北京市西城区2009年高三抽样测试数学试题(理科)2009.01

1、北京市西城区 2009年高三抽样测试高三数学试卷（理科） 2009.1本试卷分第卷(选择题)和第卷(非选择题)两部分.共150分.考试时间120分钟.题号分数 一 二 三总分151617181920第卷(选择题 共40分)一、本大题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分. 在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项. 1.若集合，则集合等于（ ）A. B. C. D. 2. 若向量，则等于（ ）A. B. C. D.3. 已知函数，那么函数的反函数的定义域为（ ）A. B. C. D. R4. “，且”是“”的（ ）A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既

2、不充分也不必要条件5. 已知m是平面的一条斜线，点，l为过点A的一条动直线，那么下列情形可能出现的是（ ）A. B. C. D. 6. 已知圆的圆心为M，设A为圆上任一点，线段AN的垂直平分线交MA于点P，则动点P的轨迹是（ ）A. 圆 B. 椭圆 C. 双曲线 D. 抛物线7已知有穷数列(n=)满足, 且当时，. 若, ，则符合条件的数列的个数是（ ）A. B. C. D. P4 ma mDCAB8. 如图，有一直角墙角，两边的长度足够长，在P处有一棵树与两墙的距离分别是a m(0<a<12)、4m，不考虑树的粗细. 现在想用16m长的篱笆，借助墙角围成一个矩形的花圃ABCD.

3、设此矩形花圃的最大面积为S，若将这棵树围在花圃内，则函数（单位m2）的图象大致是（ ）A B. C. D.O aSO aSO aSO aS。 第卷( 共110分)二、填空题：本大题共 6 小题，每小题 5 分，共 30 分. 把答案填在题中横线上 .9.若双曲线的离心率为2，两焦点坐标为，则此双曲线的方程为_.10. 已知实数x, y满足则的最大值为_.11. 已知的展开式中常数项为-160，那么a=_ .12. 若A，B两点在半径为2的球面上，且以线段AB为直径的小圆周长为2，则此球的表面积为_，A，B两点间的球面距离为_.13. 对于函数，有如下四个命题： 的最大值为；在区间上是增函数；是

4、最小正周期为的周期函数；将的图象向右平移个单位可得的图象.其中真命题的序号是_.14. 已知数列的每一项都是非负实数，且对任意m, nN*有或.又知. 则=_, =_.三、解答题：本大题共 6 小题，共 80 分. 解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.15.（本小题满分12分） 在中，a、b、c分别是三个内角A、B、C的对边，且a、b、c互不相等，设a=4，c=3，.（）求的值； （）求b的值. 16.（本小题满分12分）在甲、乙两个批次的某产品中，分别抽出3件进行质量检验. 已知甲、乙批次每件产品检验不合格的概率分别为，假设每件产品检验是否合格相互之间没有影响.（）求至少有2件甲批次产品

5、检验不合格的概率； （）求甲批次产品检验不合格件数恰好比乙批次产品检验不合格件数多1件的概率.17.（本小题满分14分） 如图，在底面是正方形的四棱锥P-ABCD中，平面平面ABCD，PC=PD=CD=2.PA BD C（）求证：； （）求二面角的大小；（）求点A到平面PBC的距离.18.（本小题满分14分）已知数列的前n项和为Sn，a1=1，数列是公差为2的等差数列.（）求；（）证明数列为等比数列；（）求数列的前n项和Tn.19.（本小题满分14分）已知抛物线，点M(m,0)在x轴的正半轴上，过M的直线l与C相交于A、B两点，O为坐标原点.（）若m=1，l的斜率为1，求以AB为直径的圆的方程

6、；（）若存在直线l使得成等比数列，求实数m的取值范围.20.（本小题满分14分） 已知f (x)、g(x)都是定义在R上的函数，如果存在实数m、n使得h (x) = m f(x)+ng(x)，那么称h (x)为f (x)、g(x)在R上生成的一个函数.设f (x)=x2+ax，g(x)=x+b(R)，l(x)= 2x2+3x-1，h (x)为f (x)、g(x)在R上生成的一个二次函数.（）设，若h (x)为偶函数，求；（）设，若h (x)同时也是g(x)、l(x) 在R上生成的一个函数，求a+b的最小值；（）试判断h(x)能否为任意的一个二次函数，并证明你的结论.北京市西城区 2009年抽样

7、测试参考答案 高三数学试卷（理科） 2009.1 题号12345678答案 DBBACB AC一、选择题：本大题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分. 二、填空题：本大题共 6 小题，每小题 5 分，共 30 分. 9. 10. 14 11. -2 12. 13. 14. 1, 3 注：两空的题目，第一个空2分，第二个空3分.三、解答题：本大题共 6 小题，共 80 分. 15.（本小题满分12分）（）解：在中，由正弦定理，得，-3分因为，所以，即，解得； -6分（）解：在中，由余弦定理， -9分得，解得.因为a、b、c互不相等，所以. -12分16.（本小题满分12分）（）解：记 “至

