试验设计(陈魁)第二章

1、第2章 2k和3k因子设计2.1 因子设计的一般概念很多试验包含着两个三个或更多的因子对这些因子产生的效果都要进行研究一般说来,对这种类型的试验,因子设计方法是最有效的使用因子设计方法,在每一个完全的试验或试验的多次重复中,各个因子的各个水平的所有可能的组合都要考虑例如，假若因子A有a个水平，因子B有b个水平完成全部试验应包合所有的ab个组合一个因子的效果是由因子水平的改变而引起的反应的变化，经常称为主要效果因子B因子AB1B2A12030A24052表2.1.l 两因子试验数据表之一表2.1.l 两因子试验数据表之二例 .1.1 设某一试验有两个因子A和B因子A有两个水平A1，A2，因子B有

2、两个水平B1,B2，试验所得结果数据如表21l所示因子B因子AB1B2A12040A25012 试考察因子A，B的效果解先考虑表11的情形因子A的主要效果可看成是在A的第一个水平下的平均反应与在第二个水平下的平均反应之差，记为A，即类似地，因子B的主要效果是再考虑表212的情形因子A的主要效果是，因子的主要效果是分别画出这两种情况的图形，如图211所示图.（）无交互作用；（）有交互作用从图2.1.l看出,在(a)中，B1，B2线近似平行而在（b）中，B1，B2线明显地相交这说明在第一种情况下，因子A,B之间没有交互作用.第二种情况下，因子A，B之间有交互作用.交互作用是不能忽视的,有时它比因子

3、的作用还要大,不考虑到这一点就可能会犯大的错误,而因子设计方法是不会漏掉交互作用的,因此说，因子设计是有效的设计方法，特别是当交互作用存在的时候下面只介绍一些特殊情况的设计方法,这些方法广泛地用于某些研究工作当中,同时,也是一些其他设计的基础.一般的和更复杂的情况的设计方法可以参阅书后主要参考书目中的6及中译本20或其他书籍2.2 2k因子设计假设试验中共有k个因子,每个因子都只有两个水平这些水平可以是数量性的：如温度、压力或时间的两个值；也可以不是数量性的:如两个机器、两种操作方法、因子的出现与不出现两种情况,这些都是质量性的.这种设计的安排总共有2k个不同的组合，若每种组合下取一个观察值，

4、总观察值共有2k个，因此叫做2k因子设计我们对2k设计作如下假设：(1) 因子是固定的；(2) 设计是完全随机的；(3) 一般都满足正态性；（4）反应近似于线性2.2.1 22设计2k设计中最简单的就是22设计,这种情况只有两个因子,每个因子两个水平,这两个水平可以很一般地用“低”（low）和“高”（high）这种形象的方法表示下面就来看22设计是怎么分析、解决问题的假设在每一种水平组合下作n次重复观察，即取n个观察值为分析问题的方便，引进下列记号：A表示因子A的效果，B表示因子B的效果，AB表示交互作用B的效果a表示因子A在高水平、因子B在低水平情况下观察值之和；b表示因子A在低水平、因子

5、B在高水平情况下观察值之和；ab表示因子 A，B都在高水平情况下观察值之和，l表示因子A，B都在低水平情况下观察值之和见图221高 l低 0因子Bab、bbla因子A的平均效果：在B的低水平下为，在B的高水平下为.总平均效果是这两个数的平均值，即0低l高因子A (.）因子的平均效果：在的低水平下为图2.2.1 22设计的因子水平组合，在的高水平下为总平均效果是这两个数的平均值，即（.）交互作用AB的平均效果AB定义如下：它是在的高水平下与在的低水平下，的平均效果之差的平均值，即也可看成在的高水平下与在的低水平下，的平均效果之差的平均值，即（.）这里介绍一个方便的记忆方法（看图.中的正方形）因子

