2020年高考数学一轮复习专题7.2二项式定理练习(含解析)

1、第二讲二项式定理24【套路秘籍】一千里之行始于足下1 .二项式定理二项式定理(a+b)n=dan+Cnan b + -11 + Ca r6 + +Cnbn(nCN)二项展开式的通项公式Tr+1 = Can rbr,匕表小第r + 1项二项式系数二项展开式中各项的系数Cn(rC 0,1,2 ,，n)2 .二项式系数的性质(i)c 0=i, cn= i.mm-1 mn+ 1 = Cn + Cn.(2)cm= cnm(3)当n是偶数时,Tn2项的二项式系数最大；当 n是奇数时，Tn 112与Tn1项的二项式系数相等且最大.1(4)( a+b)n展开式的二项式系数和：+ cn=2n.【修炼套路】一为君

2、聊赋今日诗，努力请从今日始考向一通项公式的运用【例1】(1)(2x+qx)5的展开式中，x3的系数是.(用数字填写答案)(2) x2 + 3 2 3展开式中的常数项为 x(3) (x2+x+y)5的展开式中，x5y2的系数为 (Sr3 + x4)(2-)a(4)x展开式中x2的系数为 【答案】(1) 10(2) -20(3) 30(4) -1280【解析】(1) Tr+i=C5(2x)J (仅)=254 片 下，令 5 3 = 3,得 r = 4,，丁5=10*3,，x3 的系数为 10(2) ; X H 2- 2 3= X 6 ，工+1= C6x6 r r = C6( 1) r x6 ” ，

3、令 6 2= 0,得=3, 常数项为 C3( 一 xxx1)3=- 20.(3)法一：利用二项展开式的通项公式求解.(x2+x + y)5= (x2+x) + y 5,含y2的项为T3= C5(x2+x)3 y2.其中(x2 + x)3中含x5的项为C3x4 x=C3x5.所以x5y2的系数为C2C1=30.法二：利用组合知识求解.(x2+x+y)5为5个x2+x+y之积，其中有两个取 y,两个取x2, 一个取x即可，所以x5y2的系数为C2C2C =30.八项，或者第一个括号里出(4)根据二项式的展开式得到可以第一个括号里出项，第二个括号里出2-1280 x【套路总结】求二项展开式有关问题的

4、常见类型及解题策略：(1)求展开式中的特定项.可依据条件写出第卜+ 1项，再由特定项的特点求出 /值即可.(2)已知展开式的某项，求特定项的系数.可由某项得出参数项，再由通项写出第十】项，由特定项得出H【举一反三】1.，任+3)展开式中1项的系数是()A. 270B. 180C. 90D. 45【答案】A【解析】r u + 3) 3 = x (丁+ 15/ + iM?+ 27(lJt2 + 旬t 24出，展开式中项的系数为270 ,故选：A.2.在（+不）的展开式中,产 的系数是224,则1的系数是（A. 14B. 28C. 56D. 112【解析】因为在 心才+ 3丫的展开式中,-rf 1

5、r -j2rt - 2rL r 2n - 2rLJ = 2匚浦I令 In - 2r= 2,r = z - 1则 2 L 探= 56. a n再令12”=工，则/为第6项.，*则1的系数是14.故选:3.在（1展开式中，含项的系数为A.-30 B . -10 C . 30 D . 50【解析】因为/含/项的系数为量+4（-1），-10.故选：B4.（工-1）（我* + 1尸的展开式中的系数是（）A. 27B. -27C. 26D. -26【答案】B【解析】-1心J+力展开式中/的系数r- ,中的1与3丫 +】）；展开式中F项相乘，但展开式中没有H项k- ：中的t与:铝+ 1）展开式中/项相乘，匚

6、抬/尸=W所以卜的系数是-27|,故选b项.考向二二项式系数、系数例 2已知（1 2x） 7= a（）+aix+a2x2+ a?x7,求:(1) ai+a2+ a7；(2) ai + a3 + a5 + a7；(3) a0+ a2+ a4+a6；(4)| a0| + | ai| + | a2| + | a7|.【答案】(1)|-2； (2) - 1094； (3) 1093; (4)啊.【解析】(1根据所给的等式求得常数项 回=1 ,令4 = 1 ,二口。+U1 + 2 +1则|(2)在所给的等式中，令二1|,可得：卜+吃卜卜小二- 令x=T,贝(J %-口1十口2-仃3 +一07=才用-再除

