人教版数学高中必修一《用二分法求方程的近似解》教案

1、3.1.2用二分法求方程的近似解学习目标1.能用二分法求出方程的近似解.2.知道二分法是求方程近似解的一种常用方法，体会“逐步逼近”的思想.，知识梳理自主学习知识点一二分法的定义对于在区间a, b上连续不断且f(a) f(b)v 0的函数y=f(x),通过不断地把函数f(x)的零点所在的区间一分为二，使区间的两个端点逐步逼近零点，进而得到零点近似值的方法叫做二分法.思考所有的函数都可以用二分法求零点吗？答用二分法求出的零点一般是零点的近似值，但并不是所有函数都可以用二分法求零点，必须是满足在区间a, b上连续不断且f(a) f(b)<0的函数f(x)才能用二分法求零点的近似值 . 知识点

2、二用二分法求方程近似解的步骤给定精确度8,用二分法求函数f(x)零点近似值的步骤如下：确定区间a, b,验证f(a) f(b)0,给定精确度g(2)求区间(a, b)的中点c;(3)计算 f(c);若f(c)=0,则c就是函数的零点；若 f(a) f(c)0,则令 b = c(此时零点 xoC (a, c).若 f(c) f(b)<0,则令 a = c(此时零点 x°e (c、b).(4)判断是否达到精确度c艮I：若|ab|v g则得到零点近似值a(或b);否则重复(2)(4).题型幽重点突破题型一二分法概念的理解例1下列图象与x轴均有交点，其中不能用二分法求函数零点的是()C

3、答案 A解析 按定义，f(x)在a, b上是连续的，且f(a) f(b)0,才能不断地把函数零点所在的区间 一分为二，进而利用二分法求出函数的零点.故结合各图象可得选项 B、C、D满足条件，而选项A不满足，在A中，图象经过零点xo时，函数值不变号，因此不能用二分法求解.故选A.反思与感悟 判断一个函数能否用二分法求其零点的依据是：其图象在零点附近是连续不断的，且该零点为变号零点.因此，用二分法求函数的零点近似值的方法仅对函数的变号零点 适合，对函数的不变号零点不适合.跟踪训练1下列函数中，能用二分法求零点的为()答案 B解析函数图象连续不断，函数零点附近的函数值异号，这样的函数零点才能使用二分

4、法求解，观察四个函数图象，只有 B选项符合.题型二用二分法求方程的近似解例2(1)根据下表，用二分法求函数f(x) = x3-3x+1在区间(1,2)上的零点白近似值(精确度0.1)是f(1)=1f(2)=3f(1.5) = 0.125f(1.75)= 1.109 375f(1.625) = 0.416 015 625f(1.562 5) = 0.127 197 265答案 1.5解析 由表中数据知f(1.5)f(2)<0 , f(1.5) f(1.562 5)<0,所以函数零点在区间(1.5,1.562 5)上, 又因为 |1.562 5- 1.5|= 0.062 5<0.

5、1 ,所以函数f(x) = x3-3x+ 1在区间(1,2)上的零点的近似值可以取1.5.故填1.5.(2)用二分法求方程2x3+3x3=0的一个正实数近似解(精确度0.1).解 令 f(x) = 2x3+3x 3,经计算，f(0) = 3<0,f(1)=2>0, f(0) f<0,所以函数f(x)在(0,1)内存在零点，即方程2x3+3x=3在(0,1)内有解.取(0,1)的中点0.5,经计算f(0.5)<0,又f(1)>0,所以方程2x3+3x 3=0在(0.5,1)内有解.如此继续下去，得到方程的正实数根所在的区间，如表：(a, b)中点cf(a)f(b)a

6、+ b f( 2 )(0,1)0.5f(0)<0f(1)>0f(0.5)<0(0.5,1)0.75f(0.5)<0f(1)>0f(0.75)>0(0.5,0.75)0.625f(0.5)<0f(0.75)>0f(0.625)<0(0.625,0.75)0.687 5f(0.625)<0f(0.75)>0f(0.687 5)<0由于 |0.687 5-0.75| = 0.062 5<0.1 ,所以方程2x3+ 3x3=0的一个精确度为 0.1的正实数近似解可取为0.687 5.反思与感悟 利用二分法求方程近似解的步骤：

7、(1)构造函数，利用图象确定方程的根所在的大致区间，通常限制在区间 (n, n+1), nCZ； (2)利用二分法求出满足精确度的方程的根 所在的区间M; (3)区间M内的任一实数均是方程的近似解，通常取区间 M的一个端点 跟踪训练2用二分法求2x+ x= 4在1,2内的近似解(精确度为0.2).参考数据：x1.1251.251.3751.51.6251.751.8752x2.182.382.592.833.083.363.67解 令 f(x) = 2x+x- 4,则 f(1) = 2+1-4<0, f(2) = 22+ 2-4>0.区间区间中点值xnf(xn)的值及符号(1,2)