6、A的效果A是右边(高水平)两项之和减去左边(低水平)两项之和,再被2n除；因子B的效果B是上边(高水平)两项之和减去下边(低水平)两项之和,再被2n除；交互用 A B的效果 AB是右上方(两高水平)与左下方(两低水平)两项之和减去左上方(A低B高)与右下方（A高B低）两项之和，再被2n除下面进行方差分析.定义2.2.1 若有线性组合满足约束条件，则称这样的线性组合为对照(contrast)，并记为 （对照） （2.2.4）有了这个定义，则C的离差平方和为 （2.2.5）根据式（2.2.4）和式（2.2.5）,从式（2.2.1）,式（2.2.2）和式（2.2.3）,可以定义因子A,B,交互作用A

7、B的总效果分别为 (2.2.6） (2.2.7） (2.2.8)它们都是的ab,a,b和l的线性组合，组合系数只有1和(一1），满足.同时有因此，A,B,AB的离差平方和分别为 , (2.2.9）, (2.2.10）. (2.2.11） 例2.2.1 考虑一个化学反应过程,这里有两个因素：因素A为反应物的浓度,它有两个水平,15,25；因素B为催化剂的是否使用,有两个水平:不用、用.每种组合作3次试验因素各水平的组合情况为：A（low） 15 B（low） 不用催化剂A（high） 25 B（low） 不用催化剂A（low） 15 B（high） 用催化剂A（high） 25 B（high）

8、用催化剂全部试验得出的观察值如表2.2.1所示表2.2.1因子水平组合观察值(n=3)和记号i123AlBl28252780lAhBl363232100aAlBh18192360bAhBh31302990ab试分析因子A，B和交互作用AB对化学反应的影响解用前面的分析方法解这个问题由表2.2.1，很容易求出，由此得(见式(2.2.6)、(2.2.7)和(2.2.8)，因子,和交互作用的平均效果分别为(注意：)(见式（2.2.1）、（2.2.2）和(2.2.3)，再由式（2.2.9）、式（2.2.10）和式(2.2.11)，得离差平方和分别为，.参照第1章方差分析中式（1.2.35），求总离差平

9、方和和误差平方和. ，.列方差分析表，如表2.2.2所示.表2.2.2 例 2.2.1 方差分析表方差来源平方和自由度均方F因子A因子BAB误差E总和T对A，B给出，对AB给出，查出，.所以，因子A，B对化学反应均有显著影响，的影响效果更显著，交互作用无显著影响.以上所用的方法，通常叫做因子设计的标准分析方法.下面介绍设计的符号规则.各因子的线性组合式按顺序，写出来，称为标准顺序，用这个标准顺序表示因子效果，各项的系数如表2.2.3所示.效果A1 +11+1B11 +1+1AB +111+1如果引进符号I表示整个试验的总和全用“+号”把“+1”、“1”，简写为“+”、“”，并把行与列交换，这样

10、就得出一个完整的符号表，如表2.2.4所示.表2.2.4 设计效果计算代数符号表因子水平组合因 子 效 果IABAB+ 表2.2.4从纵向看，每列按，配上该列顺序的+，号构成的和式，就是该列因子的（对照）定义式. 表2.2.24有下列性质：（1） 除I外，各列中“+”号、“”号个数相等；（2） 任意两列（包括I列）同行系数乘积之和为0，这叫正交性.2.2.2 设计因子设计有3个因子A，B，C，每个因子都是两个水平，这里有主要效果A，B，C，两两交互作用的效果为AB，AC，BC，3个因子交互作用的效果为ABC.为便于计算这些效果，作一个立方体.按照与设计类似的原则和方法定出立方体各顶点的记号，见