7、以 可得+七+ % 1八=- 1 094|用+再除以2可得W +，+ % + / = 133|在1 - 2订中，令”1,可得I+EI +I +十同=3。制I【套路总结】| (1) “赋值法”普遍适用于恒等式，对形如(ax+ b)n, (ax2+bx+c)m(a, b, ce R)的式子求其展开式的各|项系数之和，常用赋值法.I! (2)若f(x)=ao+a1x+ a2x2+ &xn,则f (x)展开式中各项系数之和为f(1),奇数项系数之和为ao+a2, +a4+=”，偶数项系数之和为 a1+a3+a5+=.【举一反三】1 . x + a 2x1 5的展开式中各项系数的和为2,则该展开式中常数

8、项为()x xA. 40 40B. 20C. 20D. 40【答案】D【解析】令 x = 1 得(1 +a)(2 - 1)5= 1 + a=2,所以 a= 1.因此x+- 2x 15展开式中的常数项即为2x1 5展开式中二的系数与x的系数的和.2x 15展开式的通x xxxx项为 Tk+1 = d(2 x) 5 k , ( 1)k , x k= C525、5 2k ( 1)令 5 2k= 1,得 2k = 4,即 k= 2,因此 2x 5展 x开式中x的系数为C225 2( - 1) 2= 80.令5-2k= - 1,得2k= 6,即k= 3,因此2x 1 5展开式中-的系数为 xxC325-

9、3 ( 1)3=40.所以 x + 1 2x 1 5展开式中的常数项为8040=40.x x2 .若 x4(x + 4) 8= aO+a/x + 3) + a2(x + 3)2+ a12(x + 3)12,则 log 2(a 1+a3+ a*)=().A. 4B. 8C. 12D. 11【答案】D【解析】当 x= - 2 时，x+3= 1.等式化为：(-2) 4?28= a)+a1+a2+a12. a0+a1+&+a12=上 当 x= - 4 时，x+3= 1.等式化为：(4) 4?。8= 0 = a。 a+a2 a3+a12上述两等式相相减有:a+a3+an =(P+0) =2log 2 (

10、a+a3+an) =叽/ =11 .故答案为：D.3.已知二项式展开式中含工项的系数为60,则实数目的值是（A.D.【答案】A【解析】二项式 苦-油口 0）展开式中含,，项，根据二项式的展式的公式得到x十1 =/）& f =力-吟:令12-加=3=2.此时的系数为 （-白产= 2*02.故答案为：A.（日 +2）0,4 .已知书 的展开式中，各项系数的和与其各项二项式系数的和之比为64,则n等于A HB.C忸D.【答案】C【解析】二项式 印+ I）1的各项系数的和为1 + 31二4%1（ j.二项式 炉 的各项二项式系数的和为（1 + 1） =2 ,因为各项系数的和与其各项二项式系数的和之比为

11、G4 ,4”= 2n=G4所以2,= 6,故选C。考向三 二项式定理单调性T1石 什（i+ j *曰【例3】若 （n C N）的展开式中只有第 6项系数最大，则该展开式中的常数项为（）A. 200B. 110C. 210D. 150【答案】C解析由题意，n= 10,。+ =。口乂(尸严, J =令 30- 5r=0, . r = 6.展开式中的常数项为 丁7=6；=210故选C.【举一反三】1.已知口 + ?幻的展开式中只有第 4项的二项式系数最大，则多项式展开式中的常数项为 ( )A. 10B. 42C. 50D. 182【答案】A【解析】因为1十2上的展开式中第4项的二项式系数为C；：,且

12、最大所以n=6(2x2- 11所以多项式(T=T二项式的展开通项式为所以当k=4时,当k=3时，14*所以展开式中常数项为2/T52 + (-)X20= 10故选：A.2,若/ +的展开式中只有第六项的二项式系数最大，则展开式中的常数项是第(A. 4 B . 3 C . 2 D . 1【答案】B【解析】展开式中只有第六项的二项式系数最大，；最大,n=10;i x J展开式的通项公式为5r5= 0令 2,解得r=2,即展开式中的常数项是第3项.故选:3.在二项式的展开式中，前三项系数的绝对值成等差数列（1）求展开式中二项式系数最大的项;（2）求展开式中所有有理项的系数之和(2)-【解析】（1）由