8、x1 = 1.5f(x1)=0.33>0(1,1.5)x2= 1.25f(x2)=- 0.37 V 0(1.25,1.5)x3= 1.375f(x3)= 0.035 <0(1.375,1.5)|1.375-1.5|=0.125<0.2,2x+ x= 4在1,2内的近似解可取为1.375.易错点忽视给定区间造成失误例3函数f(x) = 2x2+4x 6在区间1,2上零点的个数是()A.0 B.1 C.2 D.3错解 由 f(x) = 2x2+4x6= 0,得 2(x+ 3)(x-1)=0,解得x1 = 3, x2=1.故f(x)有两个零点，所以答案为C.正解前同错解得x1 =

9、- 3 , x2= 1.因为一3?1,2, 1C 1,2,所以f(x)在-1,2上只有一个零点，故选 B.纠错心得 求方程的解要注意给定区间，在解题时审题要细，看清条件很关键易错点忽视二次项系数为零致误例4 已知函数f(x) = 2(m1)x24mx+ 2m 1,若f(x)的图象与x轴只有一个交点， 求m值.错解,f(x)的图象与x轴只有一个交点，1A= 0,即 16m28(m1)(2m 1) = 0,解得 m = -3.当m = 1时，f(x)的图象与x轴只有一个交点. 3正解 当 m1=0,即 m= 1 时，f(x) = 4x+1,满足函数图象与x轴只有一个交点.当m1W0,即mw1时，函

10、数图象与 x轴只有一个交点等价于方程2(m 1)x2 4mx+2m-1 = 0有两个相等的实数根，所以 A= 16m2- 8(m- 1)(2m- 1)=0,解得 m=1.3所以当m=1或m = 1时，f(x)的图象与x轴只有一个交点.3纠错心得当二次项系数含有字母参数时，不可忽视二次项系数为零的情形跟踪训练 3已知方程 mx2-x-1 = 0在区间(0,1)内恰有一解，则实数 m的取值范围是.答案 (2, +8)解析 设f(x)= mx2 x1,因为方程 mx2-x- 1 = 0在(0,1)内恰有一解，所以当m=0时，方程一x- 1 = 0在(0,1)内无解，当 mw0 时，由 f(0)f(1

11、)<0,即一(m 1 1)<0,解得 m>2.-当堂检测自查自纠1 .下列函数图象与 x轴均有交点，其中不能用二分法求函数零点的近似值的是()A2.已知定义在 R上的函数f(x)的图象是连续不断的，且有如下对应值表:答案 Bx0123f(x)3.10.1 0.9-3那么函数f(x) 一定存在零点的区间是()A.(0,1)B.(1,2)C.(2,3)D.(3, +8)答案 B3 .用二分法求函数f(x)=x3+5的零点可以取的初始区间是()A. 2,1 B.1,0C.0,1D.1,2答案 A解析 -. f(-2)=- 3<0, f(1)=6>0,f(-2) f(1)

12、<0,故可取 2,1作为初始区间，用二分法逐次计算.4 .函数f(x)的图象是连续不断的曲线，在用二分法求方程f(x)=0在(1,2)内近似解的过程中得f(1)V0, f(1.5)>0, f(1.25)V0,则方程的解所在区间为()A.(1.25,1.5)B.(1,1.25)C.(1.5,2)D.不能确定答案 A解析 由于f(1.25) f(1.5) V 0,则方程的解所在区间为(1.25,1.5).5 .用二分法求方程x3-2x- 5=0在区间(2,3)内的实根，取区间中点为xo = 2.5,那么下一个有根的区间是.答案(2,2.5)解析 f(2) = 23-2X2-5=- K0

13、, f(2.5) = 2.532X 2.55=5.625>0,，下一个有根的区间是(2,2.5).课堂小结11 .二分法就是通过不断地将所选区间一分为二，使区间的两个端点逐步逼近零点，直至找到 零点附近足够小的区间，根据所要求的精确度，用此区间的某个数值近似地表示真正的零点2 .并非所有函数都可以用二分法求其零点，只有满足：在区间a, b上连续不断；(2)f(a) f(b)0.上述两条的函数，方可采用二分法求得零点的近似值厂课时精练 /二疑纠偏，训壕检测一、选择题1 .用二分法求如图所示的函数f(x)的零点时，不可能求出的零点是()A.X1 B.X2 C.X3 D.X4答案 C解析 能用