11、图2.2.2.计算效果A：当B，C都在低水平时 ，当B在高水平，C在低水平时 ，当B在低水平，C在高水平时 ，因子B因子A低0高10低1高0 1低 高图2.2.2 设计的因子水平组合当B，C都在高水平时，4项总平均效果为 . (2.2.12) 式（2.2.12）中方括号内的部分是8项构成的代数和（参看图2.2.2），前4项是立方体右半部（A在高水平）4个顶点数值之和（都为+），后4项是立方体左半部（A在低水平）4个顶点数值之和（都为）这正好是.由此可将效果A写成， （2.2.13）其中. (2.2.14)用与前面完全类似的方法，推出B的效果为， （2.2.15）. （2.2.16）它也是由两部

12、分组成：前4项是图2.2.2中立方体的后面（B在高水平），都取“+”，后4项是立方体的前面（B在低水平），都取“”. 完全类似，C的效果C为， （2.2.17）. （2.2.18） 其中前4项是立方体的顶部（C在高水平），都取“+”，后4项是立方体的底部（C在低水平），都取“”. 交互作用的总平均效果AB是下面两部分的平均： （1）C在低水平时，A效果在B的两个水平下的平均差，即， （2）C在高水平时，A效果在B的两个水平下的平均差，即，即， （2.2.19）可记为， （2.2.20）. （2.2.21）由两部分组成（见图2.2.2）：（1）4项为“+”，其中两项为，是A，B都在高水平，两项为

13、，是A，B都在低水平；（2）4项为“”，其中两项 ，是A在高水平，B在低水平，两项为，是A在低水平，B在高水平. 用类似的方法可得出出交互作用的总平均效果AC为， （2.2.22）， （2.2.23）其中4项为“+”，它们是A，C都在高水平的，和A，C都在低水平的，；4项为“”，它们是A高C低的，和A低C高的，. 交互作用的总平均效果BC为， （2.2.24）， （2.2.25）其中4项为“+”，它们是B，C都在高水平的，和B，C都在低水平的，；4项为“”，它们是B高C低的，和B低C高的，. 交互作用的总平均效果定义为效果AB在C的两个水平下的平均值，即，记为， （2.2.26）， （2.2.

14、27）现在把的设计的线性组合对照的系数+、号规则总结列成表2.2.5.表中所列，为标准顺序.从此表很容易写出各个效果的线性组合表达式.对3个主要效果A，B，C，线性组合中的系数符号有一个明显的规律：高水平时为“+”，低水平时为“”.其余各列的符号可以用乘法运算得到.比如AB列，由 A 列和B列同行的符号相乘得到AB列相应行的符号.ABC 列，由 AB 列和 C 列同行的符号相乘得到 ABC 列相应行的符号.这样就很容易得到各个因子的对照.表2.2.5 设计计算效果的代数符号表因子水平组合 因子效果IABABCACBCABC表2.2.5具有下列性质：（1） 除I列外，每一行中“+”号和“”号的数

15、量相等.（2） 任何两列同行符号乘积之和为0，这叫做正交性.（3） 任何列乘列I，符号不变，I为恒等元素.（4） 任何两列对应行符号相乘能得出表中的另一列符号，例如： ，.和设计中的分析类似，可得出设计中效果的平方和.因为每一个效果有一个对应的含有8项的线性组合的对照，即.对n次重复试验，任一个效果，其平方和为 . 例 制造一种饮料，研究3个因子的效果.其中：因子A为碳酸饱和百分比，有两个水平：10%，12%；因子B为操作压力（Pa），有两个水平：1.5,1.8；因子C为线速度（ ），有两个水平：0.5,0.8.共有8个不同的组合，每个组合测2个数值（碳酸盐量），经处理后列于表 2.2.6中.