13、二项式定理得展开式中第项为所以前三项的系数的绝对值分别为7 y _1 _r由题意可得2 4,整理得M 加十8=口解得二。或。二1| （舍去），则展开式中二项式系数最大的项是第五项,（2）因为若该项为有理项，则4(6- r)3 是整数,所以所有有理项的系数之和为瞰孀（十十点-尹=17897 + 1616考向四整除【例4】(1)若S= 017+遥7+ C27,求S除以9的余数.【答案】7【解析】S= &+区+ C27= 227 1 = 89 1 = (9 - 1)9- 1 = C0X 99C9x 98+ C8X 9 C9 1= 9(C0x 98C9x 97+ C8) 2.C9x 98C1X97+

14、C8是正整数，S被9除的余数为7.【举一反三】1 .设nC M,则70：+7礼2+7嘱：除以9的余数为()A. 0 B.2 C.7 D.0或 7【答案】D 【解析】7 +下+ 7匕(1 + 7) T =1 =4-公11 t9 - 1/-1,当力为偶数时，余数为0,当日为奇数时，余数为7,故选D.2 .可以整除2杆 ? + 3加7 （其中mW AT）的是（）A. 9 B . 10 C . 11 D . 12【答案】C【解析】+/1=-3产一产一=式 11 严 T( - 3)、G J 式11 产 2( - 3)1 + 二 + C史：；。1)代-3产-1+ 产1=Q 1al产 - 3) + Q J

15、式11 严3)1 + 二 + 也 1)、_ 3严-J 3* + 3=q3q 1产“(-3)、g j 1a i 产二丁+二+瑞淑11) - 3 严-2故能整除/“十才：（其中DEV）的是11.故选C .3 . H1如“除以100的余数是（）A. 211 B . 111 C M D . R1【答案】B【解析】=rn Hl2 + 201Hx U0 + J = rn- 10J + 16M4H+ 1 ,即8产除以 100 的余数为 41,故选 B.4 . 237除以17,所得余数是（）A. - 1 B . 2 C . 15 D . 16【答案】C【解析】产二2一|= 2总7“ + *17%厅+417,（

16、 -+ Y喘14-在上述展开式中上*l* 一1门=一；不能被整除，即余数为15,故选：C考向五求近似值【例5】1.02 （小数点后保留三位小数）【答案】10611【解析】1.11. - . 1 I 口川/ ； I 卜 T X o.n;/二 X 1口+I 山）MIIIB（I【套路总结】In 1.利用二项式定理进行近似计算：当n不很大，|x|比较小时，（1 + x） =1 + nx.| 2.利用二项式定理证明整除问题或求余数问题：在证明整除问题或求余数问题时要进行合理的变形，使被-B式滋展开后的每T都有除式的因式；要注意变形的技巧.1【举一反三】1.求1.02 5的近似值.(精确到两位小数)【答案

17、】1.10【解析】1.02 5=(1 + 0.02) 5= 1 + c5x0.02 +C5X 0.02 2+ C5X 0.02 51+5X0.02 = 1.10.【运用套路】一纸上得来终觉浅，绝知此事要躬行(，+守住+勺91 .设HER,若， 尤与 裳 的二项展开式中的常数项相等，则 1=1()A. 4B. -4C. 2D. -2【答案】A【解析】的展开式的通项公式为令国-3r二I得到二G,故该展开式中的常数项为 =2忆：；.O3-货门田北的展开式的通项公式为%,令1 _廿=。得到.,二：,故该展开式中的常数项为 / = /瑶.因常数项相等，故WC解得u = 4,故选a.击二厂2 .已知二项式

18、 2 ，的展开式中，第3项的二项式系数比第 2项的二项式系数大 9,则该展开式中的常 数项为A. 20B.C. 40D.【答案】B【解析】由题意得：悻-C=九即n=6,则该展开式的通项为 b7=。3产(-=匚/：产UXL-I|(-2)4,令6-2r=0,得r=3,所以该展开式中的常数项为匚咫)(一=一.故选B.3.若(1 +x) + (1 +x)2+ + (1 +x) n= a0+ai(1 x) + a2(1 x)2+ an(1 x) n,贝U a0 ai + a2+ (一1) nan等于3a sA.1(3n1) B . 4(3n2) C . *3n2) D . (3n-1)【答案】D【解析】

19、在展开式中，令 x=2得3 + 3+ 3+，,，+3=a0 a1+a2 a3+ ( 1) an,即 a031 + 02 a3+ + （ 1） an=1 | (x+2) - (x-4) |=6,故函数的最小值为 6,再根据函数的最小值为n,，n=6.11则二项式（x-n n= （x-A） 6展开式中的通项公式为Tr+1=：？（ - 1） r?x62r令6- 2r=2 ,求得r=2, 展开式中x2项的系为弓=15,故选：C.6.记(1-，俨=/ + %汽 + 1)+崂*+1产+1 + 4工 + 1); 则。o +A. 81B. 365C. 481D. 728【解析】令x=0得1*口 + 0t +

