4 小结以及说明3.4.1 从例1及例2所用方法和n的取值变化数形结合我们可以得到：已

13、知角为某一象象限角，求（）所在象限的问题.当从数域扩充到非零实数，用旋转法处理已知角为某一区域角，求（）所在区域的问题都可以解决.详细证明可用象限区间角换算、复数下幂函数的映射的方法或利用复数下求方程的根的方法来证明上述结论.3.4.2 对于已知角为某一象象限角，求（）所在区域的问题.可以理解为求中替换为的形式转化而得.3.4.3 对于已知角为某一象象限角，求（，为一个已知角）所在区域的问题，将上述结论先单独处理的区域，然后在整体旋转，旋转方向由确定（为正则逆时针旋转，为负则顺时针旋转）.后面主要针对这样的形式进行拓展.4、内容拓展4.1 拓展变式一：已知角为某一象象限角，求（）所在象限的问题

14、.4.1.1 平移法我们所定义的象限角实际上可以考虑为数轴上的一个开区间如图3-1所示.由象限角及任意角定义可得它的一个最小正周期为.图 3-1例2：已知角是第象限角，那么角 、 、 、分别为第几象限角.（对于用数轴表示象限角，用与旋转法类似的平移法来解决.）平移法步骤：a、找出角的终边在或的取值范围（选取是为了计算画图方便）.如为第象限角即，则取当时的，其范围在.（这里我们可以任意取，取0只是为了计算、画图方便）b、对该范围上下界分别除以需要等分的值，得到两个角分别为，则分别画出角的终边所夹的区域即为角所在象限的一个区域记为“*”.如：得到两个角分别为，可得角终边在（）的区域在第象限.c、求

15、平移量，将“*”区域按平移量，依次整体平移一个周期，可得所有角在数轴下的区域分布图像（这里平移方向可左平移或右平移都行）.如，将“*”区域按平移量整体平移，依次平移一个周期得.图 3-2d、下结论.如图3-2可得，角在第、象限.（同理可得角 为第、象限角；在第、象限；在第、象限，也可能为与终边相同的轴线角.）4.1.2 小结：对已知角为某一象象限角，求、（）所在象限的解法如（表3-1）：方法象限的区间角换算法分圆法映射、求根法旋转法平移法优点用初等代数方法解决了该问题.可以得出角集区域.直观、明确用复变函数映射的观点构造幂函数或者用等分与解方程的根的思想相结合找到第一个区域按旋转量旋转即可，图

16、像直观.找到第一个区域按平移量平移即可，图像直观缺点角象限区域图像要单独画，不能很好的体现数形结合.只适用于为正整数，要循环遍过于繁琐.要找到每一个根的幅角，繁琐，对于高中生这种方法学生难于掌握和驾驭.学生初学，旋转的时候有点困难要会按平移量平移其他对证明和计算题方法与或结合使用，对于非计算证明题可单独用或.表 3-14.2拓展变式二图 4-1当从非零实数扩充到非零复数，旋转法能否解决呢？图像大致像什么样？下面我们来解决：已知角为某一区域角，求（）所在区域的问题.O图4-24.2.1实际上总可以通过映射建立实数与复数的一一对应如图4-1.4.2.2对一个角为复数的探讨新课标中角的定义是通过角终

17、边的旋转来推广得到任意角的.对于这样的问题我们可以转化为定义角的始边在轴正半轴上.令,则，再令，即.如图4-2，角的终边可以理解为从始边开始从面上旋转a度，然后从面上旋转b度（a、b为旋转的角度，a、b的正负决定着他的旋转方向），从而得到角的终边如图4-2中射线.实数意义下，角我们只有大小之分，而复数下不仅有大小还有方向，因此对于问题“已知角为某一象象限角，求（）所在象限的问题.”用上述方法是行不通，但是复数下在面的正投影（即时）的区域图像与在实数下区域图像是一致的.5 、课件制作5.1思想及流程注：此图中点1、2、3、4、5、6分别对应点A、B、C、D、E、F图5-1a.预备：利用已知条件角区域，输入角在上的角集边界值、；输入一个的值；b.得出第一个区域：计算出，；用比较大小函数比较得出大小为（较小值）、(较大值)；c