16、是分析因子A,B,C和它们的交互作用对试验的影响. 表2.2.6 例2.2.2数据表（） 10 -3 -1 -1 0 -1 0 1 12 0 12 1 2 36 5解 考虑因子水平每一种组合下两次观察值的和（n=2）,可得出这里是设计，按照表，写出各因子及交互作用的对照表达式，计算数值，并求出效果值. 误差平方和为 列出方差分析表2.2.7 表 例 方差分析表 方差来源 平方和 自由度 均 方 F 因子A 36.00 1 36.00 57.14 因子B 20.35 1 20.25 32.14 因子C 12.25 1 12.25 19.44交互作用AB AC BC ABC 2.25 0.25 1

17、.00 1.00 1 1 1 1 2.25 0.25 1.00 1.003.570.401.591.59 误差E 5.00 8 0.63 总和T 78.00 15给出=0.01，查出 可以看出都大于11.26，其余的F都小于11.26，说明因子A,B,C对试验都有显著影响，交互作用无显著影响 一般的设计 前面所讲的、设计的分析方法可以推广到一般的设计中去.设计个因子，每个因子个水平.它包含个单因子的效果，个两因子交互作用的效果，个因子交互作用的效果，一个因子交互作用的效果，总共包含着个效果.所有符号都采用前面用过的，与前面有相同的意义.比如，对设计，共有个因子表示因子都在高水平；在低水平.标准

18、顺序也如前所述.比如：对设计，标准顺序为共有项.为估计效果或计算效果的平方和，必须首先确定和效果相对应的对照.2,3,即设计时，可以从表查出，但单很大时，用表就很不方便了.因此，给出一个一般的方法.效果的对照由下式的展开式确定.式左边有某个因子时，式右边相应的括号内就取“-”号，没有这个因子，就取“+”号. 例如在设计中，共有5个因子其中 这样，各因子的对照立刻就可计算出来.还可估计效果并计算对应的平方和： 自由度的分配为：每个因子的效果和交互作用的效果，自由度都是1，共总和的自由度为设计的方差分析总结在表中。 表 设计的方差分析表 方差来源 平方和 自由度 在一个设计中，即使因子数不太大，因

19、子组合的总数也可能是很大的.比如设计中有32个因子组合，设计中有64个因子组合.如果每种组合再重复试验多次，那么试验次数势必更多.这对人力、物力都会有很大的消耗.因此，通常都要限制试验的重复次数.经常有这样的情况：每种组合只允许做一次试验.这时，通常假设高等级的交互作用是微不足道的，它们的效果都并入实验误差.如果这些交互作用中有些是重要的，那么误差的估计就会扩大.因此，重要的交互作用并入误差是不合适的.高等级的交互作用是否重要一般与相应的低等级交互作用有联系.如果大多数2因子的交互作用的效果是小的，那么看来所有高等级的交互作用好像是不重要的.反之，如果低等级的交互作用的效果是大的，那么高等级的

20、交互作用的效果可能也是大的.比如在一个设计中，如果主要效果和交互作用是很大的，那么，很可能也是大的.因此，不能包含在作为误差的交互作用中，而应考虑它的效果. 为了以后应用的方便，下面列出设计的代数符号表 表 设计的代数符号表 例 在一个压力容器中生产某种化学产品.研究因子对产品过滤速度的影响.这里有4个因子：温度搅拌速度每个因子取2个水平，每种因子水平的组合做一次试验.得到的数据列于表中.试分析各因子及两两交互作用对试验的影响. 表 例 的试验数据表 解 这是一个设计试验.假设3因子、4因子交互作用很小，把它们并入误差估计中. 这里n=1,=16,由各因子和交互作用的对照值可求出相应的离差平方

21、和 完全类似地，可以写出下面几个离差平方和 再求总平方和 这里 所以 误差的平方和为 列表方差分析表2211 对C，给出=0.05，查出=6.61. ，说明因子C对试验的影响显著，其余的给出=0.01，查出 ， ， 表2211 例223的方差分析表方差来源平方和自由度均 方FABCDABACADBCBDCD误差E总和T1870.5639.06390.06855.560.061314.061105.5622.560.565.06127.845730.9411111111115151870.5639.06390.06855.560.061314.061105.5622.560.565.06 25.