20、02 + a令x=-2得/= 365与 +” + % =.故选:+ 4工 + %，+ 口：/ + 川 + %产”，则恤 + a2+ ., + %=(|I)C. 64D. 65【解析】丫（上 + 1）1-2x/ = / + 011Ta2x2 + 0/ 十 啊F，令，二，可得%= 1再令T故选：B.8.已知（X + l）fcuf- -VI 4的展开式中常数项为-40 ,则口的值为（）A. 2B. -2C. 2D. 4【解析】侬.孑的展开式的通项为小取 5 2r = - 1,得 r = 3,取 5 2r=0,得 r =（x+ i）g - -）5的展开式中常数项为,得a= 2.故选：C.9.+ i)s

21、的展开式中，彳的系数为（）B. -5A. -10D. 0C. 5【答案】B【解析】要求 的系数，则的展开式中/项与相乘，1项与-1相乘,1|(C+1-的展开式中4项为科=与相乘得到制|(C+1)工的展开式中M项为媪行尸=助，与-1相乘得到|-10也所以卜的系数为I-1讣+5= -5 .故选B.+ JT + 2)(1-l)s10. 1的展开式的常数项是()A. -3B. -2C. 2D. 3【答案】D【解析】.展开式的常数项4-2 =工故选口11夕项式(+/)1311的展开式中各项系数的和为 3,则该展开式中用的系数是A.B.C.D卜川【答案】A【解析】仁+ /)-的展开式中各项系数和为 3,令

22、x=1,(1+a) 1(.】一=3,解得 a=2.(3的展开式中常数项为优-U,含的项的系数为陷= -12.( x+x ) I J的展开式中,项的系数是2X (- 12) +1X (- 160) =- 184故选：A12.若/ 云）一展开式中含/项的系数为21,则实数4的值为（A. 3B. -3C. 2D. -2【答案】A【解析】 卜5十 1 j展开式的通项公式a .和为丁一二小份出咱小工|8- 3r _ 1|(1=班所以令 1 2此时含卡的项的系数为=_=r = _电 N ”又令？ ？3 ，舍去,所以含尸项的系数为 的，所以|70二21|,得口 = 3.故选A.13 .婢+6被49除所得的余

23、数是【答案】B【解析】由题可得，=,83 -八-：- 5 =0.故7% + *Ux7 + 7Q是正整数）=l + 49x 12 =的65是正整数）.所以:严”被49整除，所以余数为 选B.14 .若n为正奇数，则7n C：?7n1 C：?7n 2 L C； 1 ?7被9除所得的余数是（）A. 0 B . 2 C . 7 D . 8【答案】C【解析】原式7 1 n C： 8n 19 1 n 19n Cl?9n 1 C； ?9n 2 L Cn 1?9 1 n 11 n 1 ,n为正奇数， 1n 129 7,则余数为7,故选C.15 .若二项式4的展开式中卜的系数为-672,则展开式中除常数项外其余

24、各项系数之和为【答案】【解析】由题意，二项式+片的展开式的通项公式为丁一=3。，XX令-：* 二，得二3,所以展开式中/的系数为&%*=-可，解得令函-立=0,得所以展开式中的常数项为 既 T)& = H4.令* = 1,|(12 + )9 = 0得展开式中所有项系数之和为1,所以展开式中除常数项外其余各项系数之和为。-ih =+1)1T16 .已知*的展开式的各项系数和为243,则展开式中/的二项式系数为 .【答案】10【解析】令x=1,可得3n=243,解得n=5.,1 J，+1浦项公式七丁一二限一产km,，5令15-什=,则/ = 2,展开式中卜.的二项式系数为故答案为：10.17 .设

25、为正整数， 您+ V严 展开式的二项式系数的最大值为日，O+y产+1展开式的二项式系数的最大值为帆若15(2 =批，则m = .【答案】7【解析】（工+ y产展开式中二项式系数的最大值为 口 =匚/，V产”展开式中二项式系数的最大值为b =咽二，L）!（2m+1）! I因为15我=的所以I5G矶=m加+ 即:加加mh（n+L）!|解得：帆=718 .已知（1 + z）”的展开式中只有第 4项的二项式系数最大，则多项式?展开式中的常数项为【答案】【解析】由（1十次），的展开式中只有第 4项的二项式系数最大，所以 n = b.多项式卜十1）的通项公式：,T1 =琮47=，其中1r = 0,1.-2