14、二分法求零点的函数必须满足在区间a, b上连续，且f(a)f(b)<0.而X3两边的函数值都小于零，不符合二分法求零点的条件，故选 C.2 .用二分法求函数零点的近似值适合于()A.变号零点B.不变号零点C.都适合D.都不适合答案 A3 .下列关于二分法的叙述，正确的是()A.用二分法可求所有函数零点的近似值B.用二分法求方程的近似解时，可以精确到小数点后的任一位C.二分法无规律可循，无法在计算机上完成D.只有求函数零点时才用二分法答案 B解析只有函数的图象在零点附近是连续不断且在该零点左右函数值异号，才可以用二分法求函数的零点的近似值，故A错.二分法有规律可循，可以通过计算机来进行，故

15、C错.求方程的近似解也可以用二分法，故 D错.4 .为了求函数f(X) = 2X X2的一个零点，某同学利用计算器，得到自变量 X和函数值f(X)的部 分对应值(f(X)的值精确到0.01)如下表如示：X0.61.01.41.82.22.63.0f(X)1.161.000.680.24 0.25-0.70-1.00则函数f(X)的一个零点所在的区间是()A.(0.6,1.0)B.(1.4,1.8)C.(1.8,2.2)D.(2.6,3.0)答案 C解析 . f(1.8) f(2.2)= 0.24X ( 0.25) V0,，零点在区间(1.8,2.2)上.故选C.5 .设方程2x+ 2x=10的

16、根为3,则3属于()A.(0,1)B.(1,2) C.(2,3) D.(3,4)答案 C解析 设f(x)=2x+ 2x-10,则f(x)在R上为单调增函数，故只有一个零点.f(0)= 9, f(1)=6,f(2) = -2, f(3) = 4, /.f(2)f(3)<0.凯(2,3).6 .函数f(x) = x3+x22x2的一个正数零点附近的函数值用二分法逐次计算，参考数据如下表：f(1)=- 2f(1.5) = 0.625f(1.25) = 0.984f(1.375) = 0.260f(1.437 5) = 0.162f(1.406 25) = - 0.054那么方程x3+x2-2x

17、- 2=0的一个近似解(精确到0.1)为()A.1.2 B.1.3 C.1.4 D.1.5答案 C解析 . f(1.437 5) = 0.162, f(1.406 25) = - 0.054, .f(1.437 5) f(1.406 25) V 0,即方程有一个近似解在(1.406 25,1.437 5)内.又方程的解精确到0.1,，可取方程近似解为1.4.二、填空题7 .在用二分法求方程f(x)= 0在区间0,1上的近似解时，经计算，f(0.625)<0 , f(0.75)>0 , f(0.6875)<0,即可得出方程的一个近似解为 (精确度为0.1).答案 0.75解析

18、0.750.687 5=0.062 5<0.1 ,又精确度为 0.1,故可取近似解为 0.75. . 3 一.8 .用二分法求万程ln x- 2+ x=0在区间1,2上零点的近似值，先取区间中点c=则下一个含根的区间是.3答案2,2解析令 f(x)=ln x2+x, .f(1) = - 1<0, f(2)=ln 2>0,3 31cf 2 =ln 2-2<0，3下一个含根的区间是2, 2 .次“二分”后精确度能达9.用二分法求方程x38= 0在区间(2,3)内的近似解经过至U 0.01.答案 7解析 设n次“二分”后精确度达到0.01,区间(2,3)的长度为1,12n&l

19、t;0.01 ,即 2n>100.注意到 26= 64<100,27= 128>100.故要经过7次二分后精确度能达到0.01.10 .用二分法研究函数f(x)=x3+3x 1的零点时，第一次经计算 f(0)<0, f(0.5)>0,可得其中一个零点xoC,第二次应计算.答案 (0,0.5), f(0.25)解析二分法要不断地取区间的中点值进行计算.由 f(0)<0, f(0.5)>0,知 xOe(0,0.5).再计算0与0.5的中点0.25的函数值，以判断 x0更准确的位置.三、解答题11 .用二分法求函数 f(x) = x3-x-1在区间(1,1.

20、5)内的一个零点(精确度为0.1).解 f(1) = -1<0, f(1.5) = 2-|-1 = 7>0 , 828f(1.25)=皆-5-1<2-5-1 = -1<0, ''64444 '故零点在(1.25,1.5)内,此时0.25>0.1;f(1.375)>0,所以零点在区间(1.25,1.375)内,此时 0.125>0.1 ;又 f(1.312 5)<0,所以零点在区间(1.312 5,1.375)内，此时 0.062 5<0.1 ,故f(x)=x3-x-1在区间(1,1.5)内的一个零点是 x= 1.312 5.12 .求