22、5773.151.5315.2533.46151.3943.24111说明因子A，D及交互作用AC，AD对试验影响显著，其余情况对试验的影响不显著从表2211看出，因子B和包含B的交互作用对试验的影响都很小的.由此可以把因子B舍弃，而只考虑因子A，C，D及其交互作用,原来B的两个水平下的观察值可以看成是两次重复观察,这样就把设计的一次观察问题变成设计的两次观察问题.由于因子A，C，D及交互作用AC，AD对试验的影响都显著，自然会想到三因子A，C，D的交互作用ACD是否会对试验有显著影响在设计两次重复的情况下，求出,平方和其余的平方和与前面算出的相同列方差分析表，如表2212 表2212因子A

23、，C，D，设计的方差分析表方差来源平方和自由度均 方FACDACADCDACD误差E总和T1870.56390.06855.561314.061105.565.0610.56179.525370.9411111118151870.56390.06855.561314.061105.565.0610.5622.4483.36.17.3838.1358.5649.2714.11,交互作用AC,BC在0.11的显著水平影响也是明显的,因子A,交互作用ABC对实验无明显影响.总之，操作人员的技术水平和操作压力对实验的影响是很明显的.2.3.3 一般的设计利用设计和设计所得到的结果,可以很自然地推广到设

24、计中去.设计有k个因子,每个因子3个水平.它的因子水平组合通常采用数字表示法.例如:0120表示设计的因子水平组合,有A,B,C,D这4个因子，A,D都在低水平,B在中水平,C在高水平.设计共有个因子水平组合. -1个自由度.这里有k个主要效果,每个的自由度为2,有个两因子交互作用,每个的自由度为4,有个三因子交互作用,每个的自由度为8,有一个k个因子的交互作用,自由度为.一般地一个h个因子的交互作用其自由度为.如果对每个因子水平组合做n次重复试验,总自由度为n-1,误差的自由度为(n-1).主要效果和交互作用的水平和用因子设计的通常方法计算出来.方差分析表列在表2.3.9中.设计的因子水平组

25、合的总数关于k增加得很快.例如：设计有27个组合,设计就有81个组合.设计则有243个组合,如果每一个组合再做n次重复试验，那么试验次数就会很多.经常地,设计每一种组合只做一次试验.高等级的交互作用都作为误差估计. 在试验设计中因子设计是比较有效的方法.但它是在试验安排已设计好的情况下进行的.它没有解决“如何安排试验为最好”的问题，这个问题将在下一章正试验设计中介绍. 表2.3.9 设计的方差分析表方差来源平方和自由度k个主要效果A2B2K2个两因子交互作用AB4AC4三因子交互作用ABC8ABD81个k个因子的交互作用ABCK误差E总和T习题2.1 现有一项任务：把饮料装入容量相等的瓶中，再

26、装箱.每箱装12瓶，将40个这样装满的箱子，用同样类型的车子送到50m处的货架上放好.设有玻璃和塑料两种瓶子，有甲,乙两人分别去做这项工作.每种情况重复做4次，分别记录完成这项任务所花的时间,列于表2.1中.试用设计分析法,考察瓶子类型，不同人员对实验的影响（=0.05，0.01). 表2.1 完成任务时间 单位：h瓶子类型 人员B A甲乙塑料5.124.896.256.244.985.005.495.554.954.435.284.914.274.255.284.712.2 在题2.1中还要考察用两种类型的瓶子所引起的工作劳累程度的差别，方法是测量完成这项任务后心率的增加，相应地测量4次，结果列于表2.2.试用设计分析法，分析这些数据，并得出适当的结论（=0.05,0.01）. 表2.2 心率的增加数 单位：次瓶子类型A人员B甲 乙玻璃3945201358351611塑料4435131042211615 2.3 科学家研究一种特殊的病毒时发现，不同的培养媒介，不同的培养时间对病毒的生长情况有影响.现取两种