26、1考虑I 引展开式中的常数项和含K 的项：（1）令5-2r= - 2,则r=4,（2）令 6 - 2r = 0,则r=3,故常数项为十点=16+2口 = 35.故答案为：35.L+-i19 .在1叼的展开式中，二项式系数之和为其，所有项的系数之和为日，若1 +日= 272,贝加=.【答案】4【解析】= 4,故2 +铲=27202= 16=Mi = 4.20 . （/一工一2丫的展开式中/的系数是 .（用数字作答）.【答案】120【解析】由二项式定理可知那的系数是：4-以+或。-。延-2尸+掠-2片=120|(/一X-2丫的展开式中/的系数是120.(1 4-+ -)11-21 .若小的展开式中

27、所有项的系数和为96,则展开式中含/项的系数是 一【答案】20【解析】当# = 1时，(1 + 2/)(1+1的展开式中所有项的系数和为 3/2二川、，解得1 = 5；3C(1 +1)5rr+1I 展开式的通项公式，可得/11 + 2#% 1 + 5，Ar1 + 2x2Tt- - (Cr + 2rt)i = 3A，上展开式中含M项： J 犬 # ;即展开式中含1项的系数为2。.故答案为.(1+工+3(1+一)+222 . 某x展开式中长的系数为 【答案】15【解析】因为二项式|(1 +展开式的通项为 几4户，I 7k = 4 . 3分别令】U-然=2, 3. 4可得, 2 ,因为k是正整数，所

28、以板=工J,所以k时，5 =小；1=3时，/ =球；(1 + h )(1 + JTZ) , .43因此 /展开式中k的系数为Q + G = ib故答案为15:+： + 2&-2)23 .在I丁 的展开式中，常数项为 .【答案】-40, 1 , 1 , 1 1 1【解析】:(广+ 工+田。-2)=(工+ ) (x2) = ( x6+6x4+15x2+20+15? ,6? + ,) (x 2),XxptA；.常数项是 20?(-2) =- 40,故答案为：-40.24 .在4-友-疗的展开式中，含小的项的系数是 【答案】-9【解析】表示三个卜相乘，所以展开式中含 丁的项有两种情况:(1)从三个3)

29、选取一个然后取F,再从剩余的两个|(/-次-3)中分别选取|-3,所得结果为(2)从三个 熊-次-邛选取两个分别取一次，再从剩余的一个(/-刮中选取|-3 ,所得结果为C1(-2jc)2-3)= -3奴综上可得展开式中含 吊的项为-况/ + 27/=-寸.故答案为：-425 .设 aCZ,且 0wavi3,若 512012+a能被 13 整除，贝U a =.【答案】12【解析】由于 512012+a= ( 52 - 1) 2012+a二品5严/产电(-1+。扁却也E嬴5*K (-1 +唠吕阳】产ug 1r珈 12 f 口加IZ_La,除最后两项外，其余各项都有13的倍数52,|20122(1

30、J 2C2ui2 , L】) a能被13整除，再由0w a0,记 2,则的展开式中各项系数和为.【答案】【解析】根据定积分的计算，可得/(0J (1 - Cx + cl6x2 -瑞酸彳 + -氏128/ + 虞56丁)出0-/-次产+ 1 01.11/ (1) t(1 -2x1) H= ,则1H1B *),1即K的展开式中各项系数和为 和27 . L02% (小数点后保留三位小数)【答案】【解析】1 023 = (1 + 0,02) 3 = 1 门 x 0J2 + C|x 0,022 + 0JI23 起 1.06128 .已知2n 2 3n 5n a能被25整除，则最小值 A=【答案】4【解析

31、】由2n 23n 5n a 4 6n 5n a ,当 n 1 时，23 31 5 a 29 a,此时 a 29 25k k Z ,当 k 1 时，a 4；n 2 nnn2_n1n2_2当 n2 时，23 5n a 4 5 1 5n a 4(5 Cn 5 L Cn5C5 1) 5n a 4 15M 25n 4 a 25k 4 a n/1因此只需4 a能够被25整除即可，可知最小正整数 a的值为4, 综上可得：正整数 a的值为4.29 .在二项式2*的展开式中，前三项系数的绝对值成等差数列(1)求展开式中二项式系数最大的项;(2)求展开式中所有有理项的系数之和【解析】(1)由二项式定理得展开式中第1项为所以前三项的系数的绝对值分别为1 ,1 32 m = 1 + -_ _i