8、少有2件甲批次产品检验不合格” 为事件A. -1分由题意，事件A包括以下两个互斥事件：事件B：有2件甲批次产品检验不合格. 由n次独立重复试验中某事件发生k次的概率公式，得； -3分事件C：3件甲批次产品检验都不合格. 由相互独立事件概率乘法公式，得； 所以，“至少有2件甲批次产品检验不合格”的概率为；-6分（）解：记“甲批次产品检验不合格件数恰好比乙批次产品检验不合格件数多1件”为事件D. 由题意，事件D包括以下三个互斥事件： 事件E：3件甲批次产品检验都不合格，且有2件乙批次产品检验不合格. 其概率； -8分事件F：有2件甲批次产品检验不合格，且有1件乙批次产品检验不合格. 其概率； -1

9、0分事件G：有1件甲批次产品检验不合格，且有0件乙批次产品检验不合格. 其概率；所以，事件D的概率为. -12分17.（本小题满分14分）PA BD CEF方法一：（）证明：平面平面ABCD, 又平面平面ABCD=CD，, 平面PCD, -3分 平面PCD, ； -4分（）解：取PD的中点E，连接CE、BE，为正三角形，由（）知平面PCD,是BE在平面PCD内的射影,为二面角B-PD-C的平面角, -7分在中, , BC=2, ,二面角B-PD-C的大小为； -10分（）解：底面ABCD为正方形，, 平面PBC, 平面PBC, 平面PBC, 点A到平面PBC的距离等于点D到平面PBC的距离,

10、过D作于F, 平面PCD， , , 平面PBC, 且平面PBC=F, 为点D到平面PBC的距离, -13分 在等边中, , 点A到平面PBC的距离等于. -14分 方法二：（）证明：取CD的中点为O，连接PO，PA M BD CEyxzOPD=PC，,平面平面ABCD, 平面平面ABCD=CD， 平面ABCD, -2分 如图，在平面ABCD内，过O作OMCD交AB于M， 以O为原点, OM、OC、OP分别为x、y、z轴，建立空间直角坐标系O-xyz，则, ,； -4分（）解：取PD的中点E，连接CE、BE，如（）建立空间坐标系，则，为正三角形，,为二面角B-PD-C的平面角, -7分 ， ，

11、二面角B-PD-C的大小为； -10分（）解：过点A作平面PBC于F， 为点A到平面PBC的距离, 设|AF|=h， ， ，即, 的面积，三棱锥A-PBC的体积，即，解得，点A到平面PBC的距离为. -14分18.（本小题满分14分）（）解：数列是公差为2的等差数列, 即 -3分 ； -5分（）证明：由题意，得 ， 是首项为-1，公比为的等比数列； -9分（）解：由（）得, , -10分 , ,设, , 由-，得,. -14分19.（本小题满分14分） （）解：由题意，得，直线l的方程为.由, 得,设A, B两点坐标为, AB中点P的坐标为,则,故点 -3分所以,故圆心为, 直径,所以以AB为

12、直径的圆的方程为； -6分方法一：（）解：设A, B两点坐标为, .则, 所以 因为点A, B在抛物线C上, 所以, 由，消去得. -10分 若此直线l使得成等比数列，则， 即，所以， 因为，所以，整理得， -12分 因为存在直线l使得成等比数列，所以关于x1的方程有正根， 因为方程的两根之积为m2>0, 所以只可能有两个正根， 所以，解得.故当时，存在直线l使得成等比数列. -14分方法二：（）解：设使得成等比数列的直线AB方程为或,当直线AB方程为时, ，因为成等比数列, 所以，即，解得m=4，或m=0(舍)；-8分当直线AB方程为时， 由，得，设A, B两点坐标为, 则, 由m&g

13、t;0, 得.因为成等比数列, 所以,所以， 因为A, B两点在抛物线C上，所以, -11分 由，消去, 得,因为存在直线l使得成等比数列，所以, 综上，当时，存在直线l使得成等比数列. -14分20.（本小题满分14分）（）解：设h(x) = m f(x)+ng(x)，则, 因为为一个二次函数，且为偶函数,所以二次函数的对称轴为y轴，即，所以，则，则； -3分（）解：由题意, 设 (R, 且) 由h (x)同时也是g(x)、l(x) 在R上生成的一个函数, 知存在使得, 所以函数, 则, -5分消去, 得, 因为, 所以, -7分 因为b>0, 所以 （当且仅当时取等号）, 故a+b的最小值为. -9分（）结论：函数h